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习题课一匀变速直线运动的几个规律
一、匀变速直线运动的规律一---中间时刻的瞬时速度与平均速度
1．平均速度
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半。
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v。
由x＝v0t＋at2得，①
平均速度＝＝v0＋at②
由速度公式v＝v0＋at知，
当t′＝时，v＝v0＋a③
由②③得＝v④
又v＝v＋a⑤
联立以上各式解得v＝，所以＝v＝。
2．中间时刻的瞬时速度(v)与位移中点的瞬时速度(v)的比较
在v t图象中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v>v；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v>v。
当物体做匀变速直线运动时，v>v。
3.匀变速直线运动的规律
（1）中间时刻的瞬时速度v＝.
（2）中间位置的瞬时速度v＝ .
（3）平均速度公式总结：
＝，适用条件：任意运动．
＝，适用条件：匀变速直线运动．
＝v，适用条件：匀变速直线运动．
注意：（1）对匀变速直线运动有＝v＝.
（2）匀变速直线运动中间时刻速度公式v＝.是矢量式，要带入正负号
【典例精析】
例1光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是(　　)
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
答案：B
解析：全程的平均速度v＝＝，A正确；时，物体的速度等于全程的平均速度，B错误；若末速度为v，则＝，v＝，中间位置的速度v＝＝＝，C正确；设物体加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确，B错误。
【变式训练】从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，总共历时20 s，行进了50 m，求汽车的最大速度。
答案：5 m/s
解析：解法一(平均速度法)：由于汽车在前后两段均做匀变速直线运动，故前后段的平均速度均为最大速度vmax的一半，
即＝＝，由x＝t得vmax＝＝5 m/s。
解法二(图象法)：作出运动全过程的v t图象，如图所示，v t图象与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故x＝，则vmax＝＝＝ m/s＝5 m/s。
二、匀变速直线运动的规律二---Δx＝aT2的推导及应用
匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移差是个恒量，即Δx＝aT2。
证明：如图，
x1＝v0T＋aT2，x2＝v02T＋a(2T)2－v0T－aT2＝v0T＋aT2
Δx＝x2－x1＝aT2。
1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝aT2.
2．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝……＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度：利用连续相等时间段内的位移差Δx，可求得a＝.
“逐差法”的由来
在研究匀变速直线运动的实验中，其实验目的之一是使用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度，实验原理是：设物体做匀加速直线运动，加速度是a，在各个连续相等时间间隔T内的位移分别是x1、x2…x6，如图甲所示，
使用公式Δx＝aT2可得：
x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2
同理：x5－x2＝x6－x3＝3aT2
由测得的各段位移x1、x2、…、x6可求出：
a1＝
a2＝
a3＝
所以a1、a2、a3的平均值：
＝＝
这就是我们所需要测定的匀变速直线运动的加速度。
说明：(1)只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用此推论式来处理问题。
(2)推论式xⅡ－xⅠ＝aT2常在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据打出的纸带求物体的加速度。
【典例精析】
例2有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度大小。
答案：1 m/s　2.5 m/s2
解析：(1)常规解法：如图所示，物体从A到B再到C各用时4 s，AB＝24 m，BC＝64 m。设物体的加速度为a，由位移公式得：x1＝vAT＋aT2
x2＝－
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入两式求得
vA＝1 m/s，a＝2.5 m/s2。
(2)用平均速度求解：1＝＝ m/s＝6 m/s，
2＝＝ m/s＝16 m/s。
又2＝1＋aT，即16＝6＋a×4，
解得a＝2.5 m/s2，
再由x1＝vAT＋aT2，求得vA＝1 m/s。
(3)用推论公式求解：由x2－x1＝aT2得64－24＝a·42，
所以a＝2.5 m/s2，
再代入x1＝vAT＋aT2，可求得vA＝1 m/s。
【变式训练】如图所示是用某监测系统每隔2.5 s拍摄火箭起始加速阶段的一组照片。已知火箭的长度为40 m，现在用刻度尺测量照片上的长度关系，结果如图所示。请你估算火箭的加速度a和火箭在照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度大小v。
答案：8 m/s2　42 m/s
解析：从照片上可得，刻度尺的1 cm相当于实际长度20 m。量出前后两段位移分别为4.00 cm 和6.50 cm，对应的实际位移分别为80 m和130 m。由Δx＝aT2可得a＝8 m/s2，再根据这 5 s 内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可得照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度v＝ m/s＝42 m/s。
三、匀变速直线运动的规律三---初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
1.由v＝at可知，v∝t，故1 s末、2 s末、3 s末、…、n s末的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
2.由x＝at2可知，x∝t2，故1 s内、2 s内、3 s内、…、n s 内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2
3.第1 s内的位移xⅠ＝a×12，第2 s内的位移xⅡ＝a(22－12)，第3 s内的位移xⅢ＝a(32－22)，…，第N s内的位移xN＝a[N2－(N－1)2]，故第1 s内、第2 s内、第3 s内、…、第N s内的位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)
