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第二节 匀变速直线运动速度与时间关系
一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．
2．分类
(1)匀加速直线运动：物体的速度随时间均匀增大．
(2)匀减速直线运动：物体的速度随时间均匀减小．
3.特点：速度随时间均匀变化，即加速度恒定的运动．
【典例精析】
例1.(多选)关于直线运动，下述说法中正确的是(　　)
A．匀速直线运动的速度是恒定的，不随时间而改变
B．匀变速直线运动的瞬时速度随时间而改变
C．速度随时间不断增加的运动，叫匀加速直线运动
D．速度随着时间均匀减小的运动，通常叫做匀减速直线运动
答案：ABD
解析：根据匀速直线运动的特点可知，选项A正确；根据匀变速直线运动的定义和特点可知，选项B、D正确；速度随时间不断增加，不一定是均匀增加，所以不一定是匀加速直线运动，选项C错误．
二、速度与时间的关系式
1．公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
2．公式v＝v0＋at中各量的物理意义
v0是开始时刻的瞬时速度，称为初速度；v是经时间t后的瞬时速度，称为末速度；at是在时间t内的速度变化量，即Δv＝at.
3．公式的矢量性：公式vt＝v0＋at中的v0、vt、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向．
一般以v0的方向为正方向，若为匀加速直线运动，a＞0；若为匀减速直线运动，a＜0.若vt＞0，说明vt与v0方向相同，若vt＜0，说明vt与v0方向相反．
3．两种特殊情况：
(1)当v0＝0时，vt＝at.
即由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比．
(2)当a＝0时，vt＝v0.
即加速度为零的运动是匀速直线运动．
【典例精析】
例2.（2019·成都高一检测）以18 m/s的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度大小为 6 m/s2。求：
(1)汽车在刹车2 s末的速度；
(2)汽车在刹车6 s末的速度。
答案：(1)6 m/s　(2)0
解析：汽车做匀减速直线运动，从减速到静止的时间t＝，解得：t＝3 s
即2 s末时物体仍在做匀减速运动，则
v2＝v0＋at2，v2＝6 m/s
因为3 s末已经停止下来了，所以6 s末速度为0。
总结提升：求解汽车刹车问题时应注意的问题
汽车刹车、飞机着陆、火车进站等实际减速运动，由于它们在速度减小为零后不再返回，此后它们就一直停留在某位置不动，故计算它们的速度时切不可盲目将所给时间代入速度公式。若所给时间小于刹车用时，则可将所给时间代入速度公式求解，若所给时间大于或等于刹车用时，则它们在所给时间速度为零。
【变式训练】2015年庆祝世界反法西斯战争胜利70周年之际，某隐身战机在某机场进行了首次热身飞行表演。设该战机的速度达到98 m/s时即可升空，假定战机从静止开始以3.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则该战机从开动到起飞需滑行多长时间？
答案：28 s
解析：战机做初速度为零的匀加速直线运动，战机的初速度v0＝0，末速度v＝98 m/s，加速度a＝3.5 m/s2。由速度与时间的关系式v＝v0＋at得战机从开动到起飞滑行的时间为t＝＝ s＝28 s。
三、匀变速直线运动的v－t图像
1.公式vt＝v0＋at表示了匀变速直线运动速度vt是时间t的一次函数，对应的v－t图像是一条斜线，其斜率表示了加速度的大小和方向．
(1)匀加速直线运动：Δv>0，a＝>0，a与v0同向，如图1甲所示．
(2)匀减速直线运动：Δv<0，a＝<0，a与v0反向，如图乙所示．
(3)v－t图象是一条倾斜的直线．
2．几种常见的匀变速直线运动的v－t图象(如图所示)
(1)直线a反映了速度随时间是均匀增加的，为匀加速直线运动．
(2)直线b反映了速度随时间是均匀减小的，为匀减速直线运动．
(3)直线c反映了速度随着时间先均匀减小，后均匀增加，一段在t轴上方，另一段在t轴下方，但仍是直线，只是说明运动方向发生了改变，但加速度是恒定的，全过程可以看成统一的匀变速直线运动图像
3．v－t图像的应用
(1)图线上的一个点表示某一时刻的速度，正负表示速度的方向(即物体运动的方向)．
(2)图线的斜率表示加速度，斜率的正负表示加速度的方向，斜率为正表示加速度方向与选定的正方向相同，斜率为负表示加速度方向与选定的正方向相反．
(3)图线的拐点表示运动性质改变的时刻．
(4)图线与横轴所围图形的面积表示位移(下一节)．
4.匀变速直线运动的v－t图像是一条曲线，如图所示．
甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt内Δv2<Δv1，加速度减小．即v－t图像为曲线时，物体的加速度是变化的，曲线上某点的切线斜率等于该时刻物体的加速度．
注意（1）不能从斜率正负说明质点做加速运动或减速运动．
（2）图线只能只能表示直线运动
（3）图线不表示运动轨迹
【典例精析】
例2.A、B是做匀变速直线运动的两个物体的速度图象，如图所示．
(1)A、B各做什么运动并求其加速度；
(2)两图象交点的意义；
(3)求1 s末A、B的速度；
(4)求6 s末A、B的速度．
答案：见解析
解析：(1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度大小为a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，方向与初速度方向相同；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，加速度为a2＝ m/s2＝－2 m/s2，负号表示加速度方向与初速度方向相反．
(2)两图象交点表示在该时刻A、B速度相同．
(3)1 s末A物体的速度为3 m/s，和初速度方向相同；B物体的速度为6 m/s，和初速度方向相同．
(4)6 s末A物体的速度为8 m/s，和初速度方向相同；B物体的速度为－4 m/s，和初速度方向相反．
【变式训练】如图所示是某物体做直线运动的v－t图象，由图象可知(　　)
图6
A．物体在0～2 s内做匀速直线运动
B．物体在2 s～8 s内静止
C．物体在4 s末的速度为10 m/s
D．物体在6 s末的速度为12 m/s
答案：D
解析：物体在0～2 s内速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动，故A错误；物体在2 s～8 s内速度随时间不变，做匀速直线运动，故B错误．从图象知，物体在4 s末的速度为12 m/s，在6 s末的速度为12 m/s，故C错误，D正确．
【自我检测】
1．（ 辽宁省凤城一中月考测试）关于匀变速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．加速度大的物体其运动速度一定大
B．加速度小的物体其运动速度一定小
C．匀加速直线运动中，物体的加速度方向与速度方向相同
D．加速度的方向就是初速度的方向
答案：C
解析：加速度是反映速度变化快慢的物理量，与速度的大小无关，加速度大，速度不一定大，故A、B错误．匀加速直线运动中，加速度的方向与速度方向相同，故C正确．加速度的方向可能与速度方向相同，可能与速度方向相反，故D错误．
2．（多选） 关于匀变速直线运动中加速度的正负，下列说法中正确的是(　　)
A．匀加速直线运动中，加速度一定是正值
B．匀减速直线运动中，加速度一定是负值
C．在匀加速直线运动中，加速度也有可能取负值
D．只有在规定了初速度方向为正方向的前提下，匀加速直线运动的加速度才取正值
答案：CD
解析：加速度的正负取决于正方向的选取，加速度方向与规定的正方向相同时加速度为正值，反之为负值，所以无论是匀加速运动还是匀减速运动，加速度都有可能是正值，也有可能是负值；选项A、B错误，C正确；当规定初速度方向为正方向时，匀加速直线运动中的加速度与速度方向相同，故取正值．所以，选项D正确．
3．（河南省洛阳市第一高级中学测试）物体某时刻的速度v＝10 m/s，加速度a＝－2 m/s2，它表示(　　)
A．物体的加速度方向与速度方向相同，而且速度在减小
B．物体的加速度方向与速度方向相同，而且速度在增大
C．物体的加速度方向与速度方向相反，而且速度在减小
D．物体的加速度方向与速度方向相反，而且速度在增大
答案：C
解析：加速度a＝－2 m/s2，它表示速度与加速度方向相反，做匀减速运动，C正确．
4．（天津市静海四校联考）物体由静止开始以1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此物体(　　)
A．第一秒内通过的位移是1 m B．第一秒末的速度是1 m/s
C．第一秒初的速度是1 m/s D．第一秒内的平均速度是1 m/s
答案：B
解析：第一秒内通过的位移x＝at2＝×1×1 m＝0.5 m，故A错误．第一秒末的速度v＝at＝1×1 m/s＝1 m/s，故B正确．第一秒初的速度为0，故C错误．第一秒内的平均速度＝＝0.5 m/s，故D错误．
5．（多选）（江西省南昌市第二中学质量检测）物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度是6 m/s，第2 s末的速度是8 m/s，则下面结论正确的是(　　)
A．物体零时刻的速度是3 m/s
B．物体的加速度是2 m/s2
C．任何1 s内的速度变化都是2 m/s
D．第1 s内的平均速度是6 m/s
答案：BC
解析：物体做匀加速直线运动，由已知可求出a＝2 m/s2，则初速度为4 m/s；第1 s内的平均速度应小于6 m/s.
