资源简介

习题课二匀变速直线运动应用
一、位移—时间图像(x－t图像)
1．x－t图像：以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像叫位移—时间图像．
2．对x－t图像的理解
(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负表示速度的方向．
(2)截距：纵截距表示物体起始位置．
(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇．
3．几种常见的位移－时间图像
(1)静止物体的x－t图像是平行于时间轴的直线，如图3直线A.
(2)匀速直线运动的x－t图像是一条倾斜的直线，如图直线B和C，其斜率表示速度．其中B沿正方向运动，C沿负方向运动．
(3)匀变速直线运动的x－t图像：由位移x＝v0t＋at2可以看出，x是t的二次函数．当v0＝0时，匀变速直线运动的x－t图像是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度，图4中切线斜率增大，质点的速度逐渐增大．
二、速度—时间图像(v－t图像)
1．v－t图像：以时间t为横坐标，以速度v为纵坐标，描述速度随时间的变化规律．
2．对v－t图像的理解
(1)斜率：斜率的绝对值表示加速度的大小；斜率的正负表示加速度的方向．
(2)截距：纵截距表示物体初速度．
(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇．
(4图线折点：表示加速度方向改变的时刻
（5）v－t图像与时间轴所围面积表示位移．
图线与时间轴及始末时刻所围“面积”的数值等于物体在时间t内的位移。在时间轴的上方表示位移为正，在时间轴的下方表示位移为负
（6）图线在时间轴的上方表示物体向正方向运动，在时间轴的下方表示物体向负方向运动
二、x－t图像与v－t图像的比较
内容种类 v－t图像 x－t图像
图象举例
意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
图像上某点的纵坐标 表示瞬时速度 表示某一时刻的位置
图线斜率 切线斜率表示瞬时加速度连线线斜率表示瞬时加速度 切线斜率表示瞬时速度连线线斜率表示平均速度
图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义
图线与坐标轴的交点 纵截距 表示初速度 表示初始时刻的位置
横截距 表示开始运动或速度为零的时刻 表示开始运动的时刻
两图线交点坐标 表示速度相同但不表示相遇，往往是距离最大或距离最小的临界点 表示相遇
2.三点说明
(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；
(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.
【典例精析】
例1(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x－t)图线，由图可知(　　)
A.在时刻t1，a车追上b车
B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加
D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
答案：BC
解析：由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误；x－t图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b两图象的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减少后反向增加，C正确；如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误.
例(2014·新课标全国Ⅱ·14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v—t图象如图5所示.在这段时间内(　　)
A.汽车甲的平均速度比乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案：A
解析：根据v—t图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v—t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误.
【变式训练1】甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系图象如图6所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处.则下列说法正确的是(　　)
A.甲车的初速度为零
B.乙车的初位置在x0＝60 m处
C.乙车的加速度大小为1.6 m/s2
D.5 s时两车相遇，此时甲车速度较大
答案：C
解析：由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v甲＝＝ m/s＝4 m/s.故A错；由题图可知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有x＝at2.由题图可知，当其反向运动5 s时，位移为20 m.则有20＝a·52，得加速度大小a＝1.6 m/s2.因其共运动了10 s，可得x0＝×1.6×102 m＝80 m.C对，B错；t＝5 s时，两车相遇，但甲车速度v甲＝4 m/s小于乙车速度v乙＝8 m/s，D错.
【变式训练2】　(2019·广东佛山质检)如图所示为甲、乙两质点做直线运动的速度－时间图象，则下列说法中正确的是(　　)
A.在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等
B.甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同
C.甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度
D.在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点
答案：A
解析：因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A项正确；在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向，在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相同，故B项错误；甲质点在0～t1时间内的平均速度等于＝，乙质点在0～t2时间内的平均速度等于＝，故C项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D项错误.
