资源简介

11．2　正弦定理
学习指导 核心素养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 逻辑推理、数学运算：正弦定理及其应用．
1．正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 ＝＝
文字叙述 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
(4)＝2R.
1．正弦定理＝＝只适用于锐角三角形吗？
提示：正弦定理＝＝适用于任意三角形．
2．已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？
提示：①已知三角形的任意两角和一边，求其他两边和另一角．
②已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求另一边及另两角．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　)
(2)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．(　　)
(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　)
(4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A． B．
C．　 D．1
解析：选B．因为a＝3，b＝5，sin A＝，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　)
A． B．1
C． D．2
解析：选D．由三角形内角和定理得，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(105°＋45°)＝30°.
由正弦定理得，c＝＝＝2.
4．设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A, 则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选B．因为b cos C＋c cos B＝a sin A，所以由正弦定理可得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，sin(B＋C)＝sin2A sinA＝sin2A，
所以sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形．
5．在△ABC中，若＝，则B＝________．
解析：根据正弦定理知，＝，结合已知条件可得sin B＝cos B．又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
答案：45°
探究点1　已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解】　因为A＝45°，C＝30°，
所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，
所以b＝＝＝20×＝5＋5.
已知三角形的两角和任意一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．　
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，则△ABC最短边的边长等于(　　)
A． B．　　　
C． D．
解析：选A．由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，所以B是最小角，b为最短边．由正弦定理，得＝，即＝，则b＝，故选A．
2．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．
解：因为sin B＝，
所以B＝30°或150°，当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；当B＝150°时，不合题意，舍去．
所以由正弦定理＝＝，得b＝·a＝×3＝，c＝·a＝×3＝2.
探究点2　已知两边及其中一边的对角解三角形
已知△ABC中的下列条件，解三角形：
(1)a＝10，b＝20，A＝60°；
(2)a＝2，c＝，C＝.
【解】　(1)因为＝，
所以sin B＝＝＝>1，
所以三角形无解．
(2)因为＝，所以sin A＝＝.
因为c＞a，所以C＞A.所以A＝.
所以B＝，b＝ ＝＝＋1.
[变条件]若本例(2)中C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B, b.
解：因为＝，所以sin C＝＝.所以C＝或.
当C＝时，B＝，b＝＝＋1.
当C＝时，B＝，b＝＝－1.
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．　
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝6，sin A＝，则B＝(　　)
A．　 B．
C．或 D．或
解析：选C．因为a＝3，b＝6，sin A＝，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝，又sin A＝<，a2．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2
C．2解析：选C．由a sin B探究点3　判断三角形的形状
已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形
【解析】　由正弦定理得，a cos B＝b cos A
sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
【答案】　A
判断三角形形状的两种途径
[注意]　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．　
1．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足＝＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形
解析：选C．由正弦定理得＝＝，又＝＝，得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
2．在△ABC中，若(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A，试判断△ABC的形状．
解：因为(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A，所以a sin B－a cos Bsin B＝b sin A－c cos C sin A，而由正弦定理可知a sin B＝b sin A，
所以a cos B sin B＝c cos C sin A.
即sin A cos B sin B＝sin C cos C sin A，
所以cos B sin B＝sin C cos C，即sin 2B＝sin 2C，
所以2B＝2C或2B＋2C＝180°，即B＝C或B＋C＝90°，故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
探究点4　正弦定理的综合应用
如图，已知一艘船以30 n mile/h的速度往北偏东15°的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西60°的方向上．船到达C处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西30°的方向，经过20 min到达D处测得B岛在北偏西45°的方向，如果一切正常的话，此船约何时能到达B岛？(≈1.732，≈2.45)
【解】　在△BCD中，CD＝30×20÷60＝10 n mile，∠BCD＝45°，∠CBD＝15°，
根据正弦定理得，＝，所以BD＝.
在△ABD中，∠ADB＝60°，∠ABD＝15°，∠BAD＝105°，
根据正弦定理得，＝＝，
所以AD＝＝×＝＝10(－1)，
AB＝＝×＝10，
所以[10(－1)＋10]÷30×60≈63.64(min).
所以到达B岛所用时间约为63.64＋20＋10＝93.64 min.
所以船约在11时34分到达B岛．
利用正弦定理解决综合问题时，如果是实际问题，应首先转化为解三角形的问题，然后再分析清楚在哪个三角形中，是利用正弦定理还是利用余弦定理解决问题．　
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a(sin C＋cos C).
(1)求A；
(2)在①a＝2，②B＝，③c＝b这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若________，________，求△ABC的面积．
解：(1)因为b＝a，又由正弦定理＝＝，得sin B＝sin A，又sin B＝sin ，
所以sin ＝sin A，
即sin A cos C＋cos A sin C＝sin A
整理得cos A＝sin A，即tan A＝1，
又0(2)方案一：选条件①和②，
由正弦定理＝，得b＝＝＝，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得6＝22＋c2－2·2c cos ，
解得c＝＋1，所以△ABC的面积S＝ac sin B＝×2(＋1)×＝.
方案二：选条件①和③，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋2b2－2b·b·，
即b2＝4，解得b＝2.所以c＝2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形，
所以△ABC的面积S＝×2×2＝2.
1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝.因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝＝.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.
3．△ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c＝，b＝1，B＝，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D．在△ABC中，由正弦定理可得sin C＝＝＝，因为04．在△ABC中，若B＝，b＝a，则C＝________．
解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin A＝，所以A＝或π.
