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8．1　空间几何体的结构特征及直观图
(教师独具内容)
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．认识简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)，了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤；会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．强化直观图、原空间几何体形状之间的相互转化，通过观察空间几何体原图形和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．
2．重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
本考点在高考中考查频率不高，属于中低档题目，主要以选择题或填空题形式出现，命题的关注点在于几何体的直观图．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
结构特征 (1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形；(2)相邻两个四边形的公共边都互相平行 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
特殊的四棱柱：
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直平行六面体} {平行六面体} {四棱柱}．
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆
旋转轴 矩形的一边所在直线 直角三角形的一条直角边所在直线 直角梯形的直角腰所在直线 半圆的直径所在直线
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
注：1.斜二测画法中的“三变”与“三不变”
2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)
(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(　　)
(3)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)
A.棱台
B．四棱柱
C．五棱柱
D．简单组合体
答案　C
解析　由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．故选C.
3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　)
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
答案　B
4．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(　　)
A.①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
答案　C
解析　图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C.
5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)
答案　A
解析　由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.故选A.
(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
答案　26　－1
解析　先求面数，有如下两种方法．
解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．
解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式).
由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，
故由V＋F－E＝2，
得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.
再求棱长．
作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝x.
又AM＋MN＋NF＝1，即x＋x＋x＝1.
解得x＝－1，即半正多面体的棱长为－1.
基础知识巩固
考点　　空间几何体的结构特征
例1　(多选)下列说法错误的是(　　)
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
答案　ABC
解析　对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；对于B，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；对于C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；对于D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．故选ABC.
例2　给出以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　B
解析　命题①错误，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错误，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③正确．故选B.
　1.给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．
2．下列结论正确的是(　　)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
答案　D
解析　A错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；
B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥；C错误，棱台的上、下底面相似，但是侧棱长不一定相等；D正确．
　有关空间几何体结构特征的解题策略
(1)关于空间几何体的结构特征辨析的关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
注意：(1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
考点　　空间几何体的直观图
例3　(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
答案　D
解析　解法一：如图所示为原图形和其直观图，
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
解法二：由题意得S△ABC＝a2，所以直观图的面积S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.
(2)已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的等边三角形，则△ABC的面积为________．
答案　a2
解析　解法一：建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，
AB＝A′B′.已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得＝，所以OC′＝a＝a，所以原三角形ABC的高OC＝a，所以S△ABC＝×a×a＝a2.
解法二：由题意得S△A′B′C′＝a2，所以△ABC的面积S△ABC＝2S△A′B′C′＝2×a2＝a2.
　3.(多选)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是(　　)
A．等边三角形
B.直角三角形
C．三边互不相等的三角形
D.面积为的三角形
答案　AD
解析　由题中图形知，在△ABC中，AO⊥BC.∵A′O′＝，∴AO＝，∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC为等边三角形．∴△ABC的面积为×2×＝.故选AD.
　画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(x′轴、y′轴的夹角为45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．
考点　　多面体的侧面展开图
例4　如图所示，圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)
A．2 B．2
C．3 D.2
答案　B
解析　将圆柱的侧面沿ME展开，则N为EP的四等分点，如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．EN＝×16＝4，EM＝2，∴MN＝＝＝2.
例5　(2022·大连模拟)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是(　　)
A． B.
C． D.
答案　A
解析　正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为.故选A.
　4.如图正方体纸盒，展开后可以得到(　　)
答案　A
5.如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离为________．
答案　2
解析　将圆柱的侧面沿AB展开，如图所示，连接AB′，则AB′的长即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝＝＝2，所以蚂蚁爬行的最短距离为2.
　解决空间几何体表面上两点距离的最短问题，常借助其侧面展开图．
课时作业
一、单项选择题
1．下列几何体中棱柱有(　　)
A．5个 B.4个
C.3个 D.2个
答案　D
解析　由棱柱定义知，①③为棱柱．
2．下面图形中，为棱锥的是(　　)
A．①③ B.①③④
C.①②④ D.①②
答案　C
解析　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥，③不是棱锥．
3.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(　　)
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
答案　D
解析　该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故D不正确．
4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(　　)
A．45° B.135°
C．90° D.45°或135°
答案　D
解析　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°.在直观图中，由斜二测画法知∠x′O′y′＝45°(或135°)，即∠A′等于45°或135°.
