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10．2　二倍角的三角函数
学习指导 核心素养
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题． 数学运算、逻辑推理：二倍角公式及其应用．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
名称 公式 推导 记法
正弦 sin 2α＝2sin αcos α S(α＋β)S2α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C(α＋β)C2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2α C2α
正切 tan2α＝ T(α＋β)T2α T2α
1．所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系，对吗？
提示：不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α是α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角，…这里蕴含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的．
2．公式中的角α是任意角吗？
提示：对于公式S2α，C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证tanα有意义且分母1－tan2α≠0.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)10α是5α的倍角，5α是的倍角．(　　)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(3)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．(　　)
(4)对于任意角α，总有tan 2α＝.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．已知sinα＝，cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
答案：D
3．计算1－2sin222.5°的结果为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
4．已知tanα＝，则tan 2α＝________．
答案：－
探究点1　给角求值
求下列各式的值．
(1)sin cos ；(2)cos2－sin2；
(3)；(4)cos cos .
【解】　(1)sin cos ＝×2sin ·cos ＝×sin ＝×＝.
(2)cos2－sin2＝cos＝cos ＝.
(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan (360°－60°)＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝＝＝＝＝.
给角求值问题的两类解法
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　
求下列各式的值．
(1)； (2)－.
解：(1)＝＝tan60°＝.
(2)原式＝＝
＝＝
＝＝4.
探究点2　给值求值
已知<α<π，sin α＝.
(1)求tan 2α的值；
(2)求cos 的值．
【解】　(1)由题意得cos α＝－，所以tan α＝－，
所以tan 2α＝＝＝.
(2)因为sinα＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，
sin2α＝2sin α·cos α＝2××＝－.
所以cos ＝cos 2α·cos ＋sin 2α·sin
＝×＋×＝－.
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos ＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos2x＝sin ＝sin
＝2sin cos .　
1．已知x∈，cos x＝，则tan 2x＝(　　)
A．　　 B．－　　
C．　　 D．－
解析：选D．由cos x＝，x∈，
得sin x＝－，所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D．
2．(2020·高考江苏卷)已知sin2＝，则sin2α的值是__________．
解析：因为sin2＝，所以＝，＝，
得sin 2α＝.
答案：
探究点3　三角函数式的化简与证明
(1)已知tan α＝2，求的值．
(2)证明： ＝sin ＋cos ，0<α<π.
【解】　(1)
＝＝＝.
(2)证明：＝
＝ ＝
＝
＝sin ＋cos (0<<)，故等式成立．
三角函数式的化简与证明
(1)化简的方法
①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
(2)证明三角恒等式的方法
①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　
1．若α为第三象限角，则－＝________．
解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0，
所以－＝－
＝－＝0.
答案：0
2．求证：·＝tan2α.
证明：左边＝·＝tan 2α＝右边．
1.－sin215°＝(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
解析：选D．－sin215°＝＝＝.
2．cos4－sin4＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选D．原式＝＝cos ＝.
3．已知x∈，cos x＝，则tan 2x＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选D．由cos x＝，x∈，
得sin x＝－，所以tan x＝－，
所以tan 2x＝＝＝－，故选D．
4．已知sin＋cos ＝，那么sin θ＝__________，cos 2θ＝__________．
解析：因为sin ＋cos ＝，所以＝，即1＋2sin cos ＝，所以sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
答案：　
5．已知α∈，sinα＝.
(1)求sin 2α，cos 2α的值；
(2)求cos 的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
(2)由(1)知cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α
＝×＋×＝－.
[A　基础达标]
1．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.故选C．
2．已知sin ＝，则cos 的值为(　　)
A． B．
C．　 D．
解析：选D．因为sin ＝，
所以cos ＝cos
＝1－2sin2＝.
3．若sinα＝2sin ，则tan 2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B．由sin α＝2sin ，可得sin α＝2cos α，即tan α＝2，则tan 2α＝＝＝－.故选B．
4．(2021·高考全国卷甲)若α∈，tan2α＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．因为tan 2α＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为a∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A．
5．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　)
A．4 B．＋1
C．2 D．－1
解析：选C．由题可知2sin18°＝m＝，所以m2＝4sin218°.
则＝＝＝＝2.
故选C．
6．已知cos ＝，则sin 2x＝________．
解析：因为sin 2x＝cos ＝cos ＝2cos2－1，
所以sin2x＝2×－1＝－1＝－.
答案：－
7.＝________．
解析：＝
＝＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝cos2＋sinx－.若f(α)＝，则sin ＝________．
解析：f(x)＝×＋sin x－＝sin x＋cos x＝sin ，
又f(α)＝，所以sin ＝，
所以cos ＝1－2sin2＝，
又2α＋＝＋，
所以sin＝sin
＝－cos ＝－.
答案：－
9．已知0<β<α<，sin α＝，sin (α－β)＝.
(1)求sin 2α；
(2)求cos (α＋β).
解：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，
从而sin 2α＝2sin αcos α＝.
(2)由题知，cos 2α＝1－2sin2α＝－.
因为0<β<α<，所以0<α－β<，
所以cos(α－β)＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)
＝－×＋×＝.
10．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
解：原式＝＝.
因为α为第二象限角，且sin α＝，
所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－.
所以原式＝＝－.
[B　能力提升]
11．(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选C．通解(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以或
所以＝
＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C．
优解一(弦化切法)：因为tan θ＝－2，
所以＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)
＝＝＝＝.故选C．
优解二(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.
则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝＝＝＝.故选C．
12.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得cos324°＝(　　)
A． B．
C．－ D．
解析：选B．由题意可得∠ACB＝72°，且cos ∠ACB＝＝，
所以cos 144°＝2cos272°－1＝－，
所以cos324°＝cos (144°＋180°)＝－cos 144°＝.故选B．
13．已知θ∈，＋＝2，则sin 2θ＝________，sin ＝________．
解析：＋＝2 ＝2
sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ 1＋sin 2θ＝2sin22θ.
因为θ∈，所以2θ∈(π，2π).
所以sin2θ＝－.所以sin θ＋cos θ<0.
所以θ∈.所以2θ∈.
所以cos 2θ＝.
所以sin ＝sin 2θcos ＋
sin cos 2θ＝.
答案：－　
14．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin －2cos ＝0，
知cos ≠0，所以tan ＝2.
所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知tan x＝－，
所以＝
＝＝
＝×＝×＝.
[C　拓展探究]
15．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前行30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前行10 m 到点D，测得顶端A的仰角为4θ.求θ的大小和建筑物AE的高．
解：因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，
所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10 m.
所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m).
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，
所以10sin 4θ＝30sin 2θ.
即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，
所以cos 2θ＝.
又2θ∈，所以2θ＝，
所以θ＝.
所以AE＝30sin ＝15(m).
所以θ＝，建筑物AE的高为15 m．

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