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8．4　空间直线、平面的平行
(教师独具内容)
1．从基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出以下性质定理和判定定理：
(1)一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．
(2)两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．
(3)如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
(4)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
2．以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质定理与判定定理，并能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些关于空间图形的平行关系的简单命题．
3．重点提升逻辑推理和直观想象素养．
(教师独具内容)
1．考查空间中的平行关系：以棱柱或棱锥等多面体为载体，考查空间中平行关系的证明；熟练掌握空间线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，这是证明平行关系的理论依据．
2．从近三年高考情况来看，本考点是高考的重点．预测2023年高考中直线、平面平行的判定及性质为重点考查内容，涉及线线平行、线面平行及面面平行的判定及应用，题型为解答题中的一问．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
3．平行关系中的重要结论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(4)同一条直线与两个平行平面所成的角相等．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　)
(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)
(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
答案　D
解析　若α∩β＝l，a∥l，a α，a β，则a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a α，a∥l，b β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
3．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与平面α的关系为(　　)
A．平行
B．相交
C．直线b在平面α内
D．平行或直线b在平面α内
答案　D
解析　依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
答案　平行
解析　连接BD交AC于点O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，∴BD1∥平面ACE.
5．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
答案　平行四边形
解析　因为平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．
1．(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B－EB1C1F的体积．
解　(1)证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1.
又AA1∥BB1，∴AA1∥MN.
∵△A1B1C1是等边三角形，N为B1C1的中点，∴A1N⊥B1C1.
又侧面BB1C1C为矩形，∴B1C1⊥BB1.
∵MN∥BB1，∴MN⊥B1C1.
又MN∩A1N＝N，MN，A1N 平面A1AMN，
∴B1C1⊥平面A1AMN.
又B1C1 平面EB1C1F，
∴平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)如图，过M作NP的垂线，垂足为H，
∵平面A1AMN⊥平面EB1C1F，平面EB1C1F∩平面A1AMN＝NP，MH 平面A1AMN，
∴MH⊥平面EB1C1F.
∵BC∥B1C1，∴BC∥平面EB1C1F.
∴VB－EB1C1F＝VM－EB1C1F＝S四边形EB1C1F·MH.
∵AO∥平面EB1C1F，AO 平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝NP，
∴AO∥NP.
又NO∥AP，
∴四边形OAPN为平行四边形．
∴AO＝NP＝6.
∵O为△A1B1C1的中心，A1N＝AM＝AB sin ＝6×＝3，
∴ON＝A1N＝.
∴AP＝ON＝，则PM＝AM－AP＝2.
∴MH＝PM sin ∠MPH＝2sin ＝3.
又在等边三角形ABC中，＝，
∴EF＝＝＝2.
由(1)知，四边形EB1C1F为梯形，
∴S四边形EB1C1F＝·NP＝×6＝24.
∴VB－EB1C1F＝S四边形EB1C1F·MH＝×24×3＝24.
2．(2018·全国Ⅲ卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
解　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，BC，CM 平面BMC，所以DM⊥平面BMC.
而DM 平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．
连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.
又MC 平面PBD，OP 平面PBD，
所以MC∥平面PBD.
一、基础知识巩固
考点　　平行关系的基本问题
例1　已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案　D
解析　对于A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，也可能相交(比如直三棱柱相邻两侧面都与底面垂直)，故B错误；对于C，若m∥α，m∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D正确．故选D.
　1.已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面α，β，有如下命题：
①若a∥α，b α，则a∥b；
②若α∥β，a α，则a∥β；
③若α∥β，a α，b β，则a∥b.
其中正确命题的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
答案　C
解析　若a∥α，b α，则a与b平行或异面，故①错误；若α∥β，a α，则a与β没有公共点，即a∥β，故②正确；若α∥β，a α，b β，则a与b无公共点，得a，b平行或异面，故③错误．∴正确命题的个数为1.故选C.
2．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　　)
答案　BCD
解析　A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴直线AB与平面MNQ相交；B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB 平面MNQ，NQ 平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选BCD.
　判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项．
直线、平面间平行的判定方法：
(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)利用实物进行空间想象，比较判断．
(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．
考点　　直线与平面平行的判定与性质
例2　如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.
