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课时5.1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
01考点梳理
知识点一 利用两点间距离公式推导公式
设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1.根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)
＝ ，化简得cos(α－β)＝ .当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．
知识点二 两角差的余弦公式
1．公式：cos(α－β)＝ .
2．简记符号： .
3．使用条件：α，β都是 .
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的余弦 cos(α＋β)＝___________ C(α＋β) α，β∈R
两角和的正弦 sin(α＋β)＝ S(α＋β)
两角差的正弦 sin(α－β)＝____________ S(α－β)
两角和的正切 tan(α＋β)＝____________ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β)＝____________ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
知识点三 两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝___________ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
知识点四 二倍角公式
答案：(cosα－cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2 cosαcosβ＋sinαsinβ cosαcosβ＋sinαsinβ C(α－β) 任意角 cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
02考点解读
题型一 公式应用
1．已知，α∈（0，π），求下列式子的值：
（1）sinαcosα；（2）；（3）sin3α+cos3α．
【答案】（1）；（2）3；（3）．
【解析】（1）∵，α∈（0，π），
∴两边平方，可得1+2sinαcosα，
∴解得sinαcosα；
（2）∵0，①
又α∈（0，π），∈（0，），
∴sinα＞0，cosα＜0，tan0，
∴sinα﹣cosα，②
∴由①②可得sinα，，所以，
又，所以，整理得，
解得或(舍)，
所以.
（3）sin3α+cos3α＝（sinα+cosα）（sin2α+cos2α﹣sinαcosα）＝（）×（1）．
题型二 利用和（差）角公式求三角函数值
2．已知，，则（ ）
A． B．7 C． D．-7
【答案】A
【解析】因为，，
所以
，
故选：A.
题型三 利用和（差）角公式化简三角函数值
3．设、是锐角，那么下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对答案A，若，则，故A错误；
对答案B，若，则，故B错误；
对答案C，问题，因为、是锐角，故C正确；
对答案D，若，则无意义，故D错误.
故选：C.
03题组训练
1．可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原式.
故选：C
2．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原式
，所以的最小值为.
故选：C
3．若，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴
.
故选：C
4．已知，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一：由，且得，，代入得，
=，故选C．
解法二：由，且得，，
所以，故选C．
5．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，，
又在上单调递增，且，
∴
故选C
6．已知，则的值为_________
【答案】
【解析】，，
，，
相除可得．
故答案为.
7．已知函数，若函数的图象关于点对称，且，则_____
【答案】
【解析】，
，则，又，∴.
8．如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为，则________.
【答案】
【解析】由题意，设折断处离地面的高为尺
则由勾股定理得，化简得，解得.
∴，∴.
故答案为：
9．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的最大值，最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为1，最小值为.
【解析】
（1）的最小正周期为；
（2）因为
的最大值为1，最小值为.
10．已知，是第四象限角，求，，的值.
【答案】；；
【解析】由，是第四象限角，得，
所以.
于是有；
；
.
11．已如，是第三象限角，求的值.
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，又是第三象限角，∴.
因此.课时5.5.2 简单的三角恒等变换
01考点梳理
(1)半角公式
半角公式
正弦 sin＝
余弦 cos＝
正切 tan ＝± an＝＝
(2)常见的三角恒等变换
①asin x＋bcos x＝ ，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．
②sin2x＝，cos2x＝，sin xcos x＝sin 2x.
答案：± ± sin(x＋φ)(ab≠0)
02考点解读
题型一 三角恒等变换的简单应用
1．已知α∈（0，），β∈（﹣π，），sinα，cosβ，则α+2β的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于α∈（0，），sinα，所以，
由于β∈（﹣π，），cosβ，所以.
所以，，所以，
由于α∈（0，），β∈（﹣π，），
所以，
由于tan（α+2β），
所以.
故选：D.
题型二 三角恒等变换的证明问题
2．已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，所以，
即，
所以，
所以
，
即.
题型三 三角恒等变换的综合应用
3．已知矩形内接于半径为1的圆．
（1）求矩形面积的最大值；
（2）当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大吗？说明理由．
【答案】（1）2；（2）是最大，最大为，理由见解析.
【解析】（1）如图所示，
设，
在中，，
，，
矩形的面积是
，
当时，矩形的面积取得最大值．
（2）矩形的周长是
，
当时，矩形的周长取得最大值；
综上，时，矩形面积与周长同时取得最大值，
即当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大
03题组训练
1．若已知，其中，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
所以.
