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习题课 共点力平衡应用
一、力的动态问题分析——图解法
图解法的一般步骤
(1)首先画出力的分解图．在合力、两分力构成的三角形中，一个是恒力，大小、方向均不变；另两个是变力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均改变的力．
(2)分析方向变化的力在哪个空间内变化，借助力的矢量三角形，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．
(3)注意：由图解可知，当大小、方向都可变的分力(设为F1)与方向不变、大小可变的分力垂直时，F1有最小值．
【典例精析】
例1.（多选）如图所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中(　　)
A．小球对薄板的压力增大
B．小球对墙的压力减小
C．小球对墙的压力先减小后增大
D．小球对薄板的压力不可能小于球的重力
答案：BD
解析：根据小球重力的作用效果，可以将重力G分解为使球压板的力F1和使球压墙的力F2，作出平行四边形如图所示，当θ增大时，F1、F2均变小，而且在θ＝90°时，F1有最小值，等于G，所以B、D项均正确．
【变式训练】(多选)如图所示，用竖直挡板将小球夹在挡板和光滑斜面之间，若缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，以下说法正确的是(　　)
A．挡板对小球的压力先增大后减小
B．挡板对小球的压力先减小后增大
C．斜面对小球的支持力先减小后增大
D．斜面对小球的支持力一直逐渐减小
答案：BD
解析：取小球为研究对象，小球受到重力G、挡板对小球的支持力FN1和斜面对小球的支持力FN2三个力作用，如图所示，FN1和FN2的合力与重力大小相等，方向相反，FN2总垂直接触面(斜面)，方向不变，根据图解可以看出，在FN1方向改变时，其大小(箭头)只能沿PQ线变动。显然在挡板移动过程中，FN1先变小后变大，FN2一直减小。
【变式训练】（多选）光滑水平面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止，若将A的位置向右移动少许，整个装置仍保持平衡，则(　　)
A．水平外力F增大 B．墙对B的作用力减小
C．地面对A的支持力减小 D．B对A的作用力增大
答案：AD
解析：对物体B受力分析，受到重力mg、物体A对物体B的支持力N′和墙面对B的支持力N，如图：
当物体A向右移动后，物体A对物体B的支持力N′的方向不断变化，根据平衡条件结合合成法可以知道物体A对物体B的支持力N′和墙面对物体B的支持力N都在不断增大，故B错误，D正确；再对A和B整体受力分析，受到总重力G、地面支持力N1、推力F和墙面的弹力N，如图：
根据平衡条件，有：F＝N，N1＝G，故地面对A的支持力不变，推力F随着墙面对物体B的支持力N的不断增大而增大，故A正确，C错误．
二、力的三角形定则的应用
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算
【典例精析】
例2.如图所示，光滑半球的半径为R，有一重力为G的小球用一细线挂靠在半球上，细线上端通过一个定滑轮，当用力F将小球缓慢往上拉时，小球对细线的拉力大小F1和小球对球面的压力大小F2的变化情况是(　　)
A．两者都变小　　　　　 B．两者都变大
C．F1变小，F2不变 D．F1不变，F2变小
答案：C
解析：小球的重力产生两个作用效果：沿细线方向向下拉紧细线和沿半径方向压紧球面，作出分解示意图如图所示。小球对细线的拉力F1与重力的分力G1大小相等，方向相同，小球对球面的压力F2与G2大小相等，方向相同。随着小球上移，G1与G2的方向均发生变化，此时力的平行四边形的形状变化规律不直观，力随角度变化的关系也难建立。而此处所求的力的变化关系是由于O′A段细线缩短引起的，因此可建立与O′A线段长度之间的变化关系。设O′A段细线长为L，小球半径为r，O′点到半球顶的距离为d。由阴影部分三角形相似得＝＝。
当小球往上移动时，L减小，d、r和R都不变，因此G1减小，G2不变，所以F1减小，F2不变。故选项C正确。
【变式训练】如图所示，三角形轻支架ABC的边长AB＝20 cm，BC＝15 cm。在A点通过细绳悬挂一个重为G＝30 N的物体，则AB杆受拉力大小为多少？AC杆受压力大小为多少？
答案：40 N　50 N
解析：物体受重力G和细绳的拉力F平衡，由二力平衡可知F＝G＝30 N。将细绳的拉力分解为拉杆AB的力F1和压杆AC的力F2，如图所示。
由于△ABC ∽△F2FA，
则＝，＝
解得F1＝F＝×30 N＝40 N
F2＝F＝F＝×30 N＝50 N。
三、临界问题
【典例精析】
例1如图所示，在倾角θ＝37°的斜面上，用一水平力F推一质量为m＝10 kg的物体，欲使物体沿斜面匀速运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，试求F的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案：112 N或48 N
解析：若物体沿斜面向上匀速运动，根据平衡条件：
Fcos 37°＝f＋mgsin 37°
f＝μ(mgcos 37°＋Fsin 37°)
解得：F≈112 N
若物体沿斜面向下匀速运动，根据平衡条件：
Fcos 37°＋f＝mgsin 37°
f＝μ(mgcos 37°＋Fsin 37°)
解得：F≈48 N.
