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专题10 正交分解法在平衡问题中的使用
一．力的正交分解法
1．定义：将一个力分解为两个相互垂直的分力的方法称为正交分解法。
2．目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用代数运算公式解决矢量的运算，“分解”的目的是为了更好地“合成”。
3．适用情况：适用于计算三个或三个以上的力的合成。
4．步骤：
（1）建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系轴和轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。
（2）正交分解各力：把不再坐标轴上的力向轴上做投影，采用余弦分解法。
（3）分别求出轴、轴上各分力的矢量和，即：
…
…
（4）求共点力的合力：
合力的大小：，
合力的方向：设与轴的夹角为，则tan=，即与轴的夹角为arctan。
典例分析
例1．在同一平面上共点的四个力分别为N、N、N、N，方向如图所示，求其合力（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）。
二、利用正交分解方法处理多力平衡的一般步骤：
（1）明确研究对象；
（2）进行受力分析；
（3）建立直角坐标系，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上；
（4）将每一个不在坐标轴上的力分解到轴和轴上，并求出各分力的大小
（5）根据平衡条件，分别列方向，y方向的平衡方程.
典例分析
例2．倾角为θ的斜面上有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ.现用水平力F推动木块，如图所示，使木块恰好沿斜面向上做匀速运动.若斜面始终保持静止，求水平推力F的大小.
巩固练习(作业10)
1．如图所示，在同一平面内，大小分别为1N、2N、3N、4N、5N、 6N的六个力共同作用于一点，其合力大小为（ ）
A．0 B．1N C．2N D．3N
2．如图，质量为M的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为（ ）
A．（M＋m）g
B．（M＋m）g－F
C．（M＋m）g＋Fsinθ
D．（M＋m）g－Fsinθ
3．如图所示，三个完全相同的木块放在同一个水平面上，木块和水平面的动摩擦因数相同.分别给它们施加一个大小为F的推力，其中给第一、三两木块的推力与水平方向的夹角相同.这时三个木块都保持静止.比较它们和水平面间的弹力大小N1、N2、N3、和摩擦力大小f1、f2、f3，下列说法中正确的是 ( )
A．N1>N2>N3，f1>f2>f3
B．N1>N2>N3，f1=f3C．N1=N2=N3，f1=f2=f3
D．N1>N2>N3，f1=f2=f3
4．如右图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ.下列关系正确的是(　　)
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．FN＝ D．FN＝mgtan θ
5．如图所示，质量为m的物体靠在粗糙的竖直墙上，物体与墙之间的动摩擦因数为μ.若要使物体沿着墙匀速运动，则与水平方向成α角的外力F的大小如何？
巩固练习(作业10)答案
A
D
B
A
答案：当物体沿墙匀速下滑时，受力如图所示，建立如图所示的坐标系，由平衡条件得F1sinα+F=mg ①
=F1cosα ②
又有F=μ ③
由①②③解得F1=
当物体匀速上滑时，受力如图所示，建立如图所示的坐标系，由平衡条件得
F2sinα=F+mg ④
=F2cosα ⑤
又有F=μ ⑥
由④⑤⑥解得F2=.
答案：或
37°
37°
特别提醒:求解平衡问题关键在于对物体正确的受力分析，不能多力，也不能少力，对于三力平衡，如果是特殊角度，一般采用力的合成、分解法，对于非特殊角，可采用相似三角形法求解，对于多力平衡，一般采用正交分解法.
1N
2N
3N
4N
5N
6N
60°
60°
60°
60°
60°
60°
F
F
F
1
2
3

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