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9．2.3　向量的数量积
学习指导 核心素养
1.理解平面向量数量积的含义并会计算．2.理解向量a在向量b上的投影向量的概念．3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用． 1.数学抽象、数学运算：向量数量积的相关概念．2.数学运算、逻辑推理：向量数量积的运算．
探究点1　平面向量的数量积运算
(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b).
(2)如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
①·；②·.
【解】　(1)(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192.
(2)①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°.
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9.
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°.
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6.
[变问法]若本例(2)的条件不变，求·.
解：因为＝＋，＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝2－2＝9－16＝－7.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　
1．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________．
解析：·＝·＝(＋)·＝()2＋·＝a2＋a2 cos 60°＝a2.
答案：a2
2．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ为120°.
求：(1)a·b；
(2)(a－2b)·(a＋b)；
(3)(a－b)2.
解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝10×4×＝－20.
(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2＝a2－a·b－2b2
＝|a|2－|a||b|cos 120°－2|b|2
＝100－10×4×－2×42＝88.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
＝|a|2－2|a||b|cos 120°＋|b|2
＝100－2×10×4×＋42
＝100＋40＋16＝156.
探究点2　向量模与夹角的有关计算
(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝4，则|a＋4b|＝(　　)
A．10　　 B．2　　
C．10 D．4
(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
【解析】　(1)|a＋4b|＝＝
＝
＝ ＝2.
(2)由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos ?a，a＋b?＝＝＝，故选D．
【答案】　(1)B　(2)D
(1)求向量的模的常见思路及方法
①求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
②a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(2)求向量a与b夹角的思路
①求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．
②在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．　
1．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．
解析：由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，
a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝2.
因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4.
答案：2　4
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________．
解析：方法一：由|a－b|＝1得a2－2a·b＋b2＝1，
所以|a|2－2a·b＋|b|2＝1.
所以2a·b＝1.所以|a＋b|＝＝＝.
方法二：如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，
所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°.
所以a·b＝|a||b|cos 60°＝1×1×＝.
所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3.所以|a＋b|＝.
答案：
探究点3　与垂直有关的计算
角度一　证明两向量垂直
已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb).
【证明】　因为|a＋tb|＝
＝＝，
所以当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2
＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb).
角度二　利用夹角和垂直求参数
(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(　　)
A．－ B．
C．± D．1
(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
【解析】　(1)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0.
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，解得k＝.
(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，
即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，
而a，b，c为单位向量，
则a2＝b2＝c2＝1，
则49＝9＋λ2＋6λcos ，
即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】　(1)B　(2)－8或5
与垂直有关的计算主要是利用a⊥b a·b＝0这个公式，要熟练掌握这个公式．　
已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__________．
解析：由b·c＝0可得，ta·b＋(1－t)2＝0，所以tcos 60°＋(1－t)·2＝0，
即1－＝0，所以t＝2.
答案：2
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)
A．　　 B．　　　
C． D．
解析：选C．由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.
2．向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．因为|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝，所以|a|2－2|a||b|cos 60°＋|b|2＝，所以1－2×|b|×＋|b|2＝，所以|b|＝.
3．(2020·新高考卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
解析：选A．·＝||·||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A．
4．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×e＝－e.
答案：－e
5．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：设向量a与b的夹角为θ.
(1)当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝；
当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－.
(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，|a＋b|＝.
(3)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b，cos θ＝＝，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°.
[A　基础达标]
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　)
A．　　 B．　　
C．3 D．5
解析：选C．由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
2．已知向量a，b的夹角为60°，a·b＝，＝3，则＝(　　)
A． B．1
C．3 D．2
解析：选B．a·b＝|a||b|cos 60°＝，又|b|＝3，所以|a|＝1.故选B．
3．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos 〈a，b〉＝3，所以cos 〈a，b〉＝－.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
4．已知非零向量m，n满足4＝3，cos 〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
解析：选B．因为n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝0，所以tn·m＋n2＝0，
则t|n||m|cos 〈m，n〉＋|n|2＝0，因为4|m|＝3|n|，cos 〈m，n〉＝，
所以t|n|·|n|·＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B．
5．P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选D．由·＝·得，·(－)＝0，即·＝0，所以PB⊥CA.
同理，PA⊥BC，PC⊥AB，所以P是△ABC的垂心．
6．(2021·铜仁期末)已知向量e1，e2的模分别为1，2，e1，e2的夹角为，则向量(e2－e1)·e2的值为________．
解析：由题意可知，(e2－e1)·e2＝e－e1·e2＝|e2|2－|e1||e2|cos ＝22－1×2×cos ＝3.
答案：3
7．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
解析：因为·＝||||cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
8．已知平面向量a，b 满足·b＝2，且＝1，＝2，则＝__________．
解析：因为|a|＝1，|b|＝2，·b＝a·b＋b2＝a·b＋22＝2，所以a·b＝－2，
所以|a＋b|2＝2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2×＋22＝1，因此，|a＋b|＝1.
答案：1
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，
因为a·b＝，所以|a||b|cos θ＝，
所以cos θ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，
所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，所以|a－b|＝.
10．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e＝－e，
所以cos θ＝－，所以θ＝.
(2)由题意易知a·b＝|a||b|cos θ＝－1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0.
所以λ＝.
[B　能力提升]
11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
12．(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中＝1，则下列结论正确的有(　　)
A．·＝－
B．＋＝－
C．·＝·
D．在向量上的投影向量的模为
解析：选AB．题图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，
对于A：·＝1×1×cos ＝－，故正确．
对于B：＋＝＝－，故正确．
对于C：因为||＝||，||＝||，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．
对于D：在向量上的投影向量的模为|||cos |≠，故错误．
故选AB．
13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2，则·＝________．
解析：由＝2，所以＝，＝－，
故·＝(＋)·＝·(－)
＝·(－)＝·＋2－2
＝||||cos 120°＋||2－||2＝×2×1×＋×1－×22＝－.
答案：－
14．在△ABC中，满足⊥，M是BC中点．
(1)若＝，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；
(2)若O是线段AM上任意一点，且＝＝，求·＋·的最小值．
解：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，
则cos θ＝，
令||＝||＝a, cos θ＝＝.
(2)因为||＝||＝，所以||＝1，
设||＝x，则||＝1－x.
而＋＝2，
所以·＝2· ＝2||·||cos π＝2x2－2x＝22－.
当且仅当x＝时取得最小值， ·＋·的最小值是－.
[C　拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以·＝0.
由＝2，
得＝，＝＝－.
·＝·
＝·
＝2－·－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，所以18－·＝6.
所以·＝36.
设与的夹角为θ，
又·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝.
所以与夹角的余弦值为.

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