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课时5.1.1 任意角
01考点梳理
知识点一　任意角
1.角的概念：
角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .
2.角的表示：
如图：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点 .
3.角的分类：
知识点二　角的加法与减法
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角.
(1)α＋β：把角α的 旋转角β.(2)α－β：α－β＝ .
知识点三　象限角
在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限.
知识点四　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝__________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
02考点解读
题型一 终边相同的角
1．已知角β的终边在直线上.则角β的集合S为__________.
题型二 象限角的规定
2．下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
题型三 角度与弧度的互化
3．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是________度，即________rad.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是________.
题型四 弧长、扇形面积有关计算
4．已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B．或2 C．1 D．或1
题型五 扇形中的最值问题
5．已知扇形的面积为，求扇形周长的最小值，并求此时圆心角的弧度数．
题型六 弧长公式、扇形面积公式的应用
6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
03题组训练
1．下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（ ）
A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．终边在第二象限的角是钝角 B．终边相同的角必相等
C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同
3．若，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第一象限或第二象限 D．以上答案都不正确
4．关于角度，下列说法正确的是（ ）
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
5．（1）若角的终边与角135°关于x轴对称，且，则__________；
（2）若锐角与它的9倍角的终边关于y轴对称，则__________；
（3）若角为正角，角为负角，且与的终边关于原点对称，则__________.
6．与角-2021°终边重合的最大负角是__________，与角2022°终边重合的最小正角是__________.
7．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；（2）最大的负角；（3）内的角．
8．已知集合，，.
（1）若，且角与的终边垂直，求；（2）求.课时5.1.1 任意角
01考点梳理
知识点一　任意角
1.角的概念：
角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .
2.角的表示：
如图：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点 .
3.角的分类：
知识点二　角的加法与减法
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角.
(1)α＋β：把角α的 旋转角β.(2)α－β：α－β＝ .
知识点三　象限角
在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限.
知识点四　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝__________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
答案：射线 旋转 图形 OA OB O 逆时针 顺时针 没有 －α 终边 α＋(－β) 原点 终边 象限角 坐标轴上 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
02考点解读
题型一 终边相同的角
1．已知角β的终边在直线上.则角β的集合S为__________.
【答案】
【解析】如图，直线过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
，，
所以，角β的集合
.
故答案为：.
题型二 象限角的规定
2．下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
【答案】①②③④
【解析】由题意，①是第四象限角，是正确的；②是第三象限角，是正确的；
③，其中是第二象限角，所以为第二象限角是正确的；
④，其中是第一象限角是正确的，
所以正确的序号为①②③④
题型三 角度与弧度的互化
3．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是________度，即________rad.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是________.
【答案】864
【解析】∵相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，
∴小轮转动周，即，，
∴当大轮的转速为时，，小轮转速为 ，
∴小轮周上一点每1s转过的弧度数为：，
∵小轮的半径为10.5cm，
∴小轮周上一点每1s转过的弧长为：，
故答案为：864；；.
题型四 弧长、扇形面积有关计算
4．已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B．或2 C．1 D．或1
【答案】D
【解析】解：由题意得解得或故或.
故选：D
题型五 扇形中的最值问题
5．已知扇形的面积为，求扇形周长的最小值，并求此时圆心角的弧度数．
【答案】；弧度数为2
【解析】设扇形半径为r，圆心角为，
则扇形面积，扇形周长，
即，代入面积表达式得：
，
即，当且仅当时等号成立.
故周长的最小值为16cm，此时圆心角的弧度数为2.
题型六 弧长公式、扇形面积公式的应用
6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设与所在扇形圆心角分别为，
则 ，又，解得
故选:A
03题组训练
1．下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（ ）
A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【解析】①终边相同的角必相等错误，如与终边相同，但不相等；
②锐角的范围为，必是第一象限角，正确；
③小于的角是锐角错误，如负角；
④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如是第二象限角，是第一象限角；
⑤若角的终边经过点，则角是终边在轴负半轴上的角，故⑤错误．
其中错误的是①③④⑤．
故选C．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．终边在第二象限的角是钝角 B．终边相同的角必相等
C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同
【答案】C
【解析】-240°在第二象限但不是钝角，A错误；
60°和420°终边相同，但不相等，B错误；
由定义可知，C正确；
60°和420°不相等，但终边相同，D错误
故选：C.