4.由x＝at2可知，t∝，故通过x、2x、3x、…、nx的位移所用的时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
(5)对于第1个x，tⅠ＝；对于第2个x，tⅡ＝－；对于第3个x，tⅢ＝－；…；对于第N个x，tN＝－；故通过第1个x、第2个x、第3个x、…、第N个x相邻相等位移所用的时间之比(即通过连续相邻相等的位移所用的时间之比)
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
上述几个关系可以借助下图左和下图右进行理解。
注意：（1）以上比例式成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动
（2）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
（3）对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用上面的结论求解。
【典例精析】
例3做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是(　　)
A．3.5 m　　　B．2 m　　　C．1 m　　　D．0
答案：B
解析：物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由＝得，所求位移x1＝2 m.
【变式训练】质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移比为(　　)
A．1∶4∶25 B．2∶8∶7
C．1∶3∶9 D．2∶2∶1
答案：C
解析：质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C。
运动学公式的选择
1．匀变速直线运动四个常用公式的比较
公式 一般形式 v0＝0时 涉及的物理量 不涉及的物理量
速度公式 v＝v0＋at v＝at v、v0、a、t 位移x
位移公式 x＝v0t＋at2 x＝at2 x、v0、t、a 末速度v位移、速度
关系式 v2－v＝2ax v2＝2ax v、v0、a、x 时间t
平均速度求位移公式 x＝t x＝t x、v0、v、t 加速度a
2.共同点
(1)适用条件相同：适用于匀变速直线运动。
(2)都是矢量式：v0、v、a、x都是矢量，应用这些公式时必须选取统一的正方向，一般选取v0方向为正方向。
(3)都涉及四个物理量，当已知其中三个物理量时，可求另一个未知量。
3．运动学公式的应用步骤
(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图。
(2)明确研究对象，明确已知量、待求量。
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。
【典例精析】
例4[2019·丰台高一检测]物体由静止开始沿斜面下滑，做匀加速直线运动，3 s末开始在水平地面上做匀减速直线运动，9 s末停止，则物体在斜面上的位移和水平面上的位移大小之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案：B
解析：设物体下滑到斜面底端时速度为v
【自我检测】
1． 在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹。在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m，该车辆的刹车加速度是15 m/s2，该路段限速为60 km/h，则该车(　　)
A．超速 B．不超速
C．是否超速无法判断 D．行驶速度刚好是60 km/h
答案：A
解析：该车辆的末速度为零，由v2－v＝2ax，可计算出初速度v0＝＝ m/s＝30 m/s＝108 km/h，该车严重超速，选项A正确。
2. （2019年云南省楚雄州南华县中学测试）如图所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则xAB∶xBC等于(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
答案：C
解析：　
画出运动示意图，由v2－v＝2ax得：xAB＝，xBC＝，
故xAB∶xBC＝1∶3，选项C正确。
3．（多选） 物体由静止做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则(　　)
A．第3 s内平均速度是3 m/s B．物体的加速度是1.2 m/s2
C．前3 s内的位移是6 m D．3 s末的速度是3.6 m/s
答案　ABD
解析：第3 s内的平均速度＝＝ m/s＝3 m/s，A正确；前3 s内的位移x3＝at，前2秒内的位移x2＝at，故Δx＝x3－x2＝at－at＝3 m，即a·32－a·22＝3 m，解得a＝1.2 m/s2，B正确；将a代入x3＝at得x3＝5.4 m，C错误；v3＝at3＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，D正确．
4．（2019年甘肃省静宁县一中测试）一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2.则物体运动的加速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：通过第一段位移时，中间时刻的瞬时速度为v1＝，通过第二段位移中间时刻的瞬时速度为v2＝，由于v2－v1＝a·，所以a＝，选项A正确．
5．（多选）（2019年陕西省兴平市联考）如图所示，完全相同的三个木块并排固定在水平地面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中所受阻力恒定，且穿过第三个木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为(　　)
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
答案：BD
解析：把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确．子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)．则子弹实际运动通过连续相等的位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确．
6．（2019年青海省海东市第二中学检测）质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移之比为(　　)
A．1∶4∶25 B．2∶8∶7
C．1∶3∶9 D．2∶2∶1
答案：C
解析：质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶……∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s、第2个2 s和第5个2s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C.
