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8．3　空间点、直线、平面之间的位置关系
(教师独具内容)
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实和定理：
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．理解两条异面直线所成角的概念．
3．重点提升数学运算、逻辑推理和直观想象素养．
(教师独具内容)
1．本考点属于高考常考内容，命题的关注点在于几何体中线面位置关系的判断，几何体的结构特征以及异面直线所成角的求解方法，其中异面直线所成的角是高考的热点．
2．平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考主要考查的知识点，题型多为选择题或填空题，也可能在大题中间接考查．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．平面的基本性质
(1)基本事实
文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α ①确定平面；②证明点、线共面
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，A∈α，B∈α l α ①检验一个面是否为平面；②判断直线是否在平面内；③证明点在平面内
续表
文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判断两个平面是否相交；②判断点是否在直线上；③证明点共线和线共点；④寻找两个平面的交线
(2)三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间中两条直线的位置关系
(1)位置关系分类
(2)基本事实4和定理
①基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
②定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
注：(1)自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
(2)符号语言：如图1，2所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′B′，则∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°.
3．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：．
(3)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(4)异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有三个公共点的两个平面必重合．(　　)
(2)三条两两相交的直线确定一个平面．(　　)
(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l α.(　　)
(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
答案　C
解析　假设c∥b，又因为c∥a，所以a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行．
3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)
A．b α
B．b∥α
C．b α或b∥α
D．b与α相交或b α或b∥α
答案　D
解析　由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b α.故选D.
4. (多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(　　)
A．AB与CD是异面直线
B．GH与CD相交
C．EF∥CD
D．EF与AB异面
答案　ABC
解析　把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A，B，C正确，EF与AB相交，故D错误．故选ABC.
5.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件__________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形．
答案　(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
解析　由已知条件，易得四边形EFGH为平行四边形，且EF綊AC，EH綊BD.
(1)∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，故AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.
1．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　如图，连接A1C1，A1B，BC1，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．因为A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形．又点P为A1C1的中点，所以BP平分∠A1BC1，所以∠PBC1＝∠A1BC1＝，所以直线PB与AD1所成的角为.故选D.
2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(　　)
答案　BC
解析　设正方体的棱长为2，对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC或其补角为异面直线OP，MN所成的角，在直角三角形OPC中，∠PCO＝90°，则∠POC≠90°，故MN⊥OP不成立，故A错误；对于B，如图2所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则PQ⊥MN，OQ∥TD，由正方体SBCN－MADT可得TD⊥平面SNTM，故OQ⊥平面SNTM，又MN 平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而OP 平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，AO，则AC∥MN，因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线OP，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，OP＝＝＝，OQ2　
　
3．(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：
(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；
(2)点C1在平面AEF内．
证明　(1)连接BD.∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1.
∵AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，BB1，BD 平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D.
∵EF 平面BB1D1D，∴EF⊥AC.
(2)在CC1上取点M使得CM＝2MC1，
连接DM，MF，EC1，
∵D1E＝2ED，DD1∥CC1，DD1＝CC1，
∴ED＝MC1，ED∥MC1.
∴四边形DMC1E为平行四边形，
∴DM∥EC1.
∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
BF＝2FB1，CM＝2MC1，
∴MF∥CB，MF＝CB，
又DA∥CB，DA＝CB，
∴MF∥DA，MF＝DA，
∴四边形MFAD为平行四边形，
∴DM∥AF，∴EC1∥AF.
∴点C1在平面AEF内．
一、基础知识巩固
考点　　平面基本性质的应用
例1　如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．求证：
(1)四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点共面．
证明　(1)因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GH∥AD且GH＝AD，
又BC∥AD且BC＝AD，
故GH∥BC且GH＝BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)由BE∥AF且BE＝AF，G是FA的中点，知BE∥GF且BE＝GF，
所以四边形EFGB是平行四边形，
所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，
所以C，D，F，E四点共面．
例2　如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明　(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，
∴Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，∴R∈PQ，
∴P，Q，R三点共线．
　1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)
答案　D
解析　A，B，C中，PS∥QR，四点共面，D中四点不共面．
2．(多选)给出以下说法，其中正确的是(　　)
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
答案　AD
解析　在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；在B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但点A，B，C，D，E不共面，B不正确；C显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，D正确．
3.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点．若EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．
证明　因为K∈EH，EH 平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，
而平面ABD∩平面CBD＝BD，
因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点．
　
1．证明点共线问题的常用方法
(1)基本事实法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上．
(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
2．证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
3．证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
考点　　空间两条直线位置关系的判断
例3　如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是(　　)
答案　C
解析　A中PQ∥RS，B中PQ∥RS，C中PQ与RS为异面直线，D中PQ与RS相交．故选C.