证明　证法一： (线线平行，则线面平行)如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，
所以四边形HGFD是平行四边形，
所以GF∥DH.
又DH 平面ADE，GF 平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
证法二：(面面平行，则线面平行)如图，取AB的中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE 平面ADE，GM 平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点，得MF∥AD.
又AD 平面ADE，MF 平面ADE.
所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM 平面GMF，MF 平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
又GF 平面GMF，所以GF∥平面ADE.
例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴PA∥OM，又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
　3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点，O为AC的中点．
(1)求证：OE∥平面PAB；
(2)若AF＝1，求证：CE∥平面BDF；
(3)若AF＝2，M为△ABC的重心，求证：FM∥平面PBC.
证明　(1)因为四边形ABCD为菱形，O为AC的中点，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，
所以OE∥PB.
又OE 平面PAB，PB 平面PAB，
所以OE∥平面PAB.
(2)过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，FO.
因为EG∥FD，EG 平面BDF，FD 平面BDF，
所以EG∥平面BDF，
因为E为PD的中点，
所以G为FP的中点，
因为AF＝1，PA＝3，所以F为AG的中点，所以OF∥CG.
因为CG 平面BDF，OF 平面BDF，
所以CG∥平面BDF.
又EG∩CG＝G，EG，CG 平面CGE，
所以平面CGE∥平面BDF，
又CE 平面CGE，所以CE∥平面BDF.
(3)连接AM并延长，交BC于点Q，连接PQ，
因为M为△ABC的重心，所以Q为BC的中点，且＝.又AF＝2，所以＝.所以＝，所以FM∥PQ，又FM 平面PBC，PQ 平面PBC，所以FM∥平面PBC.
4.如图，在五面体ABCDE中，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成的角为30°，CE∥平面ADF.
(1)试确定F的位置；
(2)求三棱锥A－CDF的体积．
解　(1)连接BE交AD于点O，连接OF，则O为BE的中点．
因为CE∥平面ADF，CE 平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，
所以CE∥OF.
因为O是BE的中点，所以F是BC的中点．
(2)因为BC与平面ABD所成的角为30°，
BC＝AB＝1，
所以C到平面ABD的距离为
h＝BC sin 30°＝.
因为AE＝2，F是BC的中点，
所以VA－CDF＝VF－ACD＝VB－ACD＝VC－ABD＝×××1×2×＝.
　判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)(客观题可用).
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
考点　　平面与平面平行的判定与性质
例4　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．
(1)求证：B，C，H，G四点共面；
(2)求证：平面EFA1∥平面BCHG；
(3)若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
又A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
(3)如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接DM.
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B 平面A1BD1，DM 平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1 平面AC1D，DM 平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
例5　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD.请在图中作出平面α，使得DE α，且BF∥α，并说明理由．
解　如图，取BC的中点P，连接DP，PE，则平面PDE即为所求的平面α.
下面证明BF∥α.
因为BC＝2AD，AD∥BC，所以AD∥BP，且AD＝BP，
所以四边形ABPD为平行四边形，
所以AB∥DP.
又AB 平面PDE，DP 平面PDE，
所以AB∥平面PDE.
因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.
又AF 平面PDE，DE 平面PDE，
所以AF∥平面PDE.
又AF 平面ABF，AB 平面ABF，AB∩AF＝A，
所以平面ABF∥平面PDE.
又BF 平面ABF，所以BF∥平面PDE，即BF∥α.
　5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，点D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明　如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以点E是A1C的中点，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
所以A1B∥ED，
因为点E是A1C的中点，
所以点D是BC的中点，
又因为点D1是B1C1的中点，
所以D1C1綊BD，
所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以BD1∥C1D.
又BD1 平面AC1D，C1D 平面AC1D，
所以BD1∥平面AC1D，
又因为A1B∩BD1＝B，
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
6.如图所示，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，
求证：DM∥平面BEC.
证明　(1)取BD的中点O，连接OC，OE.
∵CB＝CD，∴OC⊥BD.
又EC⊥BD，EC∩OC＝C，
∴BD⊥平面OEC.
∵OE 平面OEC，∴BD⊥OE.
又O为BD的中点，
∴OE为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE.
(2)取AB的中点N，连接DN，MN.
∵M为AE的中点，∴MN∥BE.
