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10．3　几个三角恒等式
学习指导 核心素养
1.了解积化和差公式及其推导过程．2.了解和差化积公式及其推导过程．3.了解半角公式及其推导过程． 逻辑推理、数学运算：三角恒等式及其应用．
1．积化和差公式
(1)sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]；
(2)cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]；
(3)cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]；
(4)sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]．
一是注意公式的推导过程；二是简记为“积化和差，系数半拉，前面是和，后面是差”
2．和差化积公式
(1)sin α＋sin β＝2sin cos ；
(2)sin α－sin β＝2cos sin ；
(3)cos α＋cos β＝2cos cos ；
(4)cos α－cos β＝－2sin sin ．
3．半角公式
(1)sin ＝±；
(2)cos ＝±；
(3)tan ＝±＝＝．
1．半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？
提示：不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号．
2．半角公式对α∈R都成立吗？
提示：cos ＝±，sin ＝±.
对α∈R都成立．
但公式tan ＝±.
要求α≠(2k＋1)π(k∈Z).
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半角公式对任意角都适用．(　　)
(2)cos ＝.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．sin cos 化为和差的结果是(　　)
A．sin (α＋β)＋cos (α－β)
B．cos (α＋β)＋sin (α－β)
C．sin (α＋β)＋sin (α－β)
D．cos (α＋β)＋cos (α－β)
解析：选B．原式＝
＝cos (α＋β)＋sin (α－β).
故选B．
3．已知cos α＝，α∈，则sin ＝(　　)
A．－　　 B．
C． D．－
答案：B
4．函数y＝sin sin 的最大值是________．
解析：因为y＝sin sin
＝－cos ＋cos ＝
－cos ＋×，
所以ymax＝＋＝.
答案：
探究点1　积化和差公式的应用
化简求值：(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°；
(2)cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°.
【解】　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝[sin 90°＋sin (－50°)]－[cos 60°－cos (－40°)]
＝－sin 50°－＋cos 40°＝－cos 40°＋cos 40°＝.
(2)cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝cos 10°cos 50°cos 70°
＝
＝cos 70°＋cos 40°cos 70°
＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°)
＝cos 70°＋cos 110°＋＝.
在利用积化和差公式解决问题时，要注意特殊角的运用，从而简化运算，减少运算量．　
已知cos (α－β)＝－，cos (α＋β)＝，求cos αcos β，sin αsin β的值．
解：cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝×＝－，
sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]＝－×＝－.
探究点2　和差化积公式的应用
化简下列各式：
(1)；
(2).
【解】　(1)原式＝
＝＝
＝tan .
(2)原式＝
＝
＝＝.
利用和差化积公式化简时，要注意观察角和三角函数名称的变化，不同名的必须化成同名的，然后再利用和差化积公式解决问题．　
证明下列恒等式．
(1)＝tan ；
(2)＝.
证明：(1)＝＝
＝＝tan .
(2)＝＝.
探究点3　半角公式的应用
已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值．
【解】　因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
因为＜α＜π且0＜β＜，
所以0＜α－β＜π，即0＜＜.
所以cos ＝＝＝.
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．　
已知cos 2θ＝－，<θ<π，求tan 的值．
解：因为cos 2θ＝－，<θ<π，依半角公式得
sin θ＝＝ ＝，
cos θ＝－＝－＝－，
所以tan ＝＝＝.
探究点4　与三角函数性质有关的问题
已知函数f(x)＝cos (π＋x)cos －cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在上的单调递增区间．
【解】　f(x)＝(－cosx)·(－sin x)－·＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin .
(1)f(x)的最小正周期为π，最大值为1.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，所以f(x)在上单调递增，即f(x)在上的单调递增区间是.
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
↓
↓
已知函数f(x)＝cos2＋sin2－1，则f(x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A．f(x)＝＋－1
＝＝sin 2x，是奇函数．故选A．
1．函数y＝sin cos x的最大值为(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：选B．因为y＝sin cos x＝
＝＝sin －，所以ymax＝－＝.故选B．
2．设α是第二象限角，tan α＝－，且sin A．－ B．
C． D．－
解析：选A．因为α是第二象限角，且sin 所以为第三象限角，所以cos <0.
因为tan α＝－，
所以cos α＝－，
所以cos ＝－＝－.
3．若sin α＝，α是第二象限角，则tan ＝________．
解析：因为α是第二象限角，所以cos α<0，
所以cos α＝－＝－，
所以tan＝＝＝5.
答案：5
4．已知α∈，β∈，cos β＝－，sin (α＋β)＝.
(1)求tan 的值；
(2)求sin α的值．
解：(1)因为β∈，cos β＝－，则sin β＝，tan ＝＝＝.
