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第二节 探究弹力与弹簧伸长的关系
1．实验目的
(1)探究弹簧弹力与弹簧伸长的关系。
(2)学会用列表法、图象法、函数法处理实验数据。
2．实验原理
弹簧上的弹力与使它发生形变的外力在数值上是相等的，用悬挂法测量弹簧的弹力时，当弹簧下端悬挂的钩码静止时，弹力大小与挂在弹簧下面的钩码的重力相等；弹簧的原长与挂上钩码后弹簧的长度可以用刻度尺测出，其伸长量可以用弹簧的长度减去原长来求得，这样就可以定量研究弹力与弹簧伸长之间的关系了。
3．实验器材
铁架台、弹簧、毫米刻度尺、钩码若干、坐标纸。
4．实验步骤
（1）将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度l0，即原长．
（2）如图所示，在弹簧下端挂质量为m1的钩码，测出此时弹簧的长度l1，记录m1和l1.
（3）改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录m2、m3、m4、m5、……和相应的弹簧长度l2、l3、l4、l5、…….
（4）计算出每次弹簧的伸长量x(x＝l－l0)和弹簧受到的拉力F(F＝mg)，并将数据填入表格.
1 2 3 4 5 6 7
F/N 0
l/cm
x/cm 0
5．数据处理
(1)用公式x＝L－L0计算出弹簧各次的伸长量，填入上表。
(2)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图。连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线。
(3)以弹簧伸长量为自变量，写出曲线所代表的函数。首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数。
(4)得出弹力和弹簧伸长量之间的函数关系，研究并解释函数表达式中常数的物理意义。
6．误差分析
(1)系统误差：钩码标值不准确和弹簧自身重力的影响造成系统误差。
（2）偶然误差
①弹簧长度的测量造成偶然误差，为了减小这种误差，要尽量多测几组数据。
②作图时的不规范造成偶然误差，为了减小这种误差，画图时要用细铅笔作图，所描各点尽量均匀分布在直线的两侧。
7．注意事项
(1)所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度。
(2)每次所挂钩码的质量差尽量大一些，从而使在坐标纸上描的点尽可能稀一些，这样作出的图线精确。
(3)测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于平衡状态时测量，刻度尺要保持竖直并靠近弹簧，以免增大误差。
(4)描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布在直线的两侧。
(5)记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。
【典例精析】
例1、某同学探究弹力与弹簧伸长量的关系．
(1)将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧．弹簧轴线和刻度尺都应在________方向(填“水平”或“竖直”)．
(2)弹簧自然悬挂，待弹簧________时，长度记为L0；弹簧下端挂上砝码盘时，长度记为Lx；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为L1至L6.数据如下表.
代表符号 L0 Lx L1 L2 L3 L4 L5 L6
数值(cm) 25.35 27.35 29.35 31.30 33.4 35.35 37.40 39.30
表中有一个数值记录不规范，代表符号为_____．由表可知所用刻度尺的最小分度为______．
(3)图是该同学根据表中数据作的图，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与_______的差值(填“L0”或“Lx”)．
图3
(4)由图可知弹簧的劲度系数为________N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________g．(结果保留两位有效数字，重力加速度g取9.8 N/kg)
答案：(1)竖直　(2)稳定　L3　1 mm (3)Lx　(4)4.9　10
解析：(1)为保证弹簧的形变只由砝码和砝码盘的重力产生，所以弹簧轴线和刻度尺均应在竖直方向．
(2)弹簧静止稳定时，记录原长L0；表中的数据L3与其他数据有效位数不同，所以数据L3不规范，标准数据应读至cm位的后两位，最后一位应为估读值，精确至0.1mm，所以刻度尺的最小分度为1 mm.
(3)由题图知所挂砝码质量为0时，x为0，所以x＝L－Lx(L为弹簧长度)．
(4)由胡克定律F＝kΔx知，mg＝k(L－Lx)，即mg＝kx，所以图线斜率即为弹簧的劲度系数
k＝＝ N/m＝4.9 N/m
同理，砝码盘质量
m＝＝ kg
＝0.01 kg＝10 g.
