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9．3　向量基本定理及坐标表示
9．3.1　平面向量基本定理
学习指导 核心素养
1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量． 数学抽象、数学运算：平面向量基本定理及其应用
1．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底
探究点1　平面向量基本定理的理解
(多选)设e1，e2是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2　　 B．e1－2e2与e2－2e1
C．e1－2e2与4e2－2e1 D．e1＋e2与e1－e2
【解析】　A．设e1＋e2＝λe1，则无解，
所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．
B．设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，
即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
C．因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
所以e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
D．设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．
【答案】　ABD
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
[提醒]　一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
1．设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　　)
①与；②与；③与；④与.
A．①②　　　 B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B．寻找不共线的向量组即可，
在 ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．
2.点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
解析：选B．由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．
探究点2　用基底表示平面向量
　如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试用基底a，b表示，.
【解】　连接FA，DF(图略).因为AD∥BC，且AD＝BC，
所以＝＝b.所以＝＝b.
因为＝＝b.所以＝－＝a－b.
所以＝＋＝－－＝－b－＝b－a，
＝＋＝－(＋)＝－＝b－a.
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　
1．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B．a－b
C．a＋b D．a＋b
解析：选D．连接CD，OD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得CD∥AB，
且＝＝a，
所以＝＋＝a＋b，故选D．
2.如图所示，在△OBC中，点A为BC的中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b 表示，；
(2)若＝λ，求λ.
解：(1)因为＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，
＝－＝2a－b－b＝2a－b.
(2)因为＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b，
又由E在CD上，与共线，所以存在实数μ，使＝μ.
即(λ－2)a＋b＝μ，则
解得λ＝.
探究点3　平面向量基本定理的应用
如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
【解】　设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得
解得
所以＝，＝.
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
1．[变条件、变问法]在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝，
＝＋＝＋＝b＋(－)＝b＋a－b＝b＋a.
2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
解：如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得解得
所以＝，＝.
所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．　
1．(2021·江苏省如皋中学高一月考)如图，在直角梯形ABCD 中，已知AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝AB＝2，CD＝1，动点P在线段BC上运动，且＝m＋n，则＋的最小值是(　　)
A．3 B．3＋2
C．4 D．4＋2
解析：选C．设＝λ.
因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋.
所以＝＋＝＋λ＝＋λ＝＋λ.
所以m＝1－λ，n＝λ，所以2m＋n＝2.
＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.
当且仅当＝，即n＝2m时取等号，此时λ＝1，P与C重合，符合题意. 故选C．
2. (2021·江苏南通市启东中学高一月考)如图，在△ABC中，＝，点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则＝________，λ2－μ的最小值是________．
解析：设＝m，
则＝m＝m，
所以＝m＋m，而＝λ＋μ，
可得λ＝m，μ＝m，所以＝＝2，
λ2－μ＝m2－m＝2－，
所以当m＝时，λ2－μ取得最小值－.
答案：2　－
1．在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选B．因为＝，＝a，＝b，所以＝a＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
2．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)
A．x＋y－2＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0
D．2x＋y－2＝0
解析：选A．由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.
3．如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
解析：由题意，得＝(＋).又＝＝－，所以＝(－＋2)＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝.
答案：
4．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是边DA，BC的中点，且＝k(k≠1).设＝e1，＝e2，试用基底e1，e2表示，，.
解：如图，因为＝e2，且＝k，
所以＝k＝ke2.
又因为＋＋＋＝0，
所以＝－－－＝－＋＋＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
因为＋＋＋＝0，
所以＝－－－＝＋－＝
＋e2－＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.
[A　基础达标]
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1　 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
解析：选D．不共线的两个向量可以作为平面的一组基底．
对于A，e2－e1＝－(e1－e2)不满足；对于B，2e1－e2＝2(e1－e2)不满足；
对于C，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)不满足；故选D．
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝(　　)
A．(e1＋e2) B．(e1－e2)
C．(2e2－e1) D．(e2－e1)
解析：选A．因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A．
3．已知e1，e2为基底，向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
A．2 B．－3
C．－2 D．3
解析：选A．＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2).又A，B，D三点共线，则和是共线向量，所以k＝2.
4．(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝－
解析：选ABD．＝＋＝＋，A正确；
＝＋＝＋＝＋＝＋，B正确；
＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误；
＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确．
故选ABD．
5．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，＝，＝，连接AC，MN交于P点．若＝λ，则λ的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．因为＝，＝，
所以＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋λ.
因为M，N，P三点共线．
所以λ＋λ＝1.
解得λ＝.
6．已知a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________．
解析：＝－，＝－，因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0.所以＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．
解析：因为＝＋＝＋＝＋＋，所以＝＋.
所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
答案：
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)若4e1－3e2＝λa＋ub，求λ，u的值．
解：(1)证明：假设a＝λb (λ∈R)，由e1，e2不共线，得
所以λ不存在，故a，b不共线，可以作为一组基底．
(2)由4e1－3e2＝λa＋ub，得4e1－3e2＝λa＋ub＝λ(e1－2e2)＋u(e1＋3e2)
＝(λ＋u)e1＋(－2λ＋3u)e2，
所以解得
10．已知e，f为两个不共线的向量，在四边形ABCD中，已知＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)
＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，即＝2，
所以与同方向且的长度为的长度的2倍．
所以在四边形ABCD中，AD∥BC且AD≠BC.
所以四边形ABCD是梯形．
[B　能力提升]
11．(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　)
A．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对
C．λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ
D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
解析：选BC．由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，
对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C说法不正确．
故选BC．
12.如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝(　　)
A．　　 B．
C．1 D．2
解析：选C．由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)
＝＋＝＋.
因为＝x＋y，所以x＋y＝＋.
因为与不共线，所以由平面向量基本定理得
所以3x－2y＝3×－2×＝1.故选C．
13．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝__________．
解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝ λ＝－λ＋λ，
所以则＝.
答案：
14.如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
解析：由题意得＝a＋b(a，b∈(0，＋∞)且00).由－aλ<0，得x∈(－∞，0).
又由＝x＋y，知0当x＝－时，有0<－＋y<1，解得答案：(－∞，0)　
[C　拓展探究]
15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
解：依题意得＝b－a，＝a＋b，
且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝a＋b.
即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得

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