5．下面图形中是正方体展开图的是(　　)
答案　A
解析　由正方体表面展开图的性质知A项是正方体的展开图；B项不能折成正方体；C项缺少一个正方形；D项不能折成正方体．
6．在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有(　　)
A．20条 B.15条
C.12条 D.10条
答案　D
解析　如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10条．
7．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将该圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是(　　)
A．圆面 B．矩形面
C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
答案　C
解析　将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面．故选C.
8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为(　　)
A．2 B．
C．＋1 D.2＋
答案　B
解析　如图，连接D1A，C1B并分别延长至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，连接EG，FG，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，
∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，又AB＝AD＝AF，∴四边形ABGF为正方形，∴EG＝＝＝CE，∴D1E＋CE的最小值为D1G，又D1G＝＝＝，∴D1E＋CE的最小值为.
二、多项选择题
9．下面关于四棱柱的命题中，真命题是(　　)
A．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
B．若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C．若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
D．若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
答案　BD
解析　A错误，必须是两个相邻的侧面；B正确，因为由两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；C错误，反例，可以是斜四棱柱；D正确，体对角线两两相等，则此两体对角线所在的平行四边形为矩形，可得侧棱与底面垂直，棱柱为直棱柱．
10.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中(　　)
A．AB与AC相等
B．AD的长度大于AC的长度
C．AB的长度大于AD的长度
D．BC的长度大于AD的长度
答案　AC
解析　根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系xOy，BC∥x轴，并且BC＝B′C′，点D是BC的中点，并且作AD∥y轴，
即AD⊥BC，且AD＝2A′D′，连接AB，AC，如图所示．所以△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AB的长度大于AD的长度，又BC＝B′C′，AD＝2A′D′，观察题图，A′D′>B′C′，所以B′C′<2A′D′，即BC三、填空题
11．面数最少的棱台为________棱台；由________个面围成．
答案　三　5
解析　由棱台的定义得面数最少的棱台为三棱台，由5个面围成．
12．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1，2，2，则它的斜高是________．
答案　
解析　如图，正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面边长A1B1＝1，AB＝2，高OO1＝2，O，O1是△ABC，△A1B1C1的重心，连接A1O1并延长，交B1C1于点E，连接AO并延长，交BC于点D，连接DE，过点E作EF⊥AD于点F，则O1E＝OF＝，DF＝OD－OF＝－＝，∴正三棱台ABC－A1B1C1的斜高DE＝＝＝.
13．某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AD＝BC＝1，则该平面图形的面积为________．
答案　
解析　由∠ABC＝45°，AD＝BC＝1，得2AB cos 45°＋1＝2，即AB＝.根据斜二测画法可知，原平面图形是下底为2，上底为1，高为的直角梯形，所以S＝×＝.
14．已知圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的高等于________．
答案　
解析　设圆锥的底面半径为r，由圆锥的底面面积为π，得πr2＝π，解得r＝1，又母线长为2，所以该圆锥的高为＝.
四、解答题
15.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．求原图形的周长与面积．
解　正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图是平行四边形，相邻边长为1 cm和＝3(cm)，所以原图形的周长是8 cm，面积为1×2＝2(cm2).
16．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．
解　(1)如图，作圆台的轴截面，则截面为等腰梯形ABCD，O1，O分别为AD，BC的中点，作AM⊥BC于点M，连接O1O.
由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，
∴AM＝＝3 (cm)，即圆台的高为3 cm.
(2)如图，延长BA，OO1交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，得＝，即＝，解得l＝20，∴截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
17.如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值．
解　将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧′的长度L就是圆O的周长，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4).
∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离．在△SAM中，
∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
∴SR＝＝(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)＝32.

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