【变式训练】(1)在“探究弹力与弹簧伸长量的关系”实验中，以下说法正确的是(　　)
A．弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度
B．用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态
C．用刻度尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量
D．用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出拉力与伸长量之比相等
(2)某同学做“探究弹力与弹簧伸长量的关系”的实验，他先把弹簧平放在桌面上使其自然伸长，用直尺测出弹簧的原长L0，再把弹簧竖直悬挂起来，挂上钩码后测出弹簧伸长后的长度L，把L－L0作为弹簧的伸长量x.这样操作，由于弹簧自身重力的影响，最后画出的图线可能是(　　)
答案：(1)AB　(2)C
解析：(1)本实验中应以需要研究的一根弹簧为实验对象，在弹性限度内通过增减钩码的数目，以改变对弹簧的拉力，实验时弹簧要处于竖直位置，故A、B正确；弹簧的伸长量为弹簧拉长后的长度与原长的差，故C错误；对于不同的弹簧，其所受拉力与伸长量之比是不同的，故D错误．
(2)由于考虑弹簧自身重力的影响，当不挂钩码时，弹簧的伸长量x>0，所以选C.
【自我检测】
1.一个实验小组在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力F与弹簧长度l的图像如图所示。下列表述正确的是(　　 )
A．a的原长比b的长
B．a的劲度系数比b的大
C．a的劲度系数比b的小
D．测得的弹力与弹簧的长度成正比
答案：B
解析：图像的横轴截距表示弹簧的原长，A错误；图像的斜率表示弹簧的劲度系数，B正确，C错误；图像不过原点，D错误。
2．(多选)在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，以下说法正确的是(　　 )
A．弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度
B．用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态
C．用直尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量
D．用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出拉力与伸长量之比相等
答案：AB
解析：实验中应以所研究的一根弹簧为实验对象，在弹性限度内通过增减钩码的数目来改变对弹簧的拉力，以探究弹力和弹簧伸长量的关系，并且拉力和重力平衡，所以选A、B。
3．某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验，他先把弹簧平放在桌面上使其自然伸长，用直尺测出弹簧的原长L0，再把弹簧竖直悬挂起来，挂上钩码后测出弹簧伸长后的长度L，把L－L0作为弹簧的伸长量x，这样操作，由于弹簧自身重力的影响，最后画出的图线可能是下列选项中的(　　 )
答案：C
解析：由于考虑弹簧自身重力的影响，当不挂钩码时，弹簧的伸长量x>0，所以选C。
4.为了探究弹力F与弹簧伸长量x的关系，李强同学选了甲、乙两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图3所示的图象，从图象上看，该同学没能完全按实验要求做，使图象上端成为曲线，图象上端成为曲线是因为________________．甲、乙两根弹簧的劲度系数分别为：__________N/m、________N/m.若要制作一个精确度较
高的弹簧测力计，应选弹簧________(填“甲”或“乙”)．
答案：超过了弹簧的弹性限度　66.7　200　甲
解析：超出弹性限度，弹力与伸长量就不成正比了．根据胡克定律知劲度系数k＝，分别计算得：甲弹簧的劲度系数为66.7 N/m，乙为200 N/m.要制作一个精确度较高的弹簧测力计，则应选劲度系数小的弹簧，即弹簧甲．
5．(多选)如下图所示是探究某根弹簧的弹力F与弹簧伸长量x之间关系的相关图象。下列说法中正确的是(　　)
A．弹簧的劲度系数是2 N/m
B．弹簧的劲度系数是2×103 N/m
C．当弹簧弹力F2＝800 N时，弹簧的伸长量x2＝40 cm
D．当弹簧的伸长量x1＝20 cm时，弹簧产生的弹力F1＝200 N
答案:BC
解析；弹簧的劲度系数为k＝ N/m＝2×103 N/m，选项A错误，B正确；根据胡克定律F＝kx得，x2＝＝ m＝0.4 m＝40 cm，选项C正确；当弹簧伸长量x1＝20 cm时，弹簧产生的拉力F1＝kx1＝2×103×20×10－2 N＝400 N，选项D错误。
6．在“探究弹力和弹簧伸长量的关系，并测定弹簧的劲度系数”的实验中，实验装置如图6所示．所挂钩码的重力相当于对弹簧提供了向右的恒定拉力．实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度．
(1)有一个同学通过以上实验测量后把6组数据描点在坐标系图7中，请作出F－L图线．
图7
(2)由此图线可得出该弹簧的原长L0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m.