∵BE 平面BEC，MN 平面BEC，
∴MN∥平面BEC.
∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，
∴DN⊥AB.
∵∠BCD＝120°，CD＝CB，
∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即CB⊥AB，
∴DN∥CB.
∵CB 平面BEC，DN 平面BEC，
∴DN∥平面BEC.
∵DN∩MN＝N，DN，MN 平面MND，
∴平面MND∥平面BEC.
又DM 平面MND，∴DM∥平面BEC.
　
1．判定面面平行的四种方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).
2．面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
考点　　平行关系的综合应用
例6　如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.
(1)证明：平面ABF∥平面DCE；
(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．
解　(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，
∴DE∥AF，又DE 平面DCE，AF 平面DCE，
∴AF∥平面DCE.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，又CD 平面DCE，AB 平面DCE，
∴AB∥平面DCE.
∵AB∩AF＝A，AB 平面ABF，AF 平面ABF，∴平面ABF∥平面DCE.
(2)存在点G，满足题意．理由如下：假设存在一点G，过G作MG∥BF交EC于M，过C作CH∥BF交ED于H，连接BG，BM，FG，如图，
由VABCDEF＝VB－ADEF＋VB－CDE＝×3×＋×3×＝，
设EG＝t，则VGFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝×＝，
设M到ED的距离为h，
则＝＝＝，即h＝t，
则S△EGM＝×t×t＝t2，
VGFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝×3××3×t＋×3×t2＝，即4t2＋8t－21＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)，
则存在点G，当EG＝，即G为ED的中点时满足条件．
　7.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况).
答案　点M在线段FH上
解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
8．如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
解　(1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF β，BD β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，
设平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，
连接EG，FG，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF 平面EFG，∴EF∥平面β.
综合①②可知，EF∥平面β.
(2)
如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝＝，
即EF＝或EF＝.
　解决存在问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．
二、核心素养提升
例1　(多选)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1内的动点，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．若PD＝3，则满足条件的点P有且只有一个
B．若PD＝，则点P的轨迹是一段圆弧
C．若PD∥平面ACB1，则PD长的最小值为2
D．若PD∥平面ACB1，且PD＝，则平面BDP截正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为
答案　ABD
解析　
如图，因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，所以B1D1＝2，又侧棱AA1＝1，所以DB1＝＝3，则P与B1重合时PD＝3，此时点P唯一，故A正确；因为PD＝∈(1，3)，DD1＝1，则PD1＝，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当PD∥平面ACB1时，点P在A1C1上运动．又DA1＝DC1＝，则P为A1C1的中点时，PD有最小值为＝，故C错误；由C项知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为×＝，面积为π×＝，故D正确．故选ABD.
例2　如图，在空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.
(1)试在平面BCD内作一条直线，使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行，并给出详细证明；
(2)求点B到平面AEC的距离．
解　(1)如图所示，分别取BC和BD的中点H，G，连接HG，则直线HG为所求直线．
证明如下：
因为H，G分别为BC，BD的中点，
所以HG∥CD，所以HG∥平面CDE.
取CD的中点O，连接EO，AH，AG，
易知EO⊥CD，AH⊥BC.
因为平面CDE⊥平面BCD，且EO⊥CD，所以EO⊥平面BCD，又由平面ABC⊥平面BCD，AH⊥BC，得AH⊥平面BCD，所以EO∥AH，所以AH∥平面CDE，又AH∩HG＝H，
所以平面AHG∥平面CDE，所以直线HG上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行．
(2)由(1)可得EO∥AH，所以EO∥平面ABC，所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，
连接OH，则OH＝1，EO＝，因为AB＝，所以AH＝2，
所以AE＝＝2，所以△ABC的面积S＝×2×2＝2，
分别取AC，CH的中点M，N，
连接EM，MN，ON，DH.
所以MN∥AH且MN＝AH，
又EO∥AH且EO＝AH，
所以MN∥EO且MN＝EO，所以四边形EONM为平行四边形，所以EM∥ON.
因为△BCD为等边三角形，H为BC的中点，
所以DH⊥BC，
又平面BCD⊥平面ABC，
所以DH⊥平面ABC，
因为O，N分别为CD和CH的中点，
所以ON∥DH，
又EM∥ON，所以EM∥DH，
所以EM⊥平面ABC，所以EM⊥AC，所以△ACE的面积S1＝AC·EM＝××＝，
设点B到平面AEC的距离为h，由等体积法可得，VE－ABC＝VB－ACE，即×2×＝××h，解得h＝.
