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第五节 共点力平衡
一、共点力作用下物体的平衡状态
物体在共点力的作用下，保持静止或做匀速直线运动的状态．
二、共点力作用下物体的平衡条件
1．共点力作用下物体的平衡条件
(1)平衡条件F合＝0或，其中Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力．
2)对应两种状态：①静止状态：a＝0，v＝0
②匀速直线运动状态：a＝0，v≠0
(3)说明：①物体某时刻速度为零，但F合≠0，不是平衡状态，如竖直上抛的物体到达最高点时，只是速度为零，不是平衡状态．
②处于平衡状态的物体，沿任意方向的合力都为零．
2．由平衡条件得出的三个结论
3．力的平衡
作用在物体上的几个力的合力为零．
一、受力分析
【典例精析】
例1.如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止。物体B的受力个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
解析：如图所示，以物体B为研究对象，B受重力G、向上的外力F和A对B的压力N，物体B有相对A上移的运动趋势，故A对B的静摩擦力沿斜面向下。故选项C正确。
【变式训练1】（多选）如图3所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在水平地面上，另一端与斜面体P连接，P与固定挡板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻所受到的外力个数有可能为(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案：AC
解析：MN与P接触时有两种情况，若接触时无弹力，此时P受重力和弹簧的支持力，A项正确；若接触时有弹力，则P平衡时必然还受到沿斜面向下的静摩擦力，因此P应受四个力作用，故C项正确．
【变式训练2】如图所示，在斜面上，木块A与B的接触面是水平的，绳子呈水平状态，两木块均保持静止．则关于木块A和木块B的受力个数不可能的是(　　)
A．2个和4个
B．3个和4个
C．4个和4个
D．4个和5个
答案：B
二、正交分解应用
【典例精析】
例2．如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动．力F与水平方向夹角为θ，重力加速度为g.求物体与天花板间的动摩擦因数μ.
答案　：
解析：对物体受力分析，将力F正交分解，如图
根据共点力平衡条件得：水平方向：Fcos θ－f＝0
竖直方向：Fsin θ－N－mg＝0
由f＝μN可得 μ＝.
【变式训练】如图所示，一个质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，重力加速度为g，求物块受到的摩擦力和弹力的大小．
答案：Fsin α＋mg　Fcos α
解析：对物块进行受力分析，如图所示，
水平方向建立x轴，竖直方向建立y轴．
由平衡条件，得f＝Fsin α＋mg，N＝Fcos α.
三、整体法与隔离法
【典例精析】
例3.如图所示，光滑金属球的重力G＝40 N．它的左侧紧靠竖直的墙壁，右侧置于倾角θ＝37°的斜面体上．已知斜面体处于水平地面上保持静止状态，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)墙壁对金属球的弹力大小；
(2)水平地面对斜面体的摩擦力的大小和方向．
答案：(1)30 N　(2)30 N　方向水平向左
解析：(1)金属球静止，则它受到的三个力平衡(如图所示)．
由平衡条件可得墙壁对金属球的弹力为
N1＝Gtan θ＝40tan 37°＝30 N
(2)斜面体对金属球的弹力为N2＝＝50 N
由斜面体平衡可知地面对斜面体的摩擦力大小为f＝N2sin 37°＝30 N
摩擦力的方向水平向左．
【变式训练】在粗糙水平面上放着一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2，如图所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块(　　)
A．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右
B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1，m2，θ1，θ2的数值均未给出
D．以上结论都不对
答案：D
解析：取木块及m1和m2整体为研究对象，等效为如图所示情形，一个放在水平面上的物体不受外力作用，是不可能相对地面有运动趋势的，故粗糙水平面对三角形木块无摩擦力。
四、动态平衡
动态平衡：使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡。此类问题的特征是“缓慢”，“慢慢”运动
1.基本思路：解决此类问题的基本思路是物体处于物体处于平衡状态
2.解析法解决动态平衡：
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
【典例精析】
例4.(多选) 如图所示，人在岸上通过定滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．绳的拉力不断增大
B．绳的拉力保持不变
C．船受到的浮力不断减小
D．船受到的浮力保持不变
答案：AC
解析：在绳牵引小船匀速靠岸的过程中，小船的受力情况如图所示，船匀速运动，所受的合力为零，则在水平方向有Ff＝F1＝Fcosθ，在竖直方向有F浮＋F2＝G，其中F2＝Fsinθ，解得F＝，F浮＝G－Fsinθ＝G－Fftanθ，船在靠岸的过程中，θ角增大，cosθ减小，tanθ增大，所以F增大，F浮减小，选项A、C正确。
【变式训练】有一个直角支架AOB，AO杆水平放置，表面粗糙，OB杆竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是(　　)
A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小
