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第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、匀速直线运动的位移
1.做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt。
2．做匀速直线运动的物体，其v t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积。如图所示。
1．当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同．
2．当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反．
二、匀变速直线运动的位移
1．微分与极限思想的应用
在匀变速直线运动中，由加速度的定义易得速度的变化量Δv＝a·Δt，只要时间足够短，速度的变化量就非常小，在非常短的时间内，我们就可以用熟悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变速直线运动的位移。
如图所示，甲图中与Δt对应的每个小矩形的面积就可以看做Δt时间内的位移。如果把每一小段Δt内的运动看做匀速直线运动，则各小矩形面积之和等于各段Δt时间内做匀速直线运动的位移之和。时间Δt越短，速度变化量Δv就越小，我们这样计算的误差也就越小。当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v t图象与时间轴所围成的面积。
由梯形面积公式得x＝
在任何运动中都有x＝·t
因此＝(适用匀变速直线运动)
把v＝v0＋at代入x＝
得x＝v0t＋at2
2．公式的矢量性
公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向，若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值。若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同。若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反。
3．公式的适用条件
公式适用于匀变速直线运动。
4．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
【典例精析】
例1.（2019·合肥高一检测）一物体做匀加速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求：
(1)物体在3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小。
答案:(1)17.25 m　(2)6.25 m
解析：(1)用位移公式求解，3 s内物体的位移：
x3＝v0t3＋at＝5×3 m＋×0.5×32 m＝17.25 m。
(2)同理2 s内物体的位移：
x2＝v0t2＋at＝5×2 m＋×0.5×22 m＝11 m
因此，第3 s内的位移
x＝x3－x2＝17.25 m－11 m＝6.25 m。
【变式训练】某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为(　　)
A．1.25 s B．2.5 s C．3 s D．6 s
答案：A
解析：由x＝0.5t＋t2知，v0＝0.5 m/s ,a＝2 m/s2，再由速度公式vt＝v0＋at知，t＝1.25 s，选项A正确．
三．位移—时间图象
(1)匀速直线运动的x t图象如图甲所示是一条倾斜的直线。
(2)匀变速直线运动的x t图象：v0＝0时如图乙。
2．对x t图象的几点说明
位移大小 初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向 初、末位置的纵坐标差的符号，正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方向
速度大小 斜率的绝对值
方向 斜率的符号，斜率为正值，表示物体向正方向运动；斜率为负值，表示物体向负方向运动
起始位置 图线起点纵坐标
运动开始时刻 图线起点横坐标
两图线交点含义 表示两物体在同一位置(相遇)
注意：(1)位移—时间图象不是物体的运动轨迹。
(2)位移—时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动。
【典例精析】
例2(多选)如图是甲、乙两个物体在同一直线上运动时的位移—时间图象，由图象可知(　　)
A．乙开始运动时，两物体相距20 m
B．在0～10 s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大
C．在10～25 s这段时间内，两物体间的距离逐渐减小
D．两物体在10 s时相距最远，在25 s时相遇
答案：BCD
解析：由图象可知，开始计时时，甲、乙相距20 m，乙在10 s时开始运动，此时两物体间的距离已超过20 m，A错误。在0～10 s这段时间内，两物体纵坐标的差值逐渐增大，说明两物体间的距离逐渐增大，B正确；在10～25 s这段时间内，两物体纵坐标的差值越来越小，说明两物体间的距离逐渐减小，C正确；由以上分析知两物体在10 s时相距最远，在25 s时，两图线相交，两物体纵坐标相等，说明它们到达同一位置，即相遇。D正确。
四、匀变速直线运动的速度与位移关系式
1．推导：物体以加速度a做匀变速直线运动时，设其初速度为v0，末速度为v，则由
速度公式：v＝v0＋at
位移公式：x＝v0t＋at2.
消去时间t得位移与速度的关系式为v2－v＝2ax.