7．（2019年新疆喀什二中测试）一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法中不正确的是(　　)
A．这2 s内平均速度是2.25 m/s
B．第3 s末瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
答案：C
解析：这2 s内的平均速度＝＝ m/s＝2.25 m/s，A对；第3 s末的瞬时速度等于这2 s内的平均速度，B对；质点的加速度a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，C错，D对。
8．(多选)（2019年宁夏平罗中学期末测试）一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时(设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计)(　　)
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶
B．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…∶n
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
答案：AC
解析：设每节车厢长为l，由2ax＝v2得第一节车厢末端经过观察者时v1＝，同理，第二节车厢末端经过观察者时v2＝……第n节车厢末端经过观察者时，vn＝，所以有v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶，选项A正确．相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…，选项C正确．
9． 如图所示，在水平面上有一个质量为m的小物块，从某点给它一个初速度沿水平面做匀减速直线运动，途中经过A、B、C三点，到达O点的速度为零．A、B、C三点到O点的距离分别为 x1、x2、x3，物块从A点、B点、C点运动到O点所用时间分别为t1、t2、t3，下列结论正确的是(　　)
A.＝＝ B.<<
C.＝＝ D.<<
答案：C
解析：由于＝＝v，故＝，＝，＝，所以>>，A、B错；小物块的运动可视为逆向的由静止开始的匀加速直线运动，故位移x＝at2，＝a＝常数，所以＝＝，C对，D错．
10．（2019年广东省顺德市顺德中学测试）小球沿斜面滚下，依次经过A、B、C三点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，小球通过AB、BC路程所用时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点的瞬时速度是(　　)
A．vA＝2 m/s，vB＝3 m/s，vC＝4 m/s
B．vA＝2 m/s，vB＝4 m/s，vC＝6 m/s
C．vA＝3 m/s，vB＝4 m/s，vC＝5 m/s
D．vA＝3 m/s，vB＝5 m/s，vC＝7 m/s
答案：B
解析：B点为AC段的中间时刻，vB＝AC＝＝ m/s＝4 m/s。由Δx＝at2，得a＝1 m/s2，vB＝vA＋at，vA＝vB－at＝(4－1×2) m/s＝2 m/s，vC＝vB＋at＝(4＋1×2) m/s＝6 m/s。
11． 有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：
(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，则该舰身长至少应为多长？
答案：(1)30 m　(2)250 m
解析：(1)根据公式v2－v＝2ax
得：v0＝＝30 m/s。
(2)不装弹射系统时，
v2＝2aL　L＝＝250 m。
12．（2019年福建省厦门市联考）从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图4所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.试问：
(1)小球的加速度是多少？ 图4
(2)拍摄时小球B的速度是多少？
(3)拍摄时xCD是多少？
答案：(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m
解析：小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．
(1)由推论Δx＝aT2可知，小球加速度为
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2.
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s.
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以
xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝25×10－2 m＝0.25 m.

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