【变式训练】（多选）如图所示，位于斜面上的物块M在沿斜面向上的力F作用下，处于静止状态，则斜面作用于物块的静摩擦力(　　)
A．方向一定沿斜面向下 B．方向可能沿斜面向下C．大小可能等于零D．大小可能等于F
答案：BCD
解析：以物块M为研究对象进行受力分析可知，物块M受竖直向下的重力、垂直斜面向上的弹力FN、平行斜面向上的力F以及平行于斜面方向的静摩擦力，如图所示(静摩擦力未画出)．静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反，但这里无法直接确定，则可假设斜面光滑，此时物块向上还是向下运动取决于沿斜面方向向上的力F及沿斜面向下的重力的分力Gsin θ的大小．
当F>Gsin θ时，物块有向上运动的趋势，此时静摩擦力应沿斜面向下，B正确．
当F＝Gsin θ时，无相对运动趋势，此时静摩擦力为零，C正确．
当F当F＝Gsin θ时，静摩擦力等于Gsin θ且方向沿斜面向上，D正确．
【变式训练】（2019·成都七中月考）如图所示，将球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向缓慢向上偏移至竖直方向的过程中，细绳上的拉力将(　　)
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案：D
解析：球的重力有两个效果，即拉细绳和压斜面，用图解法分析该题，作出力的分解图示如图所示。由图可知，当细绳由水平方向逐渐向上偏移至竖直方向时，细绳上的拉力F2将先减小后增大，当F2和F1的方向垂直时，F2有极小值；而球压斜面的力F1逐渐减小。故选项D正确。
【自我检测】
1．[2019·长沙一中月考] 如图所示，容器内盛有水，器壁AB呈倾斜状，有一个小物块P处于图示位置，并保持静止状态，则关于小物块P的受力情况，下列判断正确的是(　　)
A．P可能只受一个力
B．P可能只受三个力
C．P不可能只受二个力
D．P不是受到二个力就是受到四个力
答案：D
解析：当浮力等于小物块的重力时，小物块P所受的二力平衡，此时只受二个力的作用；当浮力大于重力时，小物块与AB间有弹力，又有沿斜面向上运动的趋势，还要受到摩擦力的作用，则此时受四个力的作用，则正确的选项为D。
2．如图所示，一小物块从斜面底端以一定的初速度v0冲上粗糙斜面，关于物块上滑过程中的受力，下列说法正确的是(　　)
A．重力、支持力、摩擦力、向前的冲力
B．重力、支持力、摩擦力、下滑力
C．重力、支持力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力、沿斜面向上的拉力
答案：C
解析：物体受到G、FN、f，下滑力是重力的分力而不是物体实际受到的力，冲力、拉力都找不到其对应的施力物体，所以不存在，则C正确。
3.如图所示，一架直升机通过轻绳打捞海中物体，物体质量为m，由于流动的海水对物体产生水平方向的冲击，使轻绳张紧且偏离竖直方向，当直升机相对地面静止时，绳子与竖直方向成θ角，已知物体所受的浮力不能忽略．下列说法正确的是(　　)
A．绳子的拉力为
B．绳子的拉力一定大于mg
C．物体受到海水的水平方向的作用力等于绳子的拉力
D．物体受到海水的水平方向的作用力小于绳子的拉力
答案：D
解析：小球受力如图所示
由平衡条件知
FTcos θ＋F浮＝mg
FTsin θ＝F海水
由此可知A、B、C错误，D正确．
4.如图所示，将一个球放在两块光滑斜面板AB和AC之间，两板与水平面夹角是60°.现在使AB板固定，使AC板与水平面的夹角逐渐减小，则(　　)
A．球对AC板的压力先增大后减小
B．球对AC板的压力逐渐减小
C．球对AC板的压力先减小后增大
D．球对AC板的压力逐渐增大
答案：C
解析：对球受力分析，如图所示，当使AC板与水平面的夹角逐渐减小，AC板运动过程中FB的方向不变，FC的大小和方向都变化，但是两者的合力恒等于球的重力，由矢量三角形可得FB逐渐减小，FC先减小后增大，选项C正确．