3．若，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第一象限或第二象限 D．以上答案都不正确
【答案】D
【解析】由，分类讨论如下：
当时，的终边在第一象限；
当时，的终边在y轴上；
当时，的终边在第二象限；
故选：D
4．关于角度，下列说法正确的是（ ）
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
【答案】BD
【解析】对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为，是终边在轴正半轴上的角，故错误；
对于D，角的终边在第二象限，
，，
，
当为偶数时，，，得是第一象限角；
当为奇数时，，，得是第三象限角，故正确．
故选：BD
5．（1）若角的终边与角135°关于x轴对称，且，则__________；
（2）若锐角与它的9倍角的终边关于y轴对称，则__________；
（3）若角为正角，角为负角，且与的终边关于原点对称，则__________.
【答案】225°或-135° 18°或54° ，
【解析】（1）由题意得，因为，所以当时，；当时，，所以或；
（2）由题意得，且，所以当时，；当时，，所以或；
（3）因为与的终边关于原点对称，则与的终边在同一条直线上，又角为正角，角为负角，所以，
故答案为：或；或；.
6．与角-2021°终边重合的最大负角是__________，与角2022°终边重合的最小正角是__________.
【答案】-221° 222°
【解析】解：根据终边相同的角相差的整数倍，
故与-2021°终边相同的角可表示为：，．
则当时，，此时为最大的负角．
与角2022°终边相同的角可表示为：，
当时，，此时为最小的正角．
故答案为：-221°，
7．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）内的角．
【答案】（1）；（2）；（3）、、、.
【解析】
和终边相同
其余的终边相同的角度可以写成
（1）当时是最小的正角，；
（2）当时是最大的负角，；
（3）当，，0，1时，、、、符合条件．
8．已知集合，，.
（1）若，且角与的终边垂直，求；
（2）求.
【答案】（1）或或或0或；（2）.
【解析】解：（1）由与终边垂直，
可得，或，
即，或，．
①由，得，
，
或．
②由，得，
，
或0．
所有的为：或或或0或；
（2），，
当时，，
当时，，
当时，，
又．
,,,．课时5.1.2 弧度制
01考点梳理
知识点一 弧度制
角度制和弧度制
（1）角度制：用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.
（2）弧度制：长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作 .
（3）角的弧度数的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|=.
（4）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
知识点二 角度制与弧度制的换算
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=
180°= rad π rad=
1°= rad≈ rad 1 rad=（）°≈
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 60° 120° 150° 180° 360°
弧度 π 2π
知识点三 扇形的面积公式和弧长公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
扇形 α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 =
扇形的面积 S= S= =
答案：半径长 圆心角 弧度 2π 360° π 180° 0.017 45 57.30°(或57°18') 45° 90° 135° 270° 0 αR lR
02考点解读
题型一 终边相同的角
1．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
（1）－120°；
（2）640°.
【答案】（1）240°，它是第三象限的角；（2）280°，它是第四象限的角．
【解析】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
题型二 象限角的规定
2．已知角的终边在第四象限.
（1）试分别判断、是哪个象限的角；
（2）求的范围.
【答案】（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或轴的非正半轴的角；（2）（）.
【解析】是第四象限的角，
，
，
当时，
此时是第二象限；
当时，
此时是第四象限；
又
此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴；
（2）
题型三 角度与弧度的互化
3．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________.
【答案】＋，－
【解析】设两个角的弧度分别为，又由，
所以，解得，
即所求两角的弧度数分别为.
题型四 弧长、扇形面积有关计算
4．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是________.
