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数列求和（一）裂项求和
例题1．（2022·河北保定·二模）已知公差为2的等差数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式.
(2)若，数列的前n项和为，证明.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)由题意，得，
解得：，故.
(2)证明：因为，
所以
，
因为，
所以.
例题2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知数列满足：对任意，有.
(1)求数列的通项公式;
(2)设，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：当时，，故，
当时，，则
，
故，当时，上式亦满足；综上， ；
(2)解：因为，
，
故.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【解析】(1)由，
得．又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，
当时，也符合上式，
故数列的通项公式为．
(2)由（1）可得，
则
，
故成立．
例题4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)正项数列{}，，满足，所以，
所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，
所以.
(2)因为
所以，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，，
由{}递增，得，所以的最小值为.
练习
1．（2022·山东威海·三模）已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，，记．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【解析】(1)解：设数列的公比为，则，
由题意知，可得，解得，
所以，，．
(2)证明：因为，
所以.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））等比数列中，首项，前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设数列公比为q，由，，可得，
化简得，即，所以.
(2)，
则.
3．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)令，则，即，解得：
显然，由，两边同时除以，
得，所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．
故，即．
(2)
所以
．
4．（2022·江西萍乡·三模）已知正项数列的前项和满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：数列的前项和.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)由题意：，
当时，可得，
两式相减得到
又，是首项为，公比为的等比数列
的通项公式为.
(2)由题意知，
5．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)设，数列的前项和记为，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】(1)由，得
两式相减可得，
因为，得
数列为3，，3，，3，，3，
即，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
(2)由
则有
所以，
作业
1．（2022·山东淄博·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见详解.(2)
【解析】(1)由知，当时，，
故，即，从而，
又，
因此可得是以公比的等比数列.故得证.
(2)由（1），所以
,
2．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，；(2).
【解析】(1)若选①②作为条件，
设|的公差为d，
由成等比数列可知，
所以，
整理得．
由得，
整理得，
当时，不合题意，
所以，则，解得，
故．
若选①③作为条件．
设的公差为d，
由成等比数列可知，
所以
整理得．
由得，
整理得，
所以，解得或，
当时，，不合题意，
所以，则，
故；
若选②③作为条件．
设的公差为d，
由得，
整理得，
由得，
整理得，
由两式联立得，
故；
(2)由（1）得，
所以，
故数列的前n项和．
3．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且和满足：.
(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)当时，有，得，
由，有，①
∴，②
①－②得.
∴，化简.
∵，∴.
∴是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴.
(2).
∴.
4．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求的值，并证明：数列是一个常数列；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若，求正整数k的值．
【答案】(1)，证明见解析．(2)．
【解析】(1)当时，得：．
当时，，则，
得，
又符合上式，即数列是一个常数列．
(2)由（1）可知：，即．
，则，得：．
即．
5．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知正项递增的等比数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，的前n项和为，求.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等比数列的公比为，则
因为数列为正项递增等比数列，所以，
又，，
∴，解得，或（舍）；
所以等比数列的通项公式为.
(2)由（1）知，
所以，
所以
.
所以的前n项和为.
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)当时，，即.
当时，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以数列为常数列，
所以，即.
(2)证明：由（1）得，
所以，
所以.
7．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）等比数列中，首项，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设数列公比为，由，，
可得，化简得，
即，所以．
(2)由（1）得，
所以
所以
..
8．（2022·广东·珠海市第二中学高二阶段练习）已知数列和的通项公式：，
(1)求数列的前n项和．(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
，，，
相减得，
所以．
(2)因为，
所以
.
9．（2022·广东·高二阶段练习）设数列满足.
(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：数列满足，
当时，得，
时，，
两式相减得：，
∴，当时，，上式也成立.∴；
(2)因为，
，
∴，
.
10．（2022·江西师大附中三模（理））设数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，且对恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由，又，
两式相减可得，
即，
又当时，，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以，即；
(2)由，则
，
因为，所以，
即对恒成立，所以实数的最小值为．
11．（2022·湖北武汉·模拟预测）记正项数列的前n项和为，且满足对任意正整数n有，，构成等差数列；等比数列的公比，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】
(1)依题意，，，当时，，
当时，，两式相减得：，
即，于是得，
则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；
依题意，，有，又，则，又，解得，
所以.
(2)由（1）知，，，则，
，
所以.
12．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知是等差数列，是等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前n项和为，证明：；
(3)记，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【解析】(1)设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
所以，所以，
(2)的前n项和为
，(当时，取等号)
命题得证.
(3)由（1）得，，
所以数列的前项和，
14．（2022·江苏盐城·三模）已知正项等比数列满足，请在①，②，③，，中选择一个填在横线上并完成下面问题：
(1)求的通项公式；
(2)设，的前和为，求证：．
【答案】(1)选择见解析；(2)证明见解析
【解析】(1)设正项等比数列公比为q，又，
选①，，所以；
选②，，所以；
选③，，所以，∴；
又，
∴，则．
(2)因为，
所以
．
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