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(共24张PPT)
21.2 .5 一元二次方程根的判别式
人教版 九年级上册
通过配方法推导元二次方程根的判别式．
课件说明
学习目标：
理解用根的判别式判别根的情况.
学习难点：
理解根的判别式的作用．
课件说明
用配方法求
ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根.
解：
移项，得
配方，得
二次项系数化为1，得
ax2＋bx=－c；
x2＋ x =－ ；
b
a
c
a
x2＋ x＋ =－ ＋ ；
b
2a
c
a
( )2
b
a
b
2a
( )2
(x＋ )2 = ；
b
2a
4ac
b2
4a2
－
复习旧知　
学习新知　
(x＋ )2 = ；
b
2a
4ac
b2
4a2
－
∵a ≠ 0，
∴4a2＞0.
(1)当b2－4ac＞0时，
开方，得
x＋ =
b
2a
±
2a
4ac
b2
－
－b
∴
x1=
2a
＋
4ac ，
b2
－
x2=
2a
－b
－
4ac .
b2
－
4ac
b2
4a2
－
＞0，
显然 x1≠x2.
当b2－4ac＞0时，
即
方程有两个不相等的实数根.
(x＋ )2 = ；
b
2a
4ac
b2
4a2
－
∵a ≠ 0，
∴4a2＞0.
(2)当b2－4ac =0时，
开方，得
x＋ =
b
2a
±
2a
4ac
b2
－
－b
∴
x1=
2a
＋
4ac ，
b2
－
x2=
2a
－b
－
4ac .
b2
－
4ac
b2
4a2
－
=0，
显然 x1 = x2 .
当b2－4ac =0时，
即
方程有两个相等的实数根.
=
b
2a
－
(x＋ )2 = ；
b
2a
4ac
b2
4a2
－
∵a ≠ 0，
∴4a2＞0.
4ac
b2
4a2
－
即
方程没有实数根.
(3)当b2－4ac＜0时，
＜0，
(x＋ )2
b
2a
＜0，
∴原方程没有实数根.
∵任何实数的平方不会是负数，
∴
当b2－4ac＜0时，
当　　　时， 方程没有实数根.
当　　　时， 方程有两个相等的实数根；
当　　　时， 方程有两个不相等的实数根；
Δ＞0
式子b2－4ac
Δ= 0
Δ＜0
叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
根的判别式，
用希腊字母Δ表示.
即Δ=
b2－4ac.
认识新知　
　利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1) x2＋10x＋9=0；
(2) 5x2 －5x－1 =0；
(3) 9x2－6x＋1=0；
(4) x(x＋4)=8x－12.
运用新知
　利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1) x2＋10x＋9=0；
(2) 5x2 －5x－1 =0；
(3) 9x2－6x＋1=0；
(4) x(x＋4)=8x－12.
解：(1) ∵ a=1，b=10 ，c=9；
∴Δ=b2－4ac
－4×1×9
=64
=102
＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
　利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1) x2＋10x＋9=0；
(2) 5x2 －5x－1 =0；
(3) 9x2－6x＋1=0；
(4) x(x＋4)=8x－12.
解：(2) ∵ a=5，b=－5 ，c=－1；
∴Δ=b2－4ac
－4×5×( )
=45
=(－5)2
＞0
－1
∴方程有两个不相等的实数根.
　利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1) x2＋10x＋9=0；
(2) 5x2 －5x－1 =0；
(3) 9x2－6x＋1=0；
(4) x(x＋4)=8x－12.
解：(3) ∵ a=9，b=－6 ，c=1；
∴Δ=b2－4ac
－4×9×1
=(－6)2
∴方程有两个相等的实数根.
=0
　利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1) x2＋10x＋9=0；
(2) 5x2 －5x－1 =0；
(3) 9x2－6x＋1=0；
(4) x(x＋4)=8x－12.
解：(4)
∴Δ=b2－4ac
－4×1×12
=(－4)2
∴方程没有实数根.
∵ a=1，b=－4 ，c=12；
原方程可化为：
x2－4x＋12=0；
=16－48
=－32
＜0
巩固新知　
1.下列一元二次方程有两个相等实数根
的是(　 )
A．x2－4=0 B．x2＋2x=0
C．x2－2x＋1=0 D．(x＋3)(x－1)=0
2.下列一元二次方程没有实数根的是(　 )
A．x2－1=0 B．x2＋x＋2=0
C．x2 ＋2x＋1=0 D．x＋3x－1=0
C
B
3.一元二次方程x2 ＋1=0根的情况是(　 )
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
A
4.一元二次方程2x2 ＋x －2=0根的情况是(　 )
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
C
5.若一元二次方程x2 －ax＋16=0有两个相等
的实数根，则a的值为(　 )
A．a=8 B．a1=8，a2=－8
C．a=4 D．a1=4，a2= － 4
6. 关于x的一元二次方程(a－1) x2－2x＋1=0 有两
个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A. a＞2 B. a＜2
C. a＜－2 D. a＜2且a≠1
B
D
8.方程x2＋2x＋m=0有两个相等实数根，则
m= .
7.方程2x2＋3x－k=0根的判别式是 ；
当k 时，方程没有实数根.
9 ＋8k
＜
1
－
9
8
9. 关于x的一元二次方程3x2－4x＋m=0 没有
实数根，则m的取值范围是 .
10. 关于x的一元二次方程ax2＋4x－2=0 (a≠0)
有实数根，则负整数a= . (写出一个即可)
m＞
4
3
－1
11.试判断关于x的方程x2－mx－3＝0的根的情况.
解：∵ a=1，b=－m ，c=－3；
∴Δ=b2－4ac
－4×1×( )
=m2
=(－m)2
∴m2＋12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
－3
＋12
∵对于任何实数m都有m2≥0，
∴Δ＞0，
12.若关于x的方程x2－3x－m=0有两个不相等
的实数根，求m的取值范围.
解:∵方程x2－3x－m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ
＞0.
∵Δ=
－4×1×( )
=9＋4m
(－3)2
∴m＞
－m
∴9＋4m＞0，
－
9
4
今天作业
课本P17页第4题
谢谢
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