【答案】
【解析】扇形的面积为,连接,设
因此
即扇形在四边形内面积等于内面积，即为，
因此图中阴影部分的面积是，
故答案为：
题型五 扇形中的最值问题
5．一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.
【答案】弧度，最大面积
【解析】设扇形的半径为，其周长为，则扇形弧长为，
且，
扇形面积，
当，时，取最大值为，
所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为.
题型六 弧长公式、扇形面积公式的应用
6．如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动，点P沿逆时针方向每秒转，点Q沿顺时针方向每秒转，试求P，Q出发后第五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长.
【答案】和.
【解析】易知动点P，Q从第k次相遇到第次相遇
所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长，
因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为.
设动点P，Q自A点出发到第五次相遇走过的时间为t秒，
走过的长分别为，则，.
因此.
∴（秒），，.
由此可知，P转过的弧度数为，Q转过的弧度数为，
P，Q走过的弧长分别为和.
03题组训练
1．把化为弧度是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为,
所以
故选：D
2．下列转化结果错误的是
A．60°化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是15°
【答案】C
【解析】对于选项A,,故A正确；
对于选项B,,故B正确；
对于选项C,,故C错误；
对于选项D,,故D正确
故选：C
3．与角终边相同的角是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A错,,与角终边不同；
B正确,,当时,得上的角为,与角有相同的终边；
C错,,当时,得上的角为,与角终边不同；
D错,,当时,得上的角为,与角终边不同,
故选：B
4．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，所以，
故选：C.
5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为平方米.（其中，）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，
因此两者之差为，选B.
6．将–1485°化为2kπ+α（0≤α<2π，k∈Z）的形式是___________．
【答案】–10π+
【解析】–1485°=–1485×=–=–10π+．故答案为–10π+．
7．用弧度表示终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合．
【答案】
【解析】如题图,角的终边与角的终边相同,将化为弧度,即,
而,
∴终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）.已知，线段、与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度.
（1）求关于的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值.
【答案】（1）；（2）当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.
【解析】(1)根据题意，可算得()， ().
又，
于是，，
所以，.
(2) 依据题意，可知
化简，得
.
于是，当(满足条件)时，().
答 所以当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.
9．如图，已知长为，宽为的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．
【答案】， ．
【解析】如图:
在扇形中，圆心角为，
弧长，
面积．
在扇形中，圆心角为，
弧长，
面积，
在扇形中，圆心角为，
弧长，
面积．
综上，点走过的路程，
点走过的弧所在扇形的总面积．课时5.1.2 弧度制
01考点梳理
知识点一 弧度制
角度制和弧度制
（1）角度制：用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.
（2）弧度制：长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作 .
（3）角的弧度数的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|=.
（4）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
知识点二 角度制与弧度制的换算
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=
180°= rad π rad=
1°= rad≈ rad 1 rad=（）°≈
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 60° 120° 150° 180° 360°
弧度 π 2π
知识点三 扇形的面积公式和弧长公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
扇形 α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 =
扇形的面积 S= S= =
02考点解读
题型一 终边相同的角
1．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
（1）－120°；（2）640°.
题型二 象限角的规定
2．已知角的终边在第四象限.
（1）试分别判断、是哪个象限的角；（2）求的范围.
题型三 角度与弧度的互化
3．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________.
题型四 弧长、扇形面积有关计算
4．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是________.
题型五 扇形中的最值问题
5．一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.
题型六 弧长公式、扇形面积公式的应用
6．如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动，点P沿逆时针方向每秒转，点Q沿顺时针方向每秒转，试求P，Q出发后第五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长.
03题组训练
1．把化为弧度是
A． B． C． D．
2．下列转化结果错误的是
A．60°化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是15°
3．与角终边相同的角是
A． B．
C． D．
4．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为平方米.（其中，）
A．15 B．16 C．17 D．18
6．将–1485°化为2kπ+α（0≤α<2π，k∈Z）的形式是___________．
7．用弧度表示终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合．
8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）.已知，线段、与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度.
（1）求关于的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值.
9．如图，已知长为，宽为的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．

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