(3)试根据该同学以上的实验情况，帮助他设计一个记录实验数据的表格(不必填写其实验测得的具体数据)．
(4)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，
优点在于：__________________________________.
缺点在于：___________________________.
答案：(1)见解析图　(2)5　20　(3)、(4)见解析
解析:(1)F－L图线如图所示：
(2)弹簧的原长L0即弹力为零时弹簧的长度，由图象可知，L0＝5×10－2 m＝5 cm.
劲度系数为图象直线部分的斜率，k＝20 N/m.
(3)记录数据的表格如下表
次数 1 2 3 4 5 6
弹力F/N
弹簧的长
度L/(×10－2 m)
(4)优点是：可以避免弹簧自身重力对实验的影响．
缺点是：弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦会造成实验误差．
7．(2015·四川高考)某同学在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，安装好实验装置，让刻度尺零刻度与弹簧上端平齐，在弹簧下端挂1个钩码，静止时弹簧长度为l1，如图1所示，图2是此时固定在弹簧挂钩上的指针在刻度尺(最小分度是1毫米)上位置的放大图，示数l1＝________cm。在弹簧下端分别挂2个、3个、4个、5个相同钩码，静止时弹簧长度分别是l2、l3、l4、l5。已知每个钩码质量是50 g，挂2个钩码时，弹簧弹力F2＝________N(当地重力加速度g＝9.8 m/s2)。要得到弹簧伸长量x，还需要测量的是______。作出F x曲线，得到弹力与弹簧伸长量的关系。
答案：25.85　0.98　弹簧原长
解析：由题图2知l1＝25.85 cm。挂两个钩码时，弹簧弹力F＝0.98 N。要测弹簧伸长量，还需要测量弹簧的原长。
8．(2015·福建高考)某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验。
(1)图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为7.73 cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量Δl为________ cm；
(2)本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项中规范的做法是________；(填选项前的字母)
A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
(3)图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是_________________________。
答案：(1)6.93　(2)A(3)弹簧受到的拉力超过了其弹性限
解析：(1)弹簧伸长后的总长度为14.66 cm，则伸长量Δl＝14.66 cm－7.73 cm＝6.93 cm。
(2)逐一增挂钩码，便于有规律地描点作图，也可避免因随意增加钩码过多超过弹簧的弹性限度而损坏弹簧。
(3)AB段明显偏离OA，伸长量Δl不再与弹力F成正比，是超出弹簧的弹性限度造成的。
9.(2014·全国卷Ⅱ)某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系。实验装置如图(a)所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度。设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x。测量结果及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80 m/s2)。已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm。
P1 P2 P3 P4 P5 P6
x0(cm) 2.04 4.06 6.06 8.05 10.03 12.01
x(cm) 2.64 5.26 7.81 10.30 12.93 15.41
n 10 20 30 40 50 60
k(N/m) 163 ① 56.0 43.6 33.8 28.8
(m/N) 0.006 1 ② 0.017 9 0.022 9 0029 6 0.034 7
(1)将表中数据补充完整：①________，②________。
(2)以n为横坐标，为纵坐标，在图(b)给出的坐标纸上画出 n图像。
(b)
(3)图(b)中画出的直线可近似认为通过原点。若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k＝________N/m；该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系的表达式为k＝________N/m。
答案：(1)①81.7　②0.012 2
(2) n图像见解析图
(3)
解析：(1)根据胡克定律有mg＝k(x－x0)，
解得k＝＝ N/m≈81.7 N/m，≈0.012 2。
(2) n图像如图所示。
(3)根据图像可知，k与n的关系表达式为k＝，k与l0的关系表达式为k＝。
10．为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码．实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图4上标出．(重力加速度取g＝9.8 N/kg)
(1)在图中作出m－l的关系图线．
图4
(2)弹簧的劲度系数为________ N/m.
答案：(1)如图所示
(2)0.261(0.259～0.263均可)
解析　(1)根据所描的点画直线即可．
(2)在直线上取相距较远的两点，横轴之差Δl为弹簧长度的变化量，纵轴之差Δm为砝码质量的变化量，则k＝＝≈0.261(0.259～0.263) N/m.

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