因为b＝a＞a，所以B＞A，即A＜，
所以A＝，所以C＝π－A－B＝π－－＝π.
答案：π
[A　基础达标]
1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形(　　)
A．有两个解 B．有一个解
C．无解　 D．有无穷多解
解析：选B．由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．
2．在△ABC中，若c＝，C＝60°，则＝(　　)
A．6 B．2
C．2 D．
解析：选C．利用正弦定理的推论，得＝＝＝2.
3．在△ABC中，若a＝2b sin A，则B＝(　　)
A． B．
C．或 D．或
解析：选C．由正弦定理，得sin A＝2sin B sin A，所以sin A(2sin B－)＝0.因为04．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状是　(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D．将a＝2R sin A，b＝2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sin2A tanB＝sin2B tanA，则＝.
因为sin A sin B≠0，所以＝，
所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
5．(多选)在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，下列结论正确的是(　　)
A．sin (B＋C)＝sin A
B．若cos A>0，则△ABC是锐角三角形
C．cos (B＋C)＝cos A
D．若sin A＝sin B，则A＝B
解析：选AD．对A：sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，故正确；
对B：若cos A>0，则A为锐角，但B或C可能是钝角，故错误；
对C：cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，故错误；
对D：sin A＝sin B，则a＝b，故A＝B，故正确．故答案为AD．
6．在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为________．
解析：由cos A＝－，得sin A＝＝，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2R＝＝2，即△ABC的外接圆的半径为.
答案：
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝________．
解析：因为cos A＝，所以sin A＝.因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin A cos A＝，又＝，所以b＝2.
答案：2
8．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．
解析：由正弦定理可知＝，代入可得＝，解得sin C＝，
所以C＝60°或C＝120°，当C＝60°时，A＝90°，由三角形面积公式可得S＝bc sin A＝×1××1＝.当C＝120°时，A＝30°，由三角形面积公式可得S＝bc sin A＝×1××＝，所以△ABC的面积为或.
故答案为或.
答案：或
9．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
解：因为c＝10，A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝，得a＝＝＝10.
由＝，得b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5＋5.
10．(2021·南京六校联合检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b sin 2A＝a sin B．
(1)求角A的大小 ；
(2)若sin B＝，求c.
解：(1)由b sin 2A＝a sin B及正弦定理可知
2sin B sin A cos A＝sin A sin B．
因为sin A sin B≠0，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为sin A＝sin ＝，
所以sin B所以cos B＝＝.
因为A＋B＋C＝π，
所以sinC＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)
＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.
由正弦定理得c＝＝3××＝.
[B　能力提升]
11．(多选)对于△ABC，下列说法中正确的是(　　)
A．若sin AB．若sin A＝cos B，则△ABC是直角三角形
C．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形
D．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
解析：选AD．若sin A若A＝120°，B＝30°，则sin A＝cos B，△ABC不是直角三角形，所以B错；
若a cos A＝b cos B，则sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，
所以A＝B或A＋B＝90°，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
因为tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan (A＋B)·＋tan C
＝－tan C＋tan C＝tan A·tan Btan C>0.所以△ABC是锐角三角形．D正确．故答案选AD．
12．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)
A．60° B．75°
C．90° D．115°
解析：选B．不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝，整理，得(3－)sin A＝(3＋)cos A．所以tan A＝2＋，又因为A∈(0°，120°)，所以A＝75°，故选B．
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________．
解析：由A＝60°，B＝45°及正弦定理＝可知＝＝，则b＝a，代入a＋b＝12得a＝36－12.
答案：36－12
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①b cos A·cos C＝a sin B sin C－b；②b sin B cos C＋c sin 2B＝a cos B；③＋a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知D是BC上的一点，BC＝2BD>AB，AD＝2，AB＝6，若________，求△ACD的面积．
解：若选择①，则sin B cos A cos C＝sin A sin B sin C－sin B，
因为sin B≠0.所以cos A cos C－sin A sin C＝－，即cos ＝－.
因为B＝π－，所以cos ＝－cos B＝－，即cos B＝.
因为0若选择②，则sin 2B cos C＋sin C sin 2B＝sin A·cos B，
即sin 2B cos C＋sin C sin B cos B＝sin A cos B，
故sin B sin ＝sin A cos B．
因为sin ＝sin A≠0.所以sin B＝cos B，所以tan B＝.
因为0若选择③，则sin B cos A＋sin A cos B＝2sin C cos B，
即sin ＝2sin C cos B，
因为sin ＝sin C≠0.所以cos B＝.
因为0在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，
即28＝36＋BD2－2×6×BD×，解得BD＝4或BD＝2.
因为BC＝2BD>AB＝6，所以BD＝4.
因为BC＝2BD，所以S△ACD＝S△ABD＝AB·BD sin B＝×6×4×＝6.
[C　拓展探究]
15．在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求的取值范围．
解：(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
代入＝，
得＝，
所以b2－a2＝ab.①
因为cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
所以cos (A－B)－cos (A＋B)＝2sin2C，
所以sinA sin B＝sin2C.
由正弦定理，得·＝，
所以ab＝c2.②
把②代入①得，b2－a2＝c2，
即a2＋c2＝b2.
所以△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知B＝，
所以A＋C＝，
所以C＝－A.
所以sinC＝sin ＝cos A.
根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin .
因为ac所以0＜A＜，
所以＜A＋＜.
所以＜sin <1，
所以1＜sin <，
即的取值范围是(1， ).

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