例4　已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　)
A．直线MN与直线A1B是异面直线
B．直线MN与直线DD1相交
C．直线MN与直线AC1是异面直线
D．直线MN与直线A1C平行
答案　C
解析　如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；
因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．
　4.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案　B
解析　如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点.∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.
不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝，∴EN＝＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝EF＝，BG＝＝ ＝，∴BM＝＝.∴BM≠EN.∵BM，EN都是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.
5．(多选)(2021·新高考八省联考)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中(　　)
A．AE∥CD B．CH∥BE
C．DG⊥BH D．BG⊥DE
答案　BCD
解析　由正方体的平面展开图还原正方体如图．由图形可知，AE⊥CD，故A错误；因为HE∥BC，HE＝BC，所以四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故B正确；因为DG⊥HC，DG⊥BC，HC∩BC＝C，所以DG⊥平面BHC，所以DG⊥BH，故C正确；因为BG∥AH，而DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确．故选BCD.
　
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理．对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．
考点　　异面直线所成的角
例5　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　因为CD∥AB，所以∠EAB即为异面直线AE与CD所成的角，连接BE，在直角三角形ABE中，设AB＝a，则BE＝a，所以tan ∠EAB＝＝.
例6　已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　解法一：如图，取AB，BB1，B1C1的中点M，N，P，连接MN，NP，PM，
可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角．由题意可知BC1＝，AB1＝，则MN＝AB1＝，NP＝BC1＝.取BC的中点Q，连接PQ，QM，则可知△PQM为直角三角形．在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝4＋1－2×2×1×＝7，即AC＝，所以MQ＝AC＝.又CC1＝1，所以PQ＝1.在Rt△PQM中，可知PM＝＝.在△PMN中，cos ∠PNM＝＝＝－，又异面直线所成角的范围为，故所求角的余弦值为.
解法二：把直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图，连接C1D，BD，
则AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角).由题意可知BC1＝，
BD＝＝，C1D＝AB1＝.可知BC＋BD2＝C1D2，
所以cos ∠BC1D＝＝.
　6．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos ∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
7．将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，则直线AB与CD所成的角为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案　B
解析　如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连接OD，ON，OM，OB，MN，则ON∥CD，MN∥AB，且ON＝CD，MN＝AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．
因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，OB⊥AC，所以OB⊥平面ACD，所以OB⊥OD.设正方形边长为2，则OB＝OD＝，所以BD＝2，则OM＝BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1，所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.
　
1．求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
(3)三求：解三角形，求出所作的角．
2．求异面直线所成的角多采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
3．因为异面直线所成的角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
二、核心素养提升
例1　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，直线AC1⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是(　　)
A．截面形状可能为四边形
B．截面形状可能为五边形
C．截面面积的最大值为2
D．截面面积的最大值为
答案　D
解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1⊥平面A1BD，所以平面α与平面A1BD平行，平面α与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形，当截面为正六边形EFNMGH时，截面面积最大，由题可知NM＝＝1，则S正六边形EFNMGH＝6××1×1×sin 60°＝.故选D.
例2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
答案　C
解析　先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．
例3　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A1D1，C1D1的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为(　　)
A. B．
C．1 D．2
答案　B
解析　如图，分别取BC，AA1，CC1的中点为H，M，N，连接EH，HN，GN，FM，ME，容易得出FG∥EH，GN∥ME，HN∥FM，则点E，F，G，H，M，N共面，且FG＝EH＝GN＝ME＝HN＝FM＝＝，
即经过E，F，G三点的截面图形为正六边形EHNGFM.连接MN，FH，且相交于点O，因为MN＝AC＝＝，所以OE＝OH＝ON＝OG＝OF＝OM＝，则截面图形的面积为×××sin 60°×6＝.
1．作截面应遵循的三个原则
(1)过同一平面上的两点可引直线；
(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；
(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线．
2．作交线的两种方法
(1)利用基本事实3作交线；
(2)利用线面平行及面面平行的判定定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
3．正方体的基本斜截面
横截 竖截 斜截
正方体 正方形 矩形 如图所示
说明：正方体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．
课时作业
一、单项选择题
1．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．A，B，C均有可能
答案　D
解析　如图，在正方体AC1中，∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥BC，又AD∥BC，∴A项有可能；∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥AB，又AD∩AB＝A，∴B项有可能；∵A1A⊥平面ABCD，A1A⊥平面A1B1C1D1，AC 平面ABCD，A1D1 平面A1B1C1D1，∴A1A⊥AC，A1A⊥A1D1，又AC与A1D1不在同一平面内，∴C项有可能．
2．(2021·山东泰安一中高三月考)如图所示，用符号语言可表示为(　　)
A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α
C．l∥β，l α D．α∥β，l α
答案　D
解析　题图中面面关系、线面关系用符号语言可表示为α∥β，l α.