平行关系中对点的存在性的探索问题，一般利用转化方法求解，即首先确定点的位置．然后把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行．
课时作业
一、单项选择题
1．若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵l，m是平面α外的两条不同的直线，m∥α，∴若l∥m，则l∥α；若l∥α，则l∥m或l与m相交或l与m异面．∴若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的充分不必要条件．
2．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．共面或异面
答案　B
解析　因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.
3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F(异于A，B，C)，则(　　)
A.MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
答案　B
解析　∵在 AA1B1B中，AM＝MA1，BN＝NB1，∴AM綊BN，∴四边形ABNM是平行四边形，∴MN綊AB.又MN 平面ABC，AB 平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN 平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB.显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B.
4．已知在三棱锥S－ABC中，D为线段AB的中点，点E在△SBC(含边界位置)内，则满足DE∥平面SAC的点E的轨迹为(　　)
A．线段SB，BC的中点连接而成的线段
B．线段SB的中点与线段BC靠近点B的三等分点连接而成的线段
C．线段BC的中点与线段SB靠近点B的三等分点连接而成的线段
D．线段BC靠近点B的三等分点与线段SB靠近点B的三等分点连接而成的线段
答案　A
解析　如图所示，P，Q分别为线段SB，BC的中点，所以PQ∥SC，DQ∥AC，PQ 平面SAC，SC 平面SAC，所以PQ∥平面SAC，同理DQ∥平面SAC，PQ∩DQ＝Q，所以平面PDQ∥平面SAC，若DE 平面PDQ，则会有DE∥平面SAC，故点E的轨迹为线段SB，BC的中点连接而成的线段．故选A.
5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E是棱AB的中点，F是四边形AA1D1D内一点(包含边界).若EF∥平面BB1D1D，且线段EF长度的最小值为，则a＝(　　)
A. B．2
C． D．3
答案　B
解析　如图，过点F作DD1的平行线，交AD于点G，交A1D1于点H，则FG⊥底面ABCD，连接EG，EG 平面ABCD，则FG⊥EG，所以EF2＝EG2＋FG2＝AE2＋AG2＋FG2＝AE2＋AF2，
∵EF∥平面BDD1B1，FG∥平面BDD1B1，EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，∴平面EFG∥平面BDD1B1，又GE 平面EFG，∴GE∥平面BDD1B1.又平面ABCD∩平面BDD1B1＝BD，GE 平面ABCD，∴GE∥BD，又E为AB的中点，∴G为AD的中点，则H为A1D1的中点，即F在线段GH上(包含端点)，∴AFmin＝AG＝，∴EFmin＝＝，∴＝，a＝2.故选B.
6．已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是所在棱的中点，则下列图形中，满足B1E∥平面ACD的是(　　)
答案　D
解析　取AC的中点M，连接BM，ME，由ME∥CC1∥BB1且ME＝CC1＝BB1，得四边形BMEB1为平行四边形，所以BM∥B1E，又BM与平面ACD相交，所以B1E与平面ACD相交，故排除A，C；
取BB1的中点F，连接CF，则CF∥B1E，CF与平面ACD相交，则B1E与平面ACD相交，故排除B；
　
由AD∥B1E，AD 平面ACD，B1E 平面ACD，得B1E∥平面ACD，故D正确．
7．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M为AB的中点，点N为BC的中点，点P在底面ABCD内，且D′P∥平面C′MN，D′P与底面ABCD所成的角为α，则sin α的最大值为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　取AD，CD的中点S，T，连接ST，D′S，D′T，因为D′S∥C′N，所以D′S∥平面C′MN，因为ST∥MN，所以ST∥平面C′MN，又因为ST∩D′S＝S，所以平面D′ST∥平面C′MN，故点P在线段ST上(包含端点)时，D′P∥平面C′MN.设正方体的棱长为1，因为DD′⊥底面ABCD，所以∠DPD′即为D′P与底面ABCD所成的角α，当P为ST的中点时，α取最大值，此时，DP＝，D′P＝＝，sin α＝＝＝，故sin α的最大值为.故选D.