(2)因为α∈，β∈，故α＋β∈，
从而cos (α＋β)＝－＝－＝－，
所以sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β
＝×－×＝.
[A　基础达标]
1．函数f(x)＝cos x sin 的最小正周期为(　　)
A．4π B．2π　　　
C．π　 D．
解析：选C．由积化和差公式可以得到函数f(x)＝sin ＋，其最小正周期为T＝＝π.故选C．
2．若cos 2α＝－且α∈，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．－
解析：选A．因为α∈，所以sin α≥0.由半角公式可得sin α＝＝.
3．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos (α＋β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选D．因为cos α＋cos β＝，
所以2cos cos ＝.
因为α－β＝，所以＝，所以cos ＝.所以cos ＝，
所以cos (α＋β)＝2cos2－1＝－.故选D．
4．已知sinα＝－，α是第三象限角，则tan ＝(　　)
A．±2 B．±
C．－2 D．－
解析：选C．因为sin α＝－，α是第三象限角，所以cos α＝－，由半角公式tan ＝－2，故选C．
5．已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.又β＝－，所以cos β＝cos ＝sin ＝ ＝，故选B．
6．已知sin α＝－且π＜α＜，则sin ＝________．
解析：因为sin α＝－，π＜α＜，
所以cos α＝－.又＜＜，
所以sin ＝ ＝ ＝.
答案：
7．已知sin ＝，则cos2＝________．
解析：因为cos＝sin ＝sin ＝，
所以cos2＝＝＝.
答案：
8．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan (α＋β)的值为________．
解析：由sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝得，
2sin cos ＝，2cos cos ＝，两式相除得，tan ＝，则
tan (α＋β)＝＝＝.
答案：
9．化简：(0<α<π).
解：因为tan ＝，
所以(1＋cos α)tan ＝sin α.
又因为cos ＝－sin α，
且1－cos α＝2sin2，
所以原式＝＝＝－.
因为0＜α＜π，
所以0＜＜.所以sin ＞0.
所以原式＝－2cos .
10．已知A＋B＋C＝180°，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos .
证明：因为A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－(A＋B)，＝90°－，
所以sin A＋sin B＋sin C＝2sin cos ＋sin (A＋B)＝2sin cos ＋2sin cos ＝2sin ·＝2sin ×2cos cos ＝2sin ×2cos ·cos ＝4cos cos cos .
[B　能力提升]
11．(多选)下列四个关系式中错误的是(　　)
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
解析：选BCD．利用和差化积公式得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，A正确；B错误，右边应是2sin 4θsin θ；C错误，右边应是－2cos 4θsin θ；D错误，由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑．左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin ＝2sin cos .故选BCD．
12．设cos (x＋y)sin x－sin (x＋y)cos x＝，且y是第四象限角，则tan 的值是(　　)
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：选A．因为cos (x＋y)sin x－sin (x＋y)·cos x＝，
所以sin y＝sin [(x＋y)－x]＝sin (x＋y)cos x－cos (x＋y)sin x＝－，
因为y是第四象限角，所以cos y＝＝＝，
由半角公式得tan ＝＝＝－×＝－，故选A．
13．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)
A．tan (α＋β)＝3tan (α－β)
B．tan (α＋β)＝2tan (α－β)
C．3tan (α＋β)＝tan (α－β)
D．3tan (α＋β)＝2tan (α－β)
解析：选A．因为sin 2α＝2sin 2β，
所以＝
＝＝＝3，即tan (α＋β)＝3tan (α－β)，故选A．
14．f(x)＝－2sin sin ＋sin2＋sincos .
(1)若f>，求x的取值范围；
(2)若f(α)＝，cos ＝－，且<α<，<β<，求sin (α－β).
解：(1)f(x)＝－2×＋＋sin x.
＝cos x＋sin x＝sin (x＋).
若f>，则×sin x>，sin x>，
所以x∈(k∈Z).
(2)f(α)＝sin ＝，sin＝，
因为<α<，所以<α＋<π，cos ＝－，
因为<β<，所以0<β－<π，sin ＝，
sin (α－β＋π)＝sin
＝sin cos －cos ·sin ＝－，
sin (α－β)＝－sin (α－β＋π)＝.
[C　拓展探究]
15．已知点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解：如图所示．因为AB为半圆的直径，
所以∠APB＝.又AB＝1，
所以PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α.
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin αcos α＋sin2α＝sin2α＋(1－cos 2α)
＝sin ＋.
因为0＜α＜，
所以－＜2α－＜，
所以当2α－＝，
即α＝时，
S四边形ABTP取得最大值＋.

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