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2022年湖北省荆州市中考数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
化简的结果是
A. B. C. D.
实数，，，在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
如图，直线，，，则的度数是
A.
B.
C.
D.
从班上名排球队员中，挑选名个头高的参加校排球比赛．若这名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这名队员身高数据的
A. 平均数 B. 中位数 C. 最大值 D. 方差
“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是：，结果甲比乙提前到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为
A. B. C. D.
如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为
A. B. 或
C. 或 D. 或
关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是
A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根
C. 没有实数根 D. 有一个实数根
如图，以边长为的等边顶点为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于，，则图中阴影部分的面积是
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，：：，连接，过点作交的延长线于若，则的值是
A. B. C. D.
如图，已知矩形的边长分别为，，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
一元二次方程配方为，则的值是______．
如图，点，分别在 的边，的延长线上，连接，分别交，于，添加一个条件使≌，这个条件可以是______只需写一种情况
若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值是______．
如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，，连接若，则______．
如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到瓶底面的距离为，则球的半径为______玻璃瓶厚度忽略不计．
规定；两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”例如：函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”若函数为常数的“函数”图象与轴只有一个交点，则其“函数”的解析式为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
已知方程组的解满足，求的取值范围．
先化简，再求值：，其中，．
为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩百分制分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．
等级 成绩 人数
根据图表信息，回答下列问题：
表中______；扇形统计图中，等级所占百分比是______，等级对应的扇形圆心角为______度；
若全校有人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为等级的共有______人；
若全校成绩为分的学生有甲、乙、丙、丁人，学校将从这人中随机选出人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有人被选中的概率．
如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
在图中，作出与全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与有一条公共边，且不与重叠；
在图中，作出以为对角线的所有格点菱形．
荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高含底座，先在点处用测角仪测得其顶端的仰角为，再由点向城徽走到处，测得顶端的仰角为已知，，三点在同一直线上，测角仪离地面的高度，求城徽的高参考数据：，，．
小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图所示的图象．
请根据图象解答：
【观察发现】写出函数的两条性质：______；______；若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______填“一定”或“不一定”
【延伸探究】如图，将过，两点的直线向下平移个单位长度后，得到直线与函数的图象交于点，连接，求当时，直线的解析式和的面积；直接用含的代数式表示的面积．
某企业投入万元只计入第一年成本生产某种产品，按网上订单生产并销售生产量等于销售量经测算，该产品网上每年的销售量万件与售价元件之间满足函数关系式，第一年除万元外其他成本为元件．
求该产品第一年的利润万元与售价之间的函数关系式；
该产品第一年利润为万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入只计入第二年成本后，其他成本下降元件．求该产品第一年的售价；若第二年售价不高于第一年，销售量不超过万件，则第二年利润最少是多少万元？
如图，在矩形中，，，点是边上一个动点不与点重合，连接，将沿折叠，得到；再以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于，连接并延长交射线于，连接，设．
求证：是半圆的切线：
当点落在上时，求的值；
当点落在下方时，设与面积的比值为，确定与之间的函数关系式；
直接写出：当半圆与的边有两个交点时，的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用合并同类项的法则进行求解即可．
本题主要考查合并同类项，解答的关键是对合并同类项的法则的掌握．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，互为相反数，
故选：．
根据在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等判断即可．
本题考查了相反数，实数与数轴，掌握相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：过点作，如图，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作，利用平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得．
4.【答案】
【解析】解：共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，所以小明需要知道自己的成绩是否入选．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否入选．
故选：．
由于共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，故应考虑中位数的大小．
本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，甲的速度为，则乙的速度为，
，
即，
故选：．
根据甲、乙的速度比是：，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前到达基地，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
6.【答案】
【解析】解：由图象，函数和的交点横坐标为，，
当或时，，即，
故选：．
结合图象，数形结合分析判断．
本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解题是关键．
7.【答案】
【解析】解：关于的方程根的判别式，
有两个不相等实数根，
故选：．