8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，BC＝4，E为BC的中点．将△ABE沿着AE向上翻折至△AEM得到四棱锥M－AECD.平面AEM与平面AECD所成的锐二面角为α，直线ME与平面AECD所成的角为β，则下列说法错误的是(　　)
A.若F为AD的中点，则△ABE无论翻折到哪个位置都有平面AEM⊥平面MBF
B．若Q为MD的中点，则△ABE无论翻折到哪个位置都有CQ∥平面AEM
C．sin α＝sin β
D．存在某一翻折位置，使cos α＝cos β
答案　C
解析　若F为AD的中点，记BF与AE的交点为H，连接MH，则AE⊥BF，AE⊥MH，则AE⊥平面MBF，又AE 平面AEM，∴平面AEM⊥平面MBF，故A正确；取AM的中点P，连接PQ，PE，则PQ∥AD，PQ＝AD，又CE∥AD，CE＝AD，∴PQ∥CE，PQ＝CE，∴四边形PECQ是平行四边形，∴CQ∥PE，又CQ 平面AEM，PE 平面AEM，∴CQ∥平面AEM，故B正确；过M作MO⊥平面AECD，则O在BF上，连接OE，∴平面AEM与平面AECD所成的锐二面角为∠MHO(或其补角)，∴sin α＝，sin β＝＝，∴sin α＝sin β，故C错误；若cos α＝cos β，又cos α＝，cos β＝＝，则OE＝2OH，故D正确．
二、多项选择题
9.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝AD＝AA1＝2DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论正确的是(　　)
A．对于任意的点Q，都有AP∥QR
B．对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形
C．存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形
D．存在点Q，使得直线BC∥平面APQR
答案　ABD
解析　∵在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，∴四棱柱ABCD－A1B1C1D1可补成长方体ABCE－A1B1C1E1，如图，延长QR交EE1于点M，连接AM，BD，PR.∵ABCE－A1B1C1E1为长方体，
∴平面ABB1A1∥平面ECC1E1，又平面APQ∩平面ABB1A1＝AP，平面APQ∩平面ECC1E1＝MQ，∴AP∥MQ，即AP∥QR，故A正确；同理可得AM∥PQ，又AM与AR相交，∴AR与PQ相交，故B正确；设AB＝AD＝AA1＝2DC＝2，则DC＝1，BD＝2，BC＝＝，假设△ARP是以∠APR为直角的等腰直角三角形，过点P作PH⊥DD1，∵AP＝PR，∴△PHR≌△ABP，∴RH＝BP，∴RD＝0或2BP，若RD＝0，则AR＝AP，矛盾，若RD＝2BP，则AP2＋PR2＝AR2，∴4＋BP2＋4＋BP2＝4＋(2BP)2，∴BP＝，∴RD＝2>2，矛盾，∴不存在△ARP是以∠APR为直角的等腰直角三角形．同理，不存在△ARP是以∠ARP或∠RAP为直角的等腰直角三角形，故C错误；易知BC∥PQ时，有BC∥平面APQR，故D正确．故选ABD.
10.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则下面四个命题正确的是(　　)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
答案　ACD
解析　由题图，显然A正确，B错误；对于C，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG，又A1D1 平面EFGH，FG 平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)，∴C正确；对于D，∵水是定量的(定体积V)，∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝(定值)，∴D正确．
三、填空题
11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点(包含边界)，若C1M∥平面CD1E，则点M的轨迹长度为________．
答案　
解析　如图所示，取A1B1的中点H，BB1的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.可得四边形EGC1D1是平行四边形，
∴C1G∥D1E，又C1G 平面CD1E，D1E 平面CD1E，可得C1G∥平面CD1E.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1E，又C1H∩C1G＝C1，∴平面C1GH∥平面CD1E.∵M点是正方形ABB1A1内的动点，C1M∥平面CD1E，∴点M在线段GH上．∴点M的轨迹长度为GH＝＝.