∵，∴.
故选：B
2．若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：.
∵，∴，
∴，∴.
故选：.
3．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【解析】由题
∴最大值为4 ，．
故选B.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵
即，
又∵，
∵，
解得或，
所以，平方得
所以，.
∵，∴，
∴，∴.
故选：A.
5．已知，化简：______.
【答案】
【解析】
故答案为：
6．化简：________.
【答案】
【解析】原式.
故答案为：
7．求值：.
【答案】1
【解析】解：原式的分子
，
原式的分母
，
所以原式.
8．求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）因为，，将以上两式的左右两边分别相加，得，即.
（2）由（1）可得.①
设，，那么，.
把，的值代入①，即得.
9．求证：（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】（1），，
两式相减，得，
∴.
（2）∵，，两式相加，得，∴.
（3）由（2）得，
∴.
10．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
【解析】试题分析：解：由题意可得
在三角形OCB中，OC=1,,
所以 BC=sin OB=cos
在三角形OAD中，，AD="BC=" sin
所以 所以AB="OB-OA=" cos - 5分
则，矩形ABCD的面积为
=
==
所以矩形ABCD面积的最大值为．
此时== 12分
11．如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，为滑道，为直角，米，设，一个小朋友从点沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为秒，已知小朋友下滑的长度与和的积成正比，当时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米.
（1）求关于时间的函数的表达式；
（2）请确定的值，使小朋友从点滑到所需的时间最短.
【答案】（1）;(2) 当时，时间最短.
【解析】（1）由题意，设，
，
，
；
（2），
，
，
当时，时间最短.课时5.1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
01考点梳理
知识点一 利用两点间距离公式推导公式
设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1.根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)
＝ ，化简得cos(α－β)＝ .当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．
知识点二 两角差的余弦公式
1．公式：cos(α－β)＝ .
2．简记符号： .
3．使用条件：α，β都是 .
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的余弦 cos(α＋β)＝___________ C(α＋β) α，β∈R
两角和的正弦 sin(α＋β)＝ S(α＋β)
两角差的正弦 sin(α－β)＝____________ S(α－β)
两角和的正切 tan(α＋β)＝____________ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β)＝____________ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
知识点三 两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝___________ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
知识点四 二倍角公式
02考点解读
题型一 公式应用
1．已知，α∈（0，π），求下列式子的值：
（1）sinαcosα；（2）；（3）sin3α+cos3α．
题型二 利用和（差）角公式求三角函数值
2．已知，，则（ ）
A． B．7 C． D．-7
题型三 利用和（差）角公式化简三角函数值
3．设、是锐角，那么下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
03题组训练
1．可化为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．若，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则
A． B． C． D．
5．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为_________
7．已知函数，若函数的图象关于点对称，且，则_____
8．如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为，则________.
9．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的最大值，最小值．
10．已知，是第四象限角，求，，的值.
11．已如，是第三象限角，求的值.课时5.5.2 简单的三角恒等变换
01考点梳理
(1)半角公式
半角公式
正弦 sin＝
余弦 cos＝
正切 tan ＝± an＝＝
(2)常见的三角恒等变换
①asin x＋bcos x＝ ，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．
②sin2x＝，cos2x＝，sin xcos x＝sin 2x.
答案：± ± sin(x＋φ)(ab≠0)
02考点解读
题型一 三角恒等变换的简单应用
1．已知α∈（0，），β∈（﹣π，），sinα，cosβ，则α+2β的值为（　　）
A． B． C． D．
题型二 三角恒等变换的证明问题
2．已知，求证：.
题型三 三角恒等变换的综合应用
3．已知矩形内接于半径为1的圆．
（1）求矩形面积的最大值；
（2）当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大吗？说明理由．
03题组训练
1．若已知，其中，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，化简：______.
6．化简：________.
7．求值：.
8．求证：（1）；
（2）.
9．求证：（1）；
（2）；
（3）.
10．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
11．如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，为滑道，为直角，米，设，一个小朋友从点沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为秒，已知小朋友下滑的长度与和的积成正比，当时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米.
（1）求关于时间的函数的表达式；
（2）请确定的值，使小朋友从点滑到所需的时间最短.

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