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9．3.3　向量平行的坐标表示
学习指导 核心素养
1.理解两平行向量的坐标之间的关系，会用向量的坐标运算解决向量平行问题．2.能根据向量的坐标运算解决与三点共线有关的问题． 数学运算、逻辑推理：向量平行的坐标表示．
探究点1　向量共线的判定
(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解】　(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，
所以k＝－.故填－.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，
因为2×6－3×4＝0，所以∥，所以与共线．
又＝，所以与的方向相同．
[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是同向？
解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得k＝－，
所以3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，
a＋kb＝a－b＝(1，－2)－(3，4)＝＝(0，－10)，
所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．
向量共线的判定方法
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(λ，1).若a＋b与a平行，则λ＝(　　)
A．－5　　 B．　　
C．7　　 D．－
解析：选D．a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a＋b与a平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－.
2.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解：由已知可得M，N，
所以＝，＝，
由×－×＝0，所以和共线．
探究点2　三点共线问题
(2021·江苏高一检测)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，3).
(1)若点A，B，C三点共线，求x的值；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求x的值．
【解】　(1)因为＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，3)，
所以＝－＝(3，1)，＝－＝(－1－x，6)，
因为点A，B，C三点共线，所以和共线，
所以3×6＝－1－x，解得x＝－19.
(2)因为△ABC为直角三角形，且∠B为直角，
所以⊥，所以·＝3(－1－x)＋6＝0，解得x＝1.
判断向量(或三点)共线的三个步骤
　
1．已知A，B，C三点共线，且A(－3，6)，B(－5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为(　　)
A．－3 B．9
C．－9 D．3
解析：选A．设C(x，6)，
因为A，B，C三点共线，所以∥，
又＝(－2，－4)，＝(x＋3，0)，
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以x＝－3.
2．设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？
解：＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)，
＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)，
＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x).
由与共线，所以x2＝1×4，
所以x＝±2.
又与方向相同，所以x＝2.所以当x＝2时，与共线且方向相同．
此时，＝(2，1)，＝(－3，2)，
而2×2≠－3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C，D不在同一条直线上．
探究点3　向量共线的应用
如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解】　因为＝＝(0，5)＝，所以C.
因为＝＝(4，3)＝，
所以D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
因为∥，
所以－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
又＝，＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
　
　如图所示，已知△ABC中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
所以＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，＝(4－7，3－8)＝(－3，－5).
又因为D是BC的中点，
所以＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝.
因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，
所以＝－＝－＝－＝.
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)
A．(4，0)　　 B．(0，4)
C．(4，－8) D．(－4，8)
解析：选C．因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8).
2．若向量m＝(0，－2)，n＝(，1)，则与2m＋n共线的向量可以是(　　)
A．(，－1) B．(－1，)
C．(－，－1) D．(－1，－)
解析：选B．因为m＝，n＝，所以2m＋n＝，因为＝－，故选B．
3．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　)
A．(－9，1) B．(9，－1)
C．(9，1) D．(－9，－1)
解析：选C．设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求，故选C．
4．与向量a＝(3，4)同向的单位向量的坐标为__________，反向的单位向量的坐标为________．
解析：由题意，设与向量a＝(3，4)平行的向量b＝λ(3，4)＝(3λ，4λ)，
由单位向量的模长为1，得(3λ)2＋(4λ)2＝1，所以λ＝
±.当λ＞0时，两向量同向；当λ＜0时，两向量反向．故与向量a＝(3，4)同向的单位向量的坐标为，反向的单位向量的坐标为.
答案：　
5．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．
解：(1)因为a＝mb＋nc，
所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n).
所以解得
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
所以k＝－.
[A　基础达标]
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B．因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以1×m－(－2)×2＝0，解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B．v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k).因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
3．(多选)已知向量a＝(1，－2)，，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4，8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4，8)
解析：选BD．设b＝，依题意有
解得或
故选BD．
4．若A(－2，3)，B(3，2)，C三点共线，则实数m的值为(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
解析：选C．因为A(－2，3)，B(3，2)，C三点共线，所以向量＝(5，－1)与＝共线，所以5(m－3)－(－1)×＝0，解得m＝.故选C．
5．(2021·盘州市第二中学月考)已知向量a＝(2，3)，b＝(1，1)，向量ma＋nb与2a－3b共线，则＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选C．由题意可知a和b不共线，
所以a和b可以作为一组基底，
而ma＋nb与2a－3b共线，
所以＝＝－，故选C．
6．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________.
解析：因为向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．在平面内M(1，1)，N(a，0)，P(0，b)(a，b＞0)三点共线，则a＋b的最小值为________．
解析：＝(a－1，－1)，＝(－a，b)，因为M，N，P三点共线，故，为共线向量．故(a－1)b＝a即ab＝a＋b，
而ab≤，故a＋b≤，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a＋b的最小值为4.
答案：4
8．已知a＝，b＝，c＝，点M，点N，若a∥b，·＝3，则向量的模为__________．
解析：因为a＝，b＝，且a∥b，所以－x＝2×，得x＝4，所以b＝，
所以a＋b＝，b－c＝.
因为·＝3，所以6×1＋×＝3，所以y＝－3，
则点M，N，所以＝，
所以||＝＝7.
答案：7
9．已知a＝，b＝，c＝.
(1)求a与b的夹角的大小；
(2)若c∥，求k的值．
解：(1)设求a与b的夹角为α，因为cos α＝＝＝－，又因为α∈[0，π]，所以α＝.
(2)a＋kb＝， 因为c∥，即1－2k＋3－k＝0, 解得k＝.
10．已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
所以当k＝－时，ka－b与a＋2b共线．
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
[B　能力提升]
11．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
解析：选D．因为a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A，B．若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．
12．(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确是(　　)
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析：选ABC．由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A中叙述错误；a＋b＝(x－3，3＋x)，由(a＋b)∥a，得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B中叙述错误；ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，由(ma＋b)∥a，得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C中叙述错误；由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m＝0，所以m＝0，x∈R，故D中叙述正确．故选ABC．
13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为______．
解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ).
又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，
由与共线得(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝.
所以＝＝，
所以P的坐标为.
答案：
14．设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3).
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若以A，B，C三点为顶点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：(1)当m＝8时，＝(8，3)，
设＝x＋y，则x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)＝(8，3)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为以A，B，C三点为顶点能构成三角形，所以，不共线．又＝(1，1)，＝(m－2，4)，所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
[C　拓展探究]
15．已知平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点的坐标．
解：因为＝，所以2＝.
所以2＋＝＋，
所以＝.设C点坐标为(x，y)，
则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，所以x＝－5，y＝－2，
所以C(－5，－2).因为＝，所以4＝，
所以4＋4＝5，所以4＝5.
设E点坐标为(x′，y′)，
则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′).
所以
解得
所以E点的坐标为.

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