12．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，PE＝3ED，若＝λ且满足BF∥平面ACE，则λ＝________．
答案　
解析　如图，连接BD，交AC于点O，则BO＝OD，在线段PE上取一点G，使得GE＝ED，则＝.连接BG，FG，OE，则BG∥OE，
又因为OE 平面ACE，BG 平面ACE，所以BG∥平面ACE.因为BF∥平面ACE且满足BG∩BF＝B，故平面BGF∥平面ACE.因为平面PCD∩平面BGF＝FG，平面PCD∩平面AEC＝EC，则FG∥EC.所以＝＝，即λ＝.
13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，D是AB上一点，且AD＝2DB，E是AA1的中点，F是CC1上一点，当CF＝1时，BF∥平面CDE，则三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积为________．
答案　28π
解析　如图，连接AF交EC于M，连接DM，因为BF∥平面CDE，BF 平面ABF，平面ABF∩平面CDE＝DM，所以BF∥DM，因为AD＝2DB，
所以AM＝2MF，则AE＝2CF＝2，因为AA1＝2AE＝4，所以外接球的球心到平面ABC的距离为d＝2，因为AB＝AC＝，∠BAC＝120°，所以△ABC外接圆的半径为r＝×＝，故所求外接球的半径为R＝＝，其表面积为4πR2＝28π.
14．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为1，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持·＝0，则动点P的轨迹的周长为________．
答案　＋
解析　如图所示，M，F分别为SC，DC的中点，则EF∥BD，ME∥SB，由线面平行判定定理可知，EF∥平面SBD，ME∥平面SBD，而ME∩EF＝E，
所以平面SBD∥平面MEF，设O是底面正方形的中心，所以正四棱锥S－ABCD的高为SO，则SO＝1，且SO⊥AC，又BD⊥AC，BD∩SO＝O，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥平面MEF，因为·＝0，所以有PE⊥AC，则动点P在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF，BD＝＝2，SB＝SD＝＝，则动点P的轨迹的周长为l△MEF＝l△SBD＝×(2＋＋)＝＋.
四、解答题
15．已知四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，平面PBC⊥平面ABCD，点E在AD上，AD⊥平面PEC.
(1)求证：PC⊥平面ABCD；
(2)若AE＝2ED，在线段PB上是否存在一点F，使得AF∥平面PEC？请说明理由．
解　(1)证明：∵AD⊥平面PEC，PC 平面PEC，
∴AD⊥PC，
∵四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴PC⊥BC，又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PC 平面PBC，
∴PC⊥平面ABCD.
(2)存在，F为PB上靠近B的三等分点．理由如下：
取PB上靠近B的三等分点为F，取PC上靠近C的三等分点为G，连接EG，FG，AF.
∵F，G分别为PB，PC上的三等分点，
∴FG∥BC且FG＝BC，
∵AE＝2ED且四棱锥P－ABCD的底面为平行四边形，∴AE∥FG且AE＝FG，
∴四边形AEGF为平行四边形，
∴AF∥EG，又EG 平面PEC，AF 平面PEC，∴AF∥平面PEC.
16.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M，N，E分别是AB，PC，AD的中点，平面EMN交PD于F.求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)MN∥EF.
证明　(1)取CD的中点O，连接NO，MO，
∵M，N，E分别是AB，PC，AD的中点，
∴NO∥PD，MO∥AD，
∵PD∩AD＝D，NO∩MO＝O，PD，AD 平面PAD，MO，NO 平面MNO，
∴平面PAD∥平面MNO，
∵MN 平面MNO，∴MN∥平面PAD.
(2)由(1)得平面PAD∥平面MNO，
又平面EMN∩平面PAD＝EF，平面EMN∩平面MNO＝MN，∴MN∥EF.
17. (2022·山东联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF与棱PD相交于点F，且平面CEF∥平面PAB.
(1)求的值；
(2)求点F到平面PBC的距离．
解　(1)∵平面CEF∥平面PAB，
且平面CEF∩平面PAD＝EF，平面PAB∩平面PAD＝PA，∴PA∥EF，
又AE＝1＝AD，∴PF＝PD，
∴＝.
(2)∵点F为PD的三等分点，
∴点F到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的，
设D到平面PBC的距离为h.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
由等体积法得VD－PBC＝VP－BCD，
即S△PBC·h＝S△BCD·PA，
∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，
∴PB＝2，BC＝1，
∴S△PBC＝PB·BC＝，
S△BCD＝BC·AB＝1，∴h＝，
∴点F到平面PBC的距离等于.

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