3．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，一定不在平面α内
答案　B
解析　假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，∴m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾．
4．若P为两条异面直线l，m外的任意一点，则(　　)
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
答案　B
解析　设过点P的直线为n，若n∥l，n∥m，则l∥m，与l，m是异面直线矛盾，故A错误；因为l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；过点P与直线l相交的直线，必在点P与直线l所确定的平面β内．若m与平面β平行，则不存在这样的直线，故C错误；设点P与直线m所确定的平面为α，则α与β相交于过点P的直线，在α与β外任找一点R，则由异面直线的判定定理得，RP与直线l，m都异面，所以有无数条，故D错误．
5．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是(　　)
A．异面
B．平行
C．相交
D．可能相交、平行，也可能异面
答案　D
解析　一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．
6．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为(　　)
A．等腰梯形
B．非矩形的平行四边形
C．正五边形
D．正六边形
答案　C
解析　画出截面图形如图：
C，D分别是所在棱的中点，四边形ABCD为等腰梯形，故A有可能；
如图作截面EFGH，E，G分别是所在棱的中点，由平面与平面平行的性质可得EF∥GH，FG∥EH，四边形EFGH为平行四边形，但不是矩形，故B有可能；
经过正方体的一个顶点去切正方体可得五边形，一定不是正五边形，故C不可能；
六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形，故D有可能．故选C.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成的角为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∥A1C1，异面直线AC与BC1所成的角即为A1C1与BC1所成的角，而△A1BC1为等边三角形，故A1C1与BC1的夹角为，所以异面直线AC与BC1所成的角为.故选C.
8．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．M，O，A1，A四点共面
C．B，B1，O，M四点共面
D．A，O，C，M四点共面
答案　C
解析　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，C，A四点共面，∴A1C 平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，∵M∈平面AB1D1，∴点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理点O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A，M，O三点共线，故A正确；∵A，M，O三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，∴A，M，O，A1四点共面，A，M，C，O四点共面，故B，D正确；∵BB1 平面AB1D1，OM 平面AB1D1，B1∈平面AB1D1且B1 OM，∴BB1和OM是异面直线，∴B，B1，O，M四点不共面，故C错误．
二、多项选择题
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论正确的是(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
答案　CD
解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A，B错误；直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故C，D正确．
10．下列命题中正确的是(　　)
A．存在与两条异面直线都平行的平面
B．过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行
C．过平面外一点可作无数条直线与该平面平行
D．过直线外一点可作无数个平面与该直线平行
答案　ACD
解析　将一个平面内的两条相交直线分别平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故A正确；当该点在其中一条直线上时，过该点不可能作出平行该直线的平面，故B不正确；过棱柱上底面内一点在上底面内可以作无数条直线都与下底面平行，故C正确；过直线外一点有一条直线与这条直线平行，那么过这条平行线有无数个平面，都与已知直线平行(只有一个不平行)，故D正确．
三、填空题
11．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).
答案　②④
解析　①中GH∥MN；②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此GH，MN是异面直线；③中连接GM，GM∥HN，所以直线GH与MN共面；④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH，MN是异面直线．
12．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．
答案　4　6
解析　六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均相交．
13．有下列四个命题：
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②过空间中任意三点有且仅有一个平面；
③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
④若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
其中真命题的序号为________．
答案　①④
解析　对于命题①，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以AB 平面α，
即l3 平面α，命题①为真命题；对于命题②，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题②为假命题；对于命题③，空间中两条直线相交、平行或异面，命题③为假命题；对于命题④，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l 平面α，所以直线m⊥直线l，命题④为真命题．
14．(2021·山东青岛高三月考)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案　②③④
解析　将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)－DEF，如图．对于①，G，H分别为DE，BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，
与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，得GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④.
四、解答题
15.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
解　(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
16.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)四边形ECD1F是梯形；
(2)CE，D1F，DA交于一点．
证明　(1)如图，连接A1B.因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝A1B.
又因为A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1，A1B＝CD1，
所以EF∥CD1且EF＝CD1，
所以四边形ECD1F是梯形．
(2)由(1)知，四边形ECD1F是梯形，所以CE与D1F必相交．
设交点为P，如图，则P∈CE 平面ABCD，且P∈D1F 平面A1ADD1.
又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
所以P∈AD，所以CE，D1F，DA交于一点．
17.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，
三棱锥P－ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos ∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

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