二、解决匀变速直线运动的常用方法
方法 解读
基本公式法 基本公式指速度公式、位移公式及速度位移关系式，它们均是矢量式，使用时要规定正方向
平均速度法 (1)定义式＝适用于任何性质的运动(2)＝v＝只适用于匀变速直线运动
推论法(位移差公式) 匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即Δx＝aT2，xm－xn＝(m－n)·aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔，应优先考虑用位移差公式求解
比例法 初速度或末速度为零的匀变速直线运动问题，可以考虑用比例法快速解答
图像法 应用v t图像，可把较复杂的问题转变为较为简单的数学问题，尤其是用图像进行定性分析，可避开繁杂的计算，快速得出答案
2.处理直线运动的方法总结
运用一般公式法，平均速度是简法。
中间时刻速度法，初速度为零比例法。
若是相邻等时间，位移逐差是妙法。
再加几何图象法，求解运动好方法。
例3.物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为xAC，物体到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端xAC处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。
答案]：t
解法一：基本公式法　
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，加速度大小为a，物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
v02＝2axAC
vB2－v02＝－2axAB
xAB＝xAC
解得vB＝
又vB＝v0－at
vB＝atBC
解得tBC＝t。
解法二：平均速度法　
匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，AC＝＝，
又v02＝2axAC，vB2＝2axBC，xBC＝，
由以上三式解得vB＝，
可知vB正好等于AC段的平均速度，因此物体到B点时是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t。
解法三：逆向思维法　
物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始向下匀加速滑下斜面。设物体从B到C所用的时间为tBC ，
由运动学公式得xBC＝atBC2，xAC＝a(t＋tBC)2，
又xBC＝，
由以上三式解得tBC＝t。
解法四：比例法　
物体运动的逆过程可以视为初速度为零的匀加速直线运动，对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，
因为xBC∶xAB＝∶＝1∶3，而物体通过AB段的时间为t，所以通过BC段的时间tBC＝t。
解法五：图像法　
根据匀变速直线运动的规律，画出v t图像，如图所示。
利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，
得＝，且＝，
OD＝t，OC＝t＋tBC，
所以＝，解得tBC＝t。
【自我检测】
1． 质点做直线运动的速度—时间图像如图所示，该质点(　　)
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在第2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
答案：D
解析：在第1秒末质点的加速度方向发生改变，速度方向未改变，A错误．在第2秒末质点的速度方向发生改变，加速度方向未改变，B错误．在第2秒内质点一直沿正方向运动，位移不为零，C错误．从第3秒末到第5秒末质点的位移为零，故两时刻质点的位置相同，D正确．
2．(多选)(2018·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　)
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
解析：选BD　由题图知，t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻两车相遇，则t1时刻甲车在乙车的后面，故A错误，B正确；由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C错误，D正确。
3．(多选)(2018·全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
答案：CD
解析：　x t图像斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误；由两图线的纵轴截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误；t1和t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故C、D正确。
4． 物体做匀加速直线运动，相继经过两段距离为16 m的路程，第一段用时4 s，第二段用时2 s，则物体的加速度是(　　)
A. m/s2　　　B. m/s2 C. m/s2 D. m/s2
答案：B
解析：根据题意，物体做匀加速直线运动，t时间内的平均速度等于时刻的瞬时速度，在第一段内中间时刻的瞬时速度为：v1＝1＝ m/s＝4 m/s；在第二段内中间时刻的瞬时速度为：v2＝2＝ m/s＝8 m/s；则物体加速度为：a＝＝ m/s2＝ m/s2，故选项B正确。
5． 如图所示，a、b、c、d为光滑斜面上的四个点。一小滑块自a点由静止开始下滑，通过ab、bc、cd各段所用时间均为T。现让该滑块自b点由静止开始下滑，则该滑块(　　)
A.通过bc、cd段的时间均大于T
B.通过c、d点的速度之比为1∶2
C.通过bc、cd段的位移之比为1∶3
D.通过c点的速度等于通过bd段的平均速度
答案：A
