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11．1　余弦定理
学习指导 核心素养
1.了解余弦定理的推导过程．2.掌握余弦定理的几种变形公式及其应用． 逻辑推理、数学运算：余弦定理的推导及其应用．
1．余弦定理
文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bc cos Ab2＝c2＋a2－2ca cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C
对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
2．余弦定理的变形
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝．
观察余弦定理的结构，想一想具备什么条件的问题适合用余弦定理解答？
提示：出现以下两种情况可以考虑用余弦定理解答．
(1)已知一个三角形的两边及其夹角；
(2)条件中出现了余弦定理的局部或变形，如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等．
3．三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(　　)
(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．(　　)
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)
(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　)
(5)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形．　(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b＝(　　)
A．4 B．
C．7 D．5
答案：C
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝，则C＝(　　)
A．120° B．90°
C．60° D．45°
解析：选A．由余弦定理，得cos C＝＝＝－，所以C＝120°，故选A．
4．在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝3，则此三角形中最大角的度数是________．
解析：在△ABC中，cos A＝＝＝＝－，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
答案：
探究点1　已知两边及一角解三角形
(1)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4 B．　 　
C． D．2
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
【解析】　(1)因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A．
(2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b cos A，
因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，
所以b＝3.故选D．
【答案】　(1)A　(2)D
[变条件]将本例(2)中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b为何值？
解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，
即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
(1)已知两边及其夹角解三角形，可以先利用余弦定理直接求第三边，再利用余弦定理的变形公式及三角形内角和定理求其余两角．
(2)已知两边和其中一边的对角解三角形，可以利用余弦定理列出方程，运用方程的思想求出第三边，这样可直接判断取舍．　
在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，
所以49＝64－2bc，即bc＝15，
由解得或
探究点2　已知三边(三边关系)解三角形
(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　)
A．90° B．120°
C．135° D．150°
(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A＝(　　)
A．90° B．60°
C．120° D．150°
【解析】　(1)在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝，
所以最大角为B，最小角为A，
所以cos C＝＝＝，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B．
(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
【答案】　(1)B　(2)B
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的变形公式求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的变形公式求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．　
在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的最大内角的余弦值．
解：因为a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，
不妨设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k，
显然a＜b＜c.
所以△ABC的最大内角为C，
则cos C＝＝
＝＝＝.
探究点3　判断三角形的形状
(1)若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段(　　)
A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形
(2)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，试判断△ABC的形状．
【解】　(1)选B．最长线段为7，且5＋6>7，因此能构成三角形，
因为52＋62－72＝12>0，由余弦定理知，长为7的边所对的角为锐角，即最大角为锐角，则该三角形一定为锐角三角形．
(2)将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cosB cos C．
由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2－c2
＝2bc××，
所以b2＋c2＝＝＝a2.
所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形．
(1)判断三角形形状的基本思想和两条思路
(2)判断三角形形状时经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2.
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.　
在△ABC中，已知B＝60°，b2＝ac，则△ABC为(　　)
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A．由余弦定理，得cos B＝，因为B＝60°，b2＝ac，所以cos 60°＝＝，化为(a－c)2＝0，得a＝c，所以△ABC为等边三角形．故选A．
探究点4　余弦定理的综合应用
已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1)证明：a cos B＋b cos A＝c；
(2)在①＝；②c cos A＝2b cos A－a cos C；③2a－＝这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若a＝7，b＝5，________，求△ABC的周长．
【解】　(1)证明：由余弦定理，得a cos B＋b cos A＝a·＋b·＝＝c，所以a cos B＋b cos A＝c.
(2)选①：因为＝，所以2c·cos A＝b cos A＋a cos B．
所以由(1)中所证结论可知，2c cos A＝c，即cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
选②：因为c cos A＝2b cos A－a cos C，
所以2b cos A＝a cos C＋c cos A，
由(1)中的证明过程同理可得，a cos C＋c cos A＝b，
所以2b cos A＝b，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
选③：因为2a－b·＝c·，所以2a cos A＝b cos C＋c cos B，
由(1)中的证明过程同理可得，b cos C＋c cos B＝a，
所以2a cos A＝a，即cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋c2－10c·＝49，
即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍)，所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，
即△ABC的周长为20.