2．匀变速直线运动的位移速度公式：v2－v＝2ax，此式是矢量式，应用解题时一定要先选定正方向，并注意各量的符号．
若v0方向为正方向，则：
(1)物体做加速运动时，加速度a取正值；做减速运动时，加速度a取负值．
(2)位移x>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，x<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反．
3．公式特点：该公式不涉及时间．
4．两种特殊情况
(1)当v0＝0时，v2＝2ax.（物体做初速度为零的匀加速直线运动，如自由下落问题(下面要学习）
(2)当v＝0时，－v＝2ax.（物体做匀减速直线运动直到静止，如刹车问题）
【典例精析】
例3（2019·云浮高一检测）已知长为L的光滑斜面，物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加速度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速度的时，它沿斜面已下滑的距离是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案：B
解答：若物体到达底端时的速度为v，对于整个下滑过程有v2－0＝2aL，若当物体速度为时，下滑的距离为L′，则有2－0＝2aL′，由以上两式可得，L′＝，B正确。
【变式训练】A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于(　　)
A．1∶8　　　B．1∶6　　　C．1∶5　　　D．1∶3
答案：A
解析：由公式v2－v＝2ax，得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，联立两式可得xAB∶xBC＝1∶8.
刹车问题分析
【典例精析】
例4.一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
答案：(1)30 m　(2)40 m
解析：汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22) m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42) m＝40 m.
逆向思维法解题
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看做逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动．
【典例精析】
例5.物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为(　　)
A．5.5 m/s B．5 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
答案:D
解析:物体减速时间t0＝＝10 s
该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a′＝1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移相等．由x＝a′t2＝×1×12 m＝0.5 m，故物体停止运动前1 s内的平均速度＝＝0.5 m/s，选项D正确．
【自我检测】
1．（2019年福建省漳平市二中测试）根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2和x＝t，关于做匀加速直线运动的物体在t秒内的位移，下列说法正确的是(　　)
A．加速度大的物体位移大 B．初速度大的物体位移大
C．末速度大的物体位移大 D．平均速度大的物体位移大
答案:D
解析:由x＝t知，t一定时平均速度大的物体位移大，选项D正确．
2．（2019年北京市通州区联考）一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为(　　)
A. B. C．2t D．4t
答案:C
解析:由x＝at2和4x＝at′2得：t′＝2t，故C对．
3．(多选)（2019年河北省承德市三中测试）某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，设质点的初速度为v0，加速度为a，下列说法正确的是(　　)
A．v0＝4 m/s，a＝4 m/s2 B．v0＝4 m/s，a＝8 m/s2
C．2 s内的位移为24 m D．2 s末的速度为24 m/s
答案：BC
解析：将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋at2相对照即可判定v0＝4 m/s，a＝8 m/s2，选项A错误，B正确；把t＝2 s代入公式可得x＝24 m，选项C正确；由于v＝v0＋at，代入数据可得2 s末的速度v＝20 m/s，选项D错误。
4．（2109年河北省邢台八中测试）两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为(　　)
A．1∶2　　 　B．1∶4　　　 C．1∶　 　　D．2∶1
答案　B
解析　由0－v＝2ax得＝，故＝()2＝，B正确．
5．（2019年山西省运城市应景中学期末测试）一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为(　　)
A．1∶1 B．3∶4 C．3∶1 D．4∶3
答案:B
解析:汽车的刹车时间t0＝ s＝4 s，故刹车后2 s及6 s内汽车的位移大小分别为
x1＝v0t1＋at＝20×2 m＋×(－5)×22 m＝30 m，
x2＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m，
