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课时4.3.2 对数的运算
01考点梳理
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝_______________．
(2)loga＝_______________．
(3)logaMn＝__________ (n∈R)．
2．换底公式
logab＝__________ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3.换底公式的三个常用推论
(1)推论一：logac·logca＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．
(2)推论二：logab·logbc·logca＝1.
(3)推论三：logambn＝logab.此公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
答案：logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM
02考点解读
题型一 对数的运算
1．若，则____________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
即，
所以，即，
所以.
故答案为：
题型二 对数的运算性质的应用
2．计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）1．
【解析】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
题型三 运用换底公式化简计算
3．已知函数，定义使为整数的叫做企盼数，则在区间内的企盼数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
所以，，
，则，
令，则，
，所以的取值集合为，共个数，
所以，的取值集合为，共个数，
因此，在区间内的企盼数的个数是.
故选：B.
题型四 运用换底公式证明恒等式
4．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【答案】B
【解析】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
题型五 指数式与对数式的互化
5．物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：(其中是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【解析】解：因为音量大小与强度为的声波的关系为，
所以，
所以，，
所以，
故选：C.
03题组训练
6．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【答案】B
【解析】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
7．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】，，
，
，，
，
故选：A
8．方程的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
∴．
设，则，解之得：．
∴或，解之得：或．
经检验，和均符合题意，∴该方程的解集是．
故选：B
9．如果关于的方程的两根分别是，则的值是__________．
【答案】
【解析】∵是关于的方程的两根
∴是一元二次方程的两根
∴，
∴．
故答案为：
10．已知，则a，b的值分别为___________．
【答案】100，1000或1000，100
【解析】解：因为
所以，即、为方程的两根，所以或
即或
故答案为：或
11．若，则_________．
【答案】5
【解析】.
故答案为：
12．计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）1．
【解析】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
13．若是方程的两个实根，求的值．
【答案】
【解析】原方程可转化为，令，则，
设方程的两根为，可设，，
.
14．已知求的值．
【答案】
【解析】，∴．
故答案为：
15．设，且满足，求的值．
【答案】
【解析】由已知得，
则，即，即，
∴或1，又，，.课时4.3.1 对数的概念
01考点梳理
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以 的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的 ，N叫做 ．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以 为底的对数叫做常用对数，记为 .在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为 .
3．指数与对数的互化
当a>0，a≠1时，ax＝N x＝ .
4．对数的性质
(1)loga1＝ ；(2)logaa＝ ；(3) 没有对数．
02考点解读
题型一 对数的运算
1．正数a，b满足1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b），则的值是
A． B． C． D．
题型二 对数的运算性质的应用
2．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是______．
题型三 运用换底公式化简计算
3．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型四 运用换底公式证明恒等式
4．若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
题型五 指数式与对数式的互化
5．已知，则、、的大小排序为
A． B． C． D．
03题组训练
1．设，则的值等于（ ）
A．10 B．13 C．100 D．
2．若，则有（ ）
A． B． C． D．
3．若，则数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．计算___________.
5．已知，则________.
6．指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
7．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________．
8．若成立，求x的取值范围．课时4.3.2 对数的运算
01考点梳理
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝_______________．
(2)loga＝_______________．
(3)logaMn＝__________ (n∈R)．
2．换底公式
logab＝__________ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3.换底公式的三个常用推论
(1)推论一：logac·logca＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．
(2)推论二：logab·logbc·logca＝1.
(3)推论三：logambn＝logab.此公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．
02考点解读
题型一 对数的运算
1．若，则____________．
题型二 对数的运算性质的应用
2．计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
题型三 运用换底公式化简计算
3．已知函数，定义使为整数的叫做企盼数，则在区间内的企盼数的个数是（ ）
A． B． C． D．
题型四 运用换底公式证明恒等式
4．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
题型五 指数式与对数式的互化
5．物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：(其中是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
03题组训练
6．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
7．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．2
8．方程的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果关于的方程的两根分别是，则的值是__________．
10．已知，则a，b的值分别为___________．
11．若，则_________．
12．计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
13．若是方程的两个实根，求的值．
14．已知求的值．
15．设，且满足，求的值．课时4.3.1 对数的概念
01考点梳理
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以 的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的 ，N叫做 ．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以 为底的对数叫做常用对数，记为 .在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为 .
3．指数与对数的互化
当a>0，a≠1时，ax＝N x＝ .
4．对数的性质
(1)loga1＝ ；(2)logaa＝ ；(3) 没有对数．
答案：a为底N logaN 底数 真数 10 lgN lnN logaN 0 1 零和负数
02考点解读
题型一 对数的运算
1．正数a，b满足1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b），则的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，设1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b）＝k，则a＝2k﹣1，b＝3k﹣2，a+b＝6k﹣3，
所以.
故选：A．
题型二 对数的运算性质的应用
2．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是______．
【答案】．
【解析】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，
可得x+3y＝1．
＝＝＝≥＝．
当且仅当x＝，x+3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号．
的最小值是．
故答案为：．
题型三 运用换底公式化简计算
3．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
故选：D
题型四 运用换底公式证明恒等式
4．若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
题型五 指数式与对数式的互化
5．已知，则、、的大小排序为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 为正实数，且，
可得： 即
因为函数 单调递增，∴.
故选A.
03题组训练
1．设，则的值等于（ ）
A．10 B．13 C．100 D．
【答案】B
【解析】由对数的性质，得，所以，
故选：B.
2．若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，
则.
故选：D
3．若，则数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A
4．计算___________.
【答案】0
【解析】由对数的基本性质、指对数的关系，知：.
故答案为：0.
5．已知，则________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：.
6．指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】
【解析】.
故答案为：，，，.
7．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________．
【答案】 1
【解析】因为，所以，即，，
故．
故答案为：；1．
8．若成立，求x的取值范围．
【答案】
【解析】由已知得且，所以且
所以x的取值范围为

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