在利用余弦定理解决综合问题时，如果是实际问题，应该首先抽象出数学模型，也就是转化到哪些三角形中，再利用余弦定理解决问题．　
已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，且A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
解析：由题作图，如图所示，
则∠BCA＝120°，AC＝2，AB＝3，
所以根据余弦定理可得cos ∠BCA＝＝＝－，
解得BC＝－1或BC＝－－1(舍去)，
故答案为－1.
答案：－1
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝(　　)
A．90°　　 B．120°　　
C．135°　　 D．150°
解析：选B．cos B＝＝＝.因为B∈(0°，180°)，
所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B．因为(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，所以A＝60°.
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________．
解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，
即c2＝a2＋b2－ab.①
又因为(a＋b)2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②
由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝.
答案：
4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，已知a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos (A＋B)＝1.
(1)求角C的大小；
(2)求AB的长．
解：(1)由题意可得，cos (A＋B)＝，所以cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，所以C＝120°.
(2)由题意得
所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝a2＋b2－2ab cos 120°
＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10.
所以AB＝.
[A　基础达标]
1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)
A．1　　 B．2
C．3 D．
解析：选A．由余弦定理知()2＝a2＋b2－2ab cos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1(负值舍去)，故选A．
2．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选C．b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
3．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)
A．10　 B．9
C．8　 D．5
解析：选D．由23cos2A＋cos2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝±.因为A是锐角，所以cos A＝.又因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以49＝b2＋36－2×b×6×.解得b＝5或b＝－.又因为b＞0，所以b＝5.
4．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C．由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，则最大角为角A，
所以最大角的余弦值为
cos A＝＝＝－.
5．轮船甲和轮船乙在上午11时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为135°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、20 n mile/h，则当天下午1时两船之间的距离为(　　)
A．10 n mile
B．10 n mile
C．100 n mile
D．10 n mile
解析：选B．设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A和B，由题可知CA＝50，CB＝40，∠ACB＝135°，则AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos ∠ACB＝502＋(40)2－2×50×40×(－)＝9 700，故AB＝10 n mile.故选B．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则A等于________．
解析：在△ABC中，cos A＝＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝.
答案：
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．
解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.
答案：
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，则bc cos A＋ac cos B＋ab cos C的值是________．
解析：bc cos A＋ac cos B＋ab cos C＝＋＋＝.
因为a＝3，b＝4，c＝6，所以bc cos A＋ac cos B＋ab cos C＝×(32＋42＋62)＝.
答案：
9．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
解：(1)因为cos A＝2cos2－1，2cos2＋cosA＝0，
所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－，又A∈(0°，180°)，所以A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A.
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
10．已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①A＝；②cos B＝－；③a＝7；④b＝3.
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)求c.
解：(1)△ABC同时满足①③④.理由如下：
若△ABC同时满足①②.
因为cos B＝－<－，且B∈(0，π)，所以B>π.所以A＋B>π，矛盾．
所以△ABC只能同时满足③④.
因为a>b，所以A>B，故△ABC不满足②.
故△ABC满足①③④.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以72＝32＋c2－2×3×c×.
解得c＝8或c＝－5(舍).
所以c＝8.
[B　能力提升]
11．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
解析：选AD．由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为(　　)
A．a>b B．aC．a＝b D．不能确定
解析：选A．在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.因为c＝a，所以2a2＝a2＋b2＋ab，所以a2－b2＝ab>0，所以a2>b2，所以a>b.
13．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是________．
解析：只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．
故解得2＜a＜.
答案：(2，)
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：(1)由已知得－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin Acos B＝0，即有sin A sin B－sin A cos B＝0.
因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0.
又cos B≠0，所以tan B＝.又0(2)因为a＋c＝1，cos B＝，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝3＋.
又0[C　拓展探究]
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2(c cos B－a).
(1)求C；
(2)若a＝4，点E在边AB上，且＋＝2，||＝2，求△ABC的周长．
解：(1)因为b＝2(c cos B－a)＝2(c·－a).整理可得a2＋b2－c2＝－ab，
所以cos C＝＝＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为a＝4，点E在边AB上，
且＋＝2，||＝2，
所以E为AB的中点，可得(＋)2＝42，
所以b2＋42＋2·＝4×22，可得b2＋2b×4×(－)＝0，解得b＝4，
所以c＝
＝ ＝4，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋4.

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