x1∶x2＝3∶4，B正确．
6．（多选） 物体先做初速度为零的匀加速运动，加速度大小为a1，当速度达到v时，改为以大小为a2的加速度做匀减速运动，直至速度为零．在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为x1、t1和x2、t2，下列各式成立的是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案：AC
解析：在加速运动阶段v2＝2a1x1，v＝a1t1；在减速运动阶段0－v2＝2(－a2)x2,0－v＝－a2t2.由以上几式可得＝，＝，进一步可得＝，选项A、C正确．
7．(多选)（2019年山西省朔州市怀仁一中测试）下列所给的图象中能反映做直线运动的物体回到初始位置的是(　　)
答案：ACD
解析：由图A可知，物体开始和结束时的纵坐标为0，说明物体又回到了初始位置，A正确；由图B可知，物体一直沿正方向运动，位移增大，故无法回到初始位置，B错误；由图C知，物体第1 s内的位移沿正方向，大小为2 m，第2 s内的位移沿负方向，大小为2 m，故2 s末物体回到初始位置，C正确；由图D知，物体做匀变速直线运动，2 s末时物体的总位移为零，故物体回到初始位置，D正确。
8．(多选)（2019年湖北省黄石市六中质量检测）物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则(　　)
A．第3 s内的平均速度大小是3 m/s
B．物体的加速度大小是1.2 m/s2
C．前3 s内的位移大小是6 m
D．第3 s末的速度大小是3.6 m/s
答案：ABD
解析：前2 s内的位移大小为x1＝at，前3 s内的位移大小为x2＝at，则第3 s内的位移大小为x3＝x2－x1＝at－at，可得加速度大小为a＝1.2 m/s2，则前3 s内的位移大小为x2＝at＝5.4 m；第3 s末的速度大小是v3＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，第3 s内的平均速度大小是＝＝＝3 m/s，故ABD正确，C错误。
9. (多选)（2019年湖南张家界民族中学测试）如图所示是汽车与自行车在同一直线上、从同一地点同向运动、同时计时而作的v t图象，由图象可知(　　)
A．在2 s时二者速度相同
B．在4 s时二者速度相同
C．在2 s时二者相遇
D．在4 s时二者相遇
答案　AD
解析　由图象可知，自行车做匀速直线运动，速度为v1＝6 m/s，汽车做初速度等于零的匀加速直线运动，a＝3 m/s2，交点表示t＝2 s时，二者速度都是6 m/s，A正确，B错误；位移可由图线与坐标轴所围的面积求得，据此可知，t＝4 s时两者面积相同，C错误，D正确。
10． 一辆长途客车正在以v＝20 m/s的速度匀速行驶，突然，司机看见车的正前方x＝45 m处有一只小狗(图甲)，司机立即采取制动措施。从司机看见小狗到长途客车开始做匀减速直线运动的时间间隔Δt＝0.5 s。若从司机看见小狗开始计时(t＝0)，该长途客车的v t图象如图乙所示。求：
(1)长途客车在Δt时间内前进的距离；
(2)长途客车从司机发现小狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
(3)根据你的计算结果，判断小狗是否安全。如果安全，请说明你判断的依据；如果不安全，有哪些方式可以使小狗安全。
答案：(1)10 m　(2)50 m　(3)见解析
解析：(1)长途客车在司机的反应时间内前进的距离
x1＝v·Δt＝10 m。
(2)长途客车从司机发现小狗至停止的时间内前进的距离x2＝x1＋＝50 m。
(3)因为x2>x，所以小狗不安全。
若要小狗不发生危险，可以采用如下的一些方式：
①小狗沿车的前进方向在4.5 s内跑出5 m以上的距离。
②小狗沿垂直运动的方向在4.5 s内跑出的距离超过车的宽度。
11．（2019年江苏省宿迁市马陵中学测试）如图所示，一冰壶以速度v垂直边线进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t，试通过所学知识计算冰壶通过第四个矩形区域所需的时间。
答案：t
解析：解法一(常规法)：根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式，由A到E有4l＝vt1－at，0＝v－at1；由A到D有3l＝vt－at2
联立解得t1＝2t或t1＝t，显然t不符合实际，应舍去。
故冰壶通过第四个矩形区域所需的时间为t′＝t1－t＝t。
解法二(逆向思维法)：将冰壶通过矩形区域的匀减速运动，认为是从E点开始的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式，由E到A有4l＝at，由E到D有l＝a(t1－t)2，联立解得t1＝2t，故冰壶通过第四个矩形区域所需的时间为t′＝t1－t＝t。
12．（2019年山东菏泽市期中考试）在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？
答案:105 m
解析:汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s
运动过程如图所示
在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m
刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为
t2＝ s＝6 s
汽车刹车后滑行的位移为
x2＝v0t2＋at＝30×6 m＋×(－5)×62 m＝90 m
所以行驶时的安全车距至少应为
x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m.

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