5．如图所示，一根轻绳跨过定滑轮后系在质量较大的球上，球的大小不可忽略．在轻绳的另一端加一个力F，使球沿斜面由图示位置缓慢拉上顶端，各处的摩擦不计，在这个过程中拉力F(　　)
A．逐渐增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案：A
解析：将球沿固定的光滑斜面由题图位置缓慢拉到顶端的过程中，顺时针转动过程绳子拉力方向如图中1到2到3的位置(注意开始时绳子拉力与支持力的夹角就是大于90°的)
由图可以看出绳子拉力一直增大，即F一直增大．
6.如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前(　　)
A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小
答案：B
解析：作出C点的受力示意图，如图所示，由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似。根据相似三角形的性质得＝＝，解得BC绳中的拉力为FT＝G，AC杆中的支撑力为FN＝G。由于重物P向上运动时，AB、AC不变，BC变小，故FT减小，FN不变。选项B正确。
7.(2019·山东省“评价大联考”三模)如图，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，直径竖直，O为圆心，最高点B处固定一光滑轻质滑轮，质量为m的小环A穿在半圆环上。现用细线一端拴在A上，另一端跨过滑轮用力F拉动，使A缓慢向上移动。小环A及滑轮B大小不计，在移动过程中，关于拉力F以及半圆环对A的弹力N的说法正确的是(　　)
A．F逐渐增大
B．N的方向始终指向圆心O
C．N逐渐变小
D．N大小不变
答案：D
解析：选取小环A为研究对象，画受力分析示意图，小环A受三个力，重力、绳子的拉力和大圆环的支持力，运用三角形相似法得到N、F与AO、BO的关系，再分析N和F的变化情况。在小环A缓慢向上移动的过程中，小环A处于三力平衡状态，根据平衡条件知，mg与N的合力与T等大反向共线，作出mg与N的合力，如图，由三角形相似得：＝＝，F＝T，则F＝mg，AB变小，BO不变，则F变小，故A错误；N＝mg，AO、BO都不变，则N大小不变，方向始终背离圆心，故D正确，B、C错误。
8.如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向的夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大拉力为150 N，而BC绳能承受的最大拉力为100 N，求物体最大重力不能超过多少？
答案：173.2 N
解析：重物静止，根据力的分解，可得：
FTACsin30°＝FTBCsin60°①
FTACcos30°＋FTBCcos60°＝G②
由以上两式解得：当FTBC＝100 N时，FTAC＝173.2 N>150 N，AC绳已断
而当FTAC＝150 N时，FTBC＝86.6 N<100 N
将FTAC＝150 N，FTBC＝86.6 N代入②式，
解得G＝173.2 N，所以重物的最大重力不能超过173.2 N。
9.如图所示，球A重G1＝60 N，斜面体B重G2＝100 N，斜面倾角θ＝30°，一切摩擦均不计，则水平力F为多大时，才能使A、B均处于静止状态？此时竖直墙壁和水平地面受到的弹力为多大？
答案　20 N　20 N　160 N
解析：设竖直墙壁和水平地面对A、B的作用力分别为F1、F2，取A、B组成的整体为研究对象，受力分析如图甲所示．
由受力平衡得
F2＝G1＋G2＝160 N
F1＝F
取A为研究对象，受力分析如图乙所示．由受力平衡得
F1＝G1tan θ，则F＝G1tan θ＝20 N
由牛顿第三定律知，竖直墙壁和水平地面受到的弹力的大小分别为20 N、160 N

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