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8．6　空间向量及其运算
(教师独具内容)
1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式．了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．能用向量的数量积判断向量的共线与垂直．理解直线的方向向量与平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直关系．
3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
本考点在高考中没有单独命题，一般作为工具与立体几何知识结合考查，因此应重点掌握空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义，并能应用空间向量的数量积判断两向量的共线与垂直．
(教师独具内容)
1．空间直角坐标系与点的坐标
(1)空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)表示．
(2)建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x，y，z)可以建立一一对应的关系．
2．空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式
①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝ ；
②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|＝.
(2)中点公式
设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则
3．空间向量中的特殊向量
名称 概念
零向量 模为0的向量
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
4．空间向量的有关定理
概念 语言描述
共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb推论：M，A，B是三个不共线的点，则点P，M，A，B四点共面的充要条件是存在唯一实数对(x，y)，使＝x＋y
空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc
5．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(3)数量积的性质
向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
共线 同向：a·b＝|a|·|b|
反向：a·b＝－|a|·|b|
模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2；|a|＝；|a·b|≤|a|·|b|
夹角 θ为a，b的夹角，则cosθ＝
(4)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
(5)投影向量
①向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
②向量a在直线l上的投影
如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影．
③向量a在平面β上的投影
如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平
面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　)
(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(　　)
(3)对空间任意两个向量a，b，a∥b 存在λ∈R，使a＝λb.(　　)
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(　　)
A．a，a＋b，a－b
B．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－b
D．a＋b，a－b，a＋2b
答案　C
解析　对于A，因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成基底；对于B，因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能构成基底；对于C，若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一个基底相矛盾，故c，a＋b，a－b可以构成空间向量的一个基底；对于D，a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，所以a＋b，a－b，a＋2b共面，不能构成基底．故选C.
3．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1，6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
答案　B
解析　由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.故选B.
4．已知a＝(2，－1，－3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
答案　D
解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，所以14－7λ＝0，所以λ＝2.
5．如图，在三棱锥O－ABC中，点D是棱AC的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．－a＋b－c
B．a－b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b－c
答案　C
解析　由题意，在三棱锥O－ABC中，点D是棱AC的中点，＝a，＝b，＝c，＝＋，＝－b，＝＋＝a＋c，所以＝a－b＋c.
基础知识巩固
考点　　空间向量的线性运算
例1　如图，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，则下列表示正确的是(　　)
A.＋＋
B.＋＋
C．－＋＋
D.＋＋
答案　D
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝－＋＋.＝＋＝－＋＋＝＋＋.
例2　已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．
答案　，，
解析　如图，因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋，所以x＝，y＝，z＝.
　1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且＝＋x＋y，则实数x＋y的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　D
解析　＝＋＋＝＋＋＝＋x＋y，故x＝，y＝1，所以x＋y＝.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.(c＋b－a) B．(a＋b－c)
C.(a－c) D．(c－a)
答案　D
解析　＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－b＋c)＋(b－a)＝(c－a)．
　用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中空间向量的三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
考点　　共线向量定理、共面向量定理及应用例3　已知空间四点A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)共面，则x＝________.
答案　－6
解析　∵A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x，5,9)，∴＝(2,0，－4)，＝(4，－2,0)，＝(x,2,4)，∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，∴(x,2,4)＝λ(2,0，－4)＋μ(4，－2,0)，∴解得x＝－6.
例4　如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.
求证：B，G，N三点共线．
证明　设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝.所以∥，又与有公共点B，所以B，G，N三点共线．
例5　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解　(1)由题意知＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，共面且过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面．从而点M在平面ABC内．
　3.若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________.
答案　－3
解析　∵＝(3，－1,1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，∴解得
∴m＋n＝－3.
4．已知a＝(2，－1,2)，b＝(－1,3，－3)，c＝(13,6，λ)，若向量a，b，c共面，则λ＝________.
答案　3
解析　∵向量a，b，c共面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，∴解得
5. 如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量，共面．
解　因为＝k，＝k，
所以＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，
所以由共面向量定理知向量与向量，共面．
　
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ且同过点P ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
考点　　空间向量数量积及其应用
例6　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；
(2)·.
解　设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.
(1)＝＝c－a，＝－a，·＝·(－a)＝a2－a·c＝.
(2)·＝(＋＋)·(－)＝·(－)
＝·(－)＝·(c－a)＝.
例7　如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c，用向量法解决下列问题：
(1)求的模；
(2)求与的夹角的大小．
解　(1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，＝a，＝b，＝c，
所以＝＝(－)＝(b－a)，＝＝c.
所以＝＋＋＝－(b－a)－a＋c＝(c－a－b)，
所以||2＝(c－a－b)2＝(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)
＝×(1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°)＝，故||＝.