C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小
答案：B
解：以两环和细绳整体为研究对象，由题意可知，竖直方向上二力平衡，即FN＝2mg不变；水平方向上只有OB对Q环的压力N和OA对P环的摩擦力f作用，因此f＝N。以Q环为研究对象，它在重力、细绳的拉力F和OB的压力N作用下平衡，如右图所示，设细绳和竖直方向的夹角为α，则N＝mgtanα。P环向左移动的过程中α将减小，N也将减小，所以f减小。故选项B正确。
【自我检测】
1．关于物体的平衡，下列说法正确的是(　　)
A．如果物体所受合力等于零，则一定处于静止状态
B．如果物体所受合力等于零，则一定处于匀速直线运动状态
C．只要物体速度等于零，物体就处于平衡状态
D．如果物体受到共点力作用而处于平衡状态，则合外力一定为零
答案：D
解析;物体所受合力等于零，则物体处于静止状态或匀速直线运动状态，因此，A、B均错；物体速度为零时，合力可能不为零，如竖直上抛物体到达最高点的瞬间，故C错．
2．如图所示，物体A和B一起沿斜面匀速下滑，则物体A受到的力是(　　)
A．重力、B对A的支持力
B．重力、B对A的支持力、下滑力
C．重力、B对A的支持力、摩擦力
D．重力、B对A的支持力、摩擦力、下滑力
答案:A
3.如图所示，A、B两球完全相同，质量均为m，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间连着一根轻质弹簧，静止不动时，两根细线之间的夹角为θ，则弹簧的弹力为(　　)
A．2mgtan θ B．mgtan θ
C．2mgtan D．mgtan
答案：D
解析：A球受力如图所示，则
FTcos ＝mg，F＝FTsin
故弹簧弹力F＝mgtan ，D正确．
4.如图所示，可以视为质点的小球A、B被轻绳连接后，挂在光滑的圆柱上恰好处于静止状态，已知圆柱截面的圆心为O点，∠AOB＝90°，OB与竖直方向的夹角α＝30°，则A、B两球的质量之比为(　　)
A．1∶2 B.∶2
C．1∶ D.∶1
答案：C
解析：分别选A和B为研究对象受力分析如图所示．由图甲得T＝Fsin 60°＝GAsin 60°＝mAg，由图乙得T′＝F′sin α＝GBsin 30°＝mBg，T＝T′，综上解得mA∶mB＝1∶，选项C正确．
5.如图所示为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点．由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高．座椅静止时用F表示所受合力的大小，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比(　　)
A．F不变，F1变小　　　　　 B．F不变，F1变大
C．F变小，F1变小 D．F变大，F1变大
答案：A
解析：如图所示，木板静止时，受重力和两个拉力而平衡，故三个力的合力为零，即：F＝0；根据共点力平衡条件，有：2F1cos θ＝mg
解得：F1＝.由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，即图中的θ角减小了，故F不变，F1变小．故选A.
6．(多选) 如图所示，放在水平面上的物体A用轻绳通过光滑定滑轮连接另一物体B，并静止，这时A受到水平面的支持力为FN，摩擦力为Ff，若把A向右移动一些后，A仍静止，则(　　)
A．FN将增大 B．Ff将增大
C．轻绳拉力将减小 D．物体A所受合力将增大
答案：AB
解析：物体A受力如图，系统处于静止状态，绳子的拉力不变，始终等于B所受的重力，即F＝mBg，A所受合力为零，故选项C、D均错误；当A向右移动时，θ角减小，FN＝mAg－Fsinθ，Ff＝Fcosθ，由此可知，FN、Ff均增大，所以选项A、B正确。
7．如图所示，物体的质量m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10 N/kg，求推力F的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案：88 N或40 N
解析　若物体向上做匀速直线运动，则受力如图甲所示．
Fcos θ＝mg＋Ff
Fsin θ＝FN
Ff＝μFN
故推力F＝＝ N＝88 N
若物体向下做匀速直线运动，受力如图乙所示．
Fcos θ＋Ff＝mg
Fsin θ＝FN
Ff＝μFN
故推力F＝＝ N＝40 N
8.如图所示，质量m1＝5 kg的物体，置于一粗糙的斜面体上，斜面倾角为30°，用一平行于斜面的大小为30 N的力F推物体，物体沿斜面向上匀速运动．斜面体质量m2＝10 kg，且始终静止，g取10 m/s2，求：
(1)斜面体对物体的摩擦力；
(2)地面对斜面体的摩擦力和支持力．
答案：(1)5 N，方向沿斜面向下
(2)15 N，方向水平向左　135 N，方向竖直向上
解析：(1)要求系统内部的作用力，所以用隔离法．对物体受力分析，如图甲所示，沿平行于斜面的方向上有F＝m1gsin 30°＋Ff，解得Ff＝5 N，方向沿斜面向下．
(2)要求系统受的外力，用整体法．因两个物体均处于平衡状态，故可以将物体与斜面体看做一个整体来研究，其受力如图乙所示．在水平方向上有Ff地＝Fcos 30°＝15 N，方向水平向左；
在竖直方向上有FN地＝(m1＋m2)g－Fsin 30°＝135 N，方向竖直向上．
9．如图所示，A、B的重力分别为9.2 N和6.4 N，各接触面间的动摩擦因数均为0.2，连接墙壁与A之间的细绳MN与水平方向夹角为37°，现从A下方向右匀速拉出B.求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)此时绳MN对A的拉力大小为多少？
(2)所需的水平拉力F为多大？
答案：(1)2 N　(2)4.48 N
解析：(1)对A，受力如图甲所示，根据平衡条件，有：
水平方向：f1＝μN1＝Tcos 37° ①
竖直方向：GA＝N1＋Tsin 37° ②
由①②并代入数据可求得T＝2 N，N1＝8 N.
(2)对B受力分析如图乙所示，根据平衡条件得：
竖直方向：N2＝N1′＋GB＝N1＋GB＝14.4 N
水平方向：F＝f1′＋μN2＝f1＋μN2＝4.48 N.

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