由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况．
本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8.【答案】
【解析】解：过点作，交于点．
在等边中，，，
．
在中，，
，
故选：．
作，由勾股定理求出，然后根据得出答案．
本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积扇形的面积是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于点，
，
，，
∽，
：：：，
，
，
：：：，
，
，
，
．
故选：．
根据，证明出∽，得到：：：，过点作轴于点，根据，得到，根据平行线分线段成比例定理得到：：：，根据，得到，得到，根据正切的定义即可得到的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到：：：是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
顺次连接矩形各边的中点，得到四边形，
四边形的面积为矩形面积的一半，
，
顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，
，，
，
依此可得，
故选：．
连接，，可知四边形的面积为矩形面积的一半，则，再根据三角形中位线定理可得，，则，依此可得规律．
本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，通过计算、发现规律是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
一元二次方程配方为，
，
故答案为：．
根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到的值．
本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：添加．
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌．
故答案为：答案不唯一．
由平行四边形的性质得出，，，根据全等三角形的判定可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
若的整数部分为，小数部分为，
，，
，
故答案为：．
根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，
，，
而根据作图可知为的垂直平分线，
，
在中，，
，
为直角三角形斜边上的中线，
．
故答案为：．
如图，连接，根据作图可知为的垂直平分线，从而得到，然后利用勾股定理求出，，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，同时也利用勾股定理进行计算．
15.【答案】
【解析】解：如图，设球心为，过作于，连接，
设球的半径为，
由题意得：，，
由垂径定理得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即球的半径为，
故答案为：．
设球心为，过作于，连接，设球的半径为，由垂径定理得然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：函数为常数的“函数”图象与轴只有一个交点，
函数为常数的图象与轴也只有一个交点，
当时，函数解析为，它的“函数”解析式为，它们的图象与轴只有一个交点，
当时，此函数是二次函数，
它们的图象与轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在轴上，
，
解得：，
原函数的解析式为，
它的“函数”解析式为，
综上，“函数”的解析式为或，
故答案为：或．
根据关于轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．
本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键．
17.【答案】解：得：，
，
得：，
，
代入得：，
．
答：的取值范围为：．
【解析】用加减消元法求出方程组的解，代入即可得到的取值范围．
本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
，，
原式
．
【解析】把除化为乘，再用乘法分配律，约分后计算同分母的分式相加减，化简后将、的值代入即可得到答案．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式通分和约分．
19.【答案】
【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，
扇形统计图中，等级所占百分比是：，等级对应的扇形圆心角为：，
故答案为：，，；
估计其中成绩为等级的共有：人，
故答案为：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，
甲、乙两人至少有人被选中的概率为．
由的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由全校共有学生人数乘以成绩为等级的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，菱形，菱形即为所求．
【解析】根据全等三角形的判定画出图形即可；
根据菱形的定义画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，菱形的判定，属于中考常考题型．
21.【答案】解：延长交于点，
则，米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
城徽的高约为米．
【解析】延长交于点，则，米，米，设米，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】函数有最大值为 当时，随的增大而增大 不一定
【解析】解：由图象知：函数有最大值为，当时，随的增大而增大答案不唯一；
故答案为：函数有最大值为，当时，随的增大而增大答案不唯一；
假设，则，
，
，
，
不一定成立，
故答案为：不一定；
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，直线的解析式为，
设直线与轴交于，
则的面积的面积，
，
的面积为；
设直线与轴交于，
，
的面积的面积，
由题意知，，
．
的面积为．
根据函数图象可得性质；
假设，则，再根据求出的值，可知不一定成立；
首先利用待定系数法求出直线的解析式，当时，直线的解析式为，设直线与轴交于，利用平行线之间的距离相等，可得的面积的面积，从而得出答案；
设直线与轴交于，同理得的面积的面积，即可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键．
23.【答案】解：根据题意得：；
该产品第一年利润为万元，
，
解得：，
答：该产品第一年的售价是元．
第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过万件，
，
解得，
设第二年利润是万元，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，又，
时，有最小值，最小值为万元，
答：第二年的利润至少为万元．
【解析】根据总利润每件利润销售量投资成本，列出式子即可；
构建方程即可求出该产品第一年的售价；
根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
将沿折叠，得到，
，
，
是半径，
是的切线；
解：如图中，当点落在上时，
在中，，，，
，
，
，
．
解：图中，当点落在上时，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
是直径，
，
，
∽，
；
当与相切时，，
当经过点时，，
，
观察图象可知，当或时，半圆与的边有两个交点．
【解析】证明，可得结论；
图中，当点落在上时，利用面积法构建方程求出即可；
图中，当点落在上时，利用面积法求出，，再利用相似三角形的性质求解即可；
当与相切时，，当经过点时，，解得，结合图形，判断即可．
本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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