6．（ 北京市丰台二中测试）一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5 s时间，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为(　　)
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
答案：D
解析：根据v＝v0＋at，得v0＝v－at＝15 m/s－2×5 m/s＝5 m/s，D正确．
7．(多选)（ 江西省宜春市益丰中学月考）甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v t图象如图所示，下列判断正确的是(　　)
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．两物体两次速度相同的时刻分别是1 s末和4 s末
C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
答案：BC
解析：由v t图象知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，A错误，C正确；t＝1 s和t＝4 s时二者速度相同，B正确；0～6 s内甲、乙的速度方向都沿正方向，D错误。
8．(多选)（宁夏六盘山市高级中学联考）物体的速度随时间变化的关系为v＝5－2t，则下列说法正确的是(　　)
A．物体的初速度为5 m/s
B．物体做匀加速直线运动
C．物体每秒的速度变化量为－2 m/s
D．经过3 s物体的速度为零
答案：AC
解析：由速度公式v＝v0＋at可知，物体的初速度为5 m/s，加速度为－2 m/s2，A正确；由于加速度方向与初速度方向相反，所以物体做匀减速运动，B错误；物体每秒的速度变化量为－2 m/s，C正确；根据速度公式可以计算出经过3 s物体的速度为－1 m/s，负号表示方向与初速度方向相反，D错误。
9．(多选)（陕西省榆林市第二中学期中测试）一物体做匀变速直线运动，初速度为2 m/s，加速度大小为1 m/s2，则经1 s后，其末速度大小(　　)
A．可能为3 m/s B．一定为1 m/s
C．可能为1 m/s D．不可能为1 m/s
答案：AC
解析　若加速度为1 m/s2由a＝可得：1＝，解得v＝3 m/s，若加速度为－1 m/s2由a＝，可得－1＝，解得v＝1 m/s。
10．（2019·湖南衡阳八中模拟）在光滑足够长的斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，如果物体的加速度始终为5 m/s2，方向沿斜面向下。那么经过3 s后的速度大小和方向是(　　)
A．25 m/s，沿斜面向上 B．5 m/s，沿斜面向下
C．5 m/s，沿斜面向上 D．25 m/s，沿斜面向下
答案：B
解析：物体向上运动速度减小为零所用时间为t1，由v0＝at1，得t1＝＝2 s，此后物体沿光滑斜面向下加速，1 s后速度大小为v＝5 m/s，方向沿斜面向下，故B正确。
11.（多选）（云南省昭通市第一中学月考）物体从A点开始计时，沿水平直线移动，取向右的方向为运动的正方向，其v－t图象如图1所示，则物体在最初的4 s内是(　　)
A．前2 s内物体做匀减速直线运动
B．前2 s内物体向左运动，后2 s内物体向右运动
C．t＝4 s时刻，物体与A点距离最远
D．t＝4 s时刻，物体又回到A点
答案：ABD
解析：由题图可知，物体前2 s内向左做匀减速直线运动，后2 s内向右做匀加速直线运动，4 s末物体回到出发点A，故A、B、D正确，C错误．
12.（ 四川省三台中学质量检测）如图所示为一物体做直线运动的v－t图象，用v1、a1表示物体在0～t1时间内的速度和加速度，v2、a2表示物体在t1～t2时间内的速度和加速度，则由图可知(　　)
A．v1与v2方向相同，a1与a2方向相同，a1>a2
B．v1与v2方向相同，a1与a2方向相反，a1C．v1与v2方向相反，a1与a2方向相同，a1>a2
D．v1与v2方向相反，a1与a2方向相反，a1答案：B
解析：0～t1时间内速度方向沿正方向，加速度(图象斜率)为正，t1～t2时间内速度方向沿正方向，加速度为负，即沿负方向，从图象的斜率大小可判断a113． 滑雪运动员不借助雪杖，以加速度a1由静止从山坡顶匀加速滑下，测得其20 s后的速度为20 m/s,50 s后到达坡底，又以加速度a2沿水平面减速20 s后停止。求：
(1)a1和a2的大小；
(2)滑雪运动员到达坡底后再经过6 s的速度大小。
答案：(1)a1＝1 m/s2　a2＝2.5 m/s2　(2)35 m/s
解析：(1)运动员下滑过程中的加速度大小
a1＝＝ m/s2＝1 m/s2
到达坡底时的速度大小v2＝a1t2＝1×50 m/s＝50 m/s
在水平面上的加速度
a2＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2
即a2的大小为2.5 m/s2。
(2)到达坡底后再经过6 s的速度大小为
v3＝v2＋a2t4＝50 m/s－2.5×6 m/s＝35 m/s。

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