(2)在正四面体ABCD中，＝(c－a－b)，||＝.
同理，＝(b＋c－a)，||＝.
所以cos〈，〉＝
＝
＝[(c－a)2－b2]
＝(c2＋a2－2c·a－b2)
＝×(1＋1－2×1×1×cos60°－1)＝0，
所以与的夹角为90°.
　6. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
答案　C
解析　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c两两夹角为60°.又＝(a＋b)，＝c，故·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.
7．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　C
解析　由于a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，所以〈a，c〉＝120°.
8. 如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A. B．
C．1 D．
答案　D
解析　因为＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－.故||＝ .
　
1．空间向量数量积的计算方法
(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cosθ.
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
2．运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
3．设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角．
课时作业
一、单项选择题
1. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，∴B(1,1,0)，E，∴＝－(1,1,0)＝.
2．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
答案　C
解析　∵a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，∴a·b＝－4＋0＋4＝0，∴a⊥b.∵＝＝，∴a∥c.故选C.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝(＋)＋＝＋＝.故选D.
4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
答案　B
解析　如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
5. 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则下列向量中与相等的是(　　)
A．－＋＋
B．－＋＋
C.＋＋
D.－＋
答案　C
解析　因为BM＝2MC′，所以＝，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝＋＝＋＝＋(＋)＝(－)＋(＋)＝＋＋.故选C.
6. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　由题意可知，＝(＋)＝(＋＋)，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则2＝(2＋2＋2＋2·＋2·＋2·)＝＝，∴||＝.故选A.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点G是△BA1D的重心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－3
答案　B
解析　如图所示，连接AC，BD交于点O，连接AG，A1O，则2＝＋，＝，＝＋，∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋＋，∵＝x＋y＋z，∴x＋y＋z＝＋＋＝1.
8．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n(m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
二、多项选择题
9．已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则(　　)
A.与是共线向量
B．与共线的单位向量是(1,1,0)
C.与夹角的余弦值是－
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5)
答案　CD
解析　由题意，对于A，＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)，所以与不是共线向量，所以A不正确；对于B，因为＝(2,1,0)，所以与共线的单位向量为或，所以B不正确；对于C，向量＝(2,1,0)，＝(－3,1,1)，所以cos〈，〉＝＝－，所以C正确；对于D，设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，因为＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)，所以即令x＝1，所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，－2,5)，所以D正确．故选CD.
10．已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为(　　)
A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)
C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)
答案　AB
解析　∵∥，∴可设＝λ.易知＝(3，－2，－1)，则＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，∴＝，解得λ＝±1，∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，∴或解得或故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．故选AB.
三、填空题
11．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
答案　∪
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即3t－<0，所以t<.若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λ，所以所以t＝－，故实数t的取值范围是∪.
12．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a⊥c，则λ＝________，若a，b，c共面，则λ＝________.
答案　－3　
解析　因为a⊥c，所以a·c＝0，即2×7＋(－1)×5＋3λ＝0，解得λ＝－3，因为a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，所以a，b不共线，因为a，b，c共面，所以存在一对实数m，n，使c＝ma＋nb，所以(7,5，λ)＝m(2，－1,3)＋n(－1,4，－2)＝(2m－n，－m＋4n,3m－2n)，所以解得
13. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
答案　2
解析　由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋.所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos120°＝68，所以CD＝2.
14. 如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA边上，且＝2，N为BC的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
答案　－a＋b＋c
解析　∵＝a，＝b，＝c，＝2，N为BC的中点，∴＝＋＝＋(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.
四、解答题
15．已知空间中三点A(2,0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3,0，－4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)已知向量ka＋b与b互相垂直，求k的值；
(3)若点P(1，－1，m)在平面ABC上，求m的值．
解　(1)＝(2,1，－2)，因为c∥，
所以c＝λ＝(2λ，λ，－2λ)，
又|c|＝3，故＝3，即λ＝±1，
所以c＝(2,1，－2)或c＝(－2，－1,2)．
(2)a＝(－1，－1,0)，b＝(1,0，－2)，
因为ka＋b与b互相垂直，故(ka＋b)·b＝0，即ka·b＋b2＝0，故－k＋5＝0，即k＝5.
(3)因为点P(1，－1，m)在平面ABC内，故存在x，y使得＝x＋y，
又＝(－1，－1，m＋2)，
所以解得故m＝－2.
16. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解　(1)由题意可知＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝1＋1＋1＋0＋1＋1＝5，所以|a＋b＋c|＝，所以||＝|a＋b＋c|＝.
17．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱B1B，D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解　(1)证明：连接AC1(图略)，
∵＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋，
∴A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋＝x＋y＋z，
∴x＝－1，y＝1，z＝.
∴x＋y＋z＝－1＋1＋＝.

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