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10.1.1 有限样本空间与随机事件
第十章 概率
概率论的产生和发展
《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作。
传说早在1654年，有一个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天， A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才理？
这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作。
情境导学
引
01
生活中很多关于概率的问题：如抛硬币。
1. 了解随机试验、样本空间的概念，会列出随机试验的样本空间．
2．通过实例，了解必然事件、不可能事件与随机事件的含义
核心素养：数据分析、数学运算；
教学重点：有限样本空间及随机事件的概念；
教学难点： 对于不同背景的随机试验，用符号表示试验的可能结果，列举试验的样本空间。
引
01
学习目标
在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，概率论是研究随机现象的数学分支。概率是对随机事件发生的可能性的大小的度量。
思
02
1. 样本点、样本空间、随机事件、基本事件的概念是什么？
2. 必然事件、不可能事件的概念是什么？
3. 体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，
（1）这个随机试验共有多少个可能结果？
（2）如何用集合语言表示这些结果？
研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；记录某地区7月份的降雨量等等.
评
03
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（random experiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
可重复性
确定性且至少2个结果
随机性
思考1：体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
共有10种可能结果.
探究新知
所有可能结果可用集合表示为:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
评
03
1. 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（sample space).
我们用Ω(欧米伽)表示样本空间，用ω表示样本点.
2. 我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1, ω2,..., ωn,则称样本空间Ω={ω1, ω2,..., ωn,}为有限样本空间.
（抛掷一对骰（tou）子）
解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω ={正面朝上，反面朝上},
例1. 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。
典例解析
如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω ={ h , t }.
评
03
例2 抛掷一枚骰（tou）子,观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
解：用i表示朝上面的“点数为i ”，
因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，
所以试验的样本空间可以表示为Ω ={1,2,3,4,5,6}.
构建样本空间，这是将实际问题数学化、符号化的关键步骤，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程.
解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，
第二枚硬币可能的基本结果用y表示，
例3. 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间。
如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为
那么试验的样本点可用（x , y）表示.
于是，试验的样本空间
Ω ={ (正,正) , (正,反) , (反,正) , (反，反) }
为Ω={(1,1) , (1,0) , (0,1) , (0,0)}.
如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.
典例解析
评
03
Ω ={同正,同正,一正一反}可以吗？
还可以有其他方法写出样本空间吗？
梳理小结
评
03
练习：课本P229练习第1（4）
思考2. 在体育彩票摇号(0,1,2,…,9共10个号码)实验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.
探究2
评
03
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（random event),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event).
必然事件: Ω ，在一定条件下必然会发生的事件叫必然事件。
不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生.
必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
随机事件: 用大写字母A,B,C,···表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
评
03
不可能事件:空集Φ
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件：
（1）某地1月1日刮西北风；
（2）当x是实数时,
(3) 手电筒的电池没电,灯泡发亮；
（4）一个电影院某天的上座率超过50%;
（5）如果a＞b，那么a-b＞0；
（6）从标有l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签;
随机事件
必然事件
不可能事件
随机事件
必然事件
随机事件
评
03
例4 如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件：
M=“恰好两个元件正常”；
N=“电路是通路”；
T=“电路是断路”.
解：(1)分别用x1, x2, x3表示元件A, B, C的可能状态，则这个电路的工作状态可用
(x1, x2, x3)表示。进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，
则样本空间Ω={(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)}.
评
03
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1,
例4 如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件：
M=“恰好两个元件正常”；
N=“电路是通路”；
T=“电路是断路”.
“电路是通路”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω , x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,
“电路是断路”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω，x1=0,或x1=1, x2=x3=0.
所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}；
所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}；
所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
评
03
1.随机试验的特征：
2.样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}，样本点ω1，ω2，…，ωn。
写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，做到不重不漏．
3. 随机事件、必然事件、不可能事件的概念及注意看清条件。
结
04
今天你学习了哪些新知识？新方法？
4. 样本空间的列举方法。
可重复性、可预知性、随机性
1．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则事件：log2x y＝1包含的样本点有________．
解析：先后掷两枚质地均匀的骰子，
骰子朝上的面的点数有36种结果．
解方程 log2x y＝1 得 y＝2x，
则符合条件的样本点有
(1,2)，(2,4)，(3,6)．
(x,y) 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
结
04

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