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课时3.3 幂函数
01考点梳理
1．幂函数的概念
一般地，函数　　　叫做幂函数，其中　是自变量，　是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R 　　　　　　 　　　　　　　
值域 R [0，＋∞) R 　　　　　　 　　　　　　　
奇偶性 奇 偶 ___ 　　　　 ___
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，　函数x∈(－∞，0]时，　函数 　函数 　函数 x∈(0，＋∞)时，　函数x∈(－∞，0)时，减函数
02考点解读
题型一 幂函数的定义域和值域
1．已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
题型二 幂函数的图像问题
2．若幂函数（且互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．0< B．m是偶数，n是奇数
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m、n是偶数，且
题型三 幂函数的单调性及应用
3．已知幂函数满足：
（1）在区间上为增函数
（2）对任意的，都有，
求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．
题型四 幂函数的奇偶性及应用
4．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
03题组训练
1．若幂函数的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．1或2 B．2 C．1 D．不存在
2．已知幂函数的图象经过点（3，9），则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．如图是幂函数的部分图像，已知取这四个值，则于曲线相对应的依次为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
5．若幂函数的图象过点，则该函数的解析式为_____.
6．若，试求的取值范围.
7．已知幂函数在上单调递增.
（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使得函数在区间[0,1]上的最大值为5, 若存在, 求出m的值; 若不存在, 请说明理由.课时3.3 幂函数
01考点梳理
1．幂函数的概念
一般地，函数　　　叫做幂函数，其中　是自变量，　是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R 　　　　　　 　　　　　　　
值域 R [0，＋∞) R 　　　　　　 　　　　　　　
奇偶性 奇 偶 ___ 　　　　 ___
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，　函数x∈(－∞，0]时，　函数 　函数 　函数 x∈(0，＋∞)时，　函数x∈(－∞，0)时，减函数
答案：y＝xα x α [0，＋∞) {x|x≠0} [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减
02考点解读
题型一 幂函数的定义域和值域
1．已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.
当时，在上单调递增，满足题意.
当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.
∴.
（2）由（1）知，.
∵在上单调递增，∴.
∵，，∴，∴解得.
故实数的取值范围为.
题型二 幂函数的图像问题
2．若幂函数（且互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．0< B．m是偶数，n是奇数
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m、n是偶数，且
【答案】ABC
【解析】图象在右侧上升但上升幅度比小，，A正确；
图象关于轴对称，函数为偶函数，是偶数，是奇数，B正确；
则C也正确，D错误．
故选：ABC．
题型三 幂函数的单调性及应用
3．已知幂函数满足：
（1）在区间上为增函数
（2）对任意的，都有，
求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．
【答案】；值域是．
【解析】因为函数在上递增，
所以，解得，
因为，，所以，，或．
又因为，所以是偶函数，
所以为偶数．
当时，满足题意；
当时，不满足题意，
所以,
又因为在上递增．
所以，，
故函数的值域是 ．
题型四 幂函数的奇偶性及应用
4．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
03题组训练
1．若幂函数的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．1或2 B．2 C．1 D．不存在
【答案】D
【解析】解：由幂函数的定义得，则或.
当时，，定义域为，图象不过原点；
当时，，其图象也不过原点，故不存在这样的.
故选：
2．已知幂函数的图象经过点（3，9），则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】解：设，由函数过点，，解得，
，.
故选：.
3．如图是幂函数的部分图像，已知取这四个值，则于曲线相对应的依次为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，分别代入，，，，
得到，，，，
根据图象可知相对应的依次为：
故选：A
4．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【解析】 由已知函数是幂函数，
可得，解得或，
当时，，当时，，
对任意的，且，满足，
函数是单调增函数，所以，此时，
又，可知异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，
则恒大于，故选A.
5．若幂函数的图象过点，则该函数的解析式为_____.
【答案】.
【解析】解：设，其图象过点，则，所以，即函数解析式为.
故答案为：.
6．若，试求的取值范围.
【答案】
【解析】∵，∴或或解得或.故的取值范围是.
7．已知幂函数在上单调递增.
（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使得函数在区间[0,1]上的最大值为5, 若存在, 求出m的值; 若不存在, 请说明理由.
【答案】（1）k=1,（2）
【解析】(1)∵
∴k=1 ∴
(2)
①，即
∴
又(舍)
②
∴

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