解析：当滑块由a点静止下滑时，滑块沿光滑的斜面做匀加速直线运动，假设ab段的间距为x，则bc段、cd段的间距应分别为3x、5x，xbc∶xcd＝3∶5，选项C错误；如果滑块由b点静止释放，显然滑块通过bc段、cd段的时间均大于T，选项A正确；滑块在c点的速度应为v1＝，滑块在d点的速度应为v2＝，则v1∶v2＝∶，选项B错误；因为xbc∶xcd＝3∶5，显然通过c点的时刻不是bd的中间时刻，则滑块通过c点的速度不等于bd段的平均速度，选项D错误。
6． 如图所示，很小的木块由静止开始从斜面下滑，经时间t后进入一水平面，两轨道之间用长度可忽略的圆弧连接，再经2t时间停下，关于木块在斜面上与在水平面上位移大小之比和加速度大小之比，下列说法正确的是(　　)
A.1∶2　2∶1 B.1∶2　1∶2
C.2∶1　2∶1 D.2∶1　1∶2
答案：A
解析：设木块到达斜面底端时的速度为v，根据v＝at得，加速度之比＝＝；根据平均速度的推论知，x1＝t，x2＝·2t，所以＝。选项A正确。
7． 如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中O、A之间的距离为 m，A、B之间的距离为2 m，物体通过AB和BC这两段位移的时间相等，则B、C之间的距离为(　　)
A．2.5 m B．3 m
C．3.5 m D．4 m
答案：B
解析：设物体通过AB、BC所用时间分别为T，通过OA所用时间为t，则有xOA＝at2，xOB＝a(t＋T)2，xOC＝a(t＋2T)2，且xOC＝xOB＋xBC，xOB＝xOA＋xAB，解得xBC＝3 m，故B正确。
8.(多选)（2019年贵州省安顺市期末测试）一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s内通过的位移x1＝3 m，第2 s内通过的位移x2＝2 m，又经过位移x3，物体的速度减小为0，则下列说法正确的是(　　)
A.初速度v0的大小为2.5 m/s
B.加速度a的大小为1 m/s2
C.位移x3的大小为1.125 m
D.位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s
解析　由Δx＝aT2可得加速度a＝－1 m/s2，选项B正确；第1 s末的速度v1＝＝2.5 m/s，得初速度v0＝v1－at＝3.5 m/s，选项A错误；物体速度由2.5 m/s减小到0所需时间t＝＝2.5 s，则经过位移x3的时间t3为1.5 s，且x3＝－at＝
1.125 m，选项C正确；位移x3内的平均速度＝＝0.75 m/s，选项D正确。
答案　BCD
9.(多选)（2019年贵州省铜仁中学测试）如图所示，某质点做匀减速直线运动，依次经过A、B、C三点，最后停在D点。已知AB＝6 m，BC＝4 m，从A点运动到B点，从B点运动到C点两个过程速度变化量都为－2 m/s，则下列说法正确的是(　　)
A.质点到达B点时速度大小为2.55 m/s
B.质点的加速度大小为2 m/s2
C.质点从A点运动到C点的时间为4 s
D.A、D两点间的距离为12.25 m
答案：BD
解析：设加速度大小为a，根据题设条件得|Δv|＝at＝2 m/s，AB、BC为连续相等时间内的位移，由匀变速直线运动推论Δx＝at2，解得t＝＝ s＝1 s，a＝2 m/s2，选项B正确；质点从A点运动到C点的时间为2t＝2 s，选项C错误；根据匀变速直线运动的平均速度公式可得vB＝AC＝＝5 m/s，选项A错误；由速度与位移公式可得xAD＝AB＋eq \f(v,2a)＝12.25 m，选项D正确。
10．(多选)(2019·潍坊模拟)如图所示，t＝0时，质量为0.5 kg的物体从光滑斜面上的A点由静止开始下滑，经过B点后进入水平面(经过B点前后速度大小不变)，最后停在C点。每隔2 s物体的瞬时速度记录在表格中，重力加速度g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
t/s 0 2 4 6
v/(m·s－1) 0 8 12 8
A．t＝3 s时物体恰好经过B点
B．t＝10 s时物体恰好停在C点
C．物体运动过程中的最大速度为12 m/s
D．A、B间的距离小于B、C间的距离
答案：BD
解析：根据图表中的数据，可以求出物体沿斜面下滑的加速度a1＝4 m/s2和在水平面上的加速度a2＝－2 m/s2。根据运动学公式：8 m/s＋a1t1＋a2t2＝12 m/s，t1＋t2＝2 s，解得t1＝ s，可得t＝ s经过B点，经过B点时的速度v＝a1t＝ m/s，即运动过程中的最大速度，故A、C错误；第6 s末的速度是8 m/s，到停下来还需的时间t′＝ s＝4 s，所以t＝10 s时恰好停在C点，故B正确；根据v2－v02＝2ax，求出AB段的长度为 m，BC段长度为 m，则A、B间的距离小于B、C间的距离，故D正确。
11.(2019·南昌市调研)如图5所示，一长为200 m的列车沿平直的轨道以80 m/s的速度匀速行驶，当车头行驶到进站口O点时，列车接到停车指令，立即匀减速停车，因OA段铁轨不能停车，整个列车只能停在AB段内，已知OA＝1 200 m，OB＝2 000 m，求：
(1)列车减速运动的加速度大小的取值范围；
(2)列车减速运动的最长时间。
答案：(1)1.6 m/s2≤a≤ m/s2　(2)50 s
解析;(1)若列车车尾恰好停在A点，减速运动的加速度大小为a1，距离为x1，则
0－v＝－2a1x1
x1＝1 200 m＋200 m＝1 400 m
解得a1＝ m/s2
若列车车头恰好停在B点，减速运动的加速度大小为a2，距离为xOB＝2 000 m，则
0－v＝－2a2xOB，解得a2＝1.6 m/s2
故加速度大小a的取值范围为1.6 m/s2≤a≤ m/s2
(2)当列车车头恰好停在B点时，减速运动的时间最长，则0＝v0－a2t，
解得t＝50 s
12.（2019年贵州省遵义市航天中学期末测试）近几年长假期间，国家取消了7座及其以下的小车的收费公路的过路费，给自驾带来了很大的实惠，但车辆的增多也给交通道路的畅通增加了很大的压力，因此国家规定了免费车辆在通过收费站时在专用车道上可以不停车拿卡或交卡而直接减速通过。假设收费站的前、后都是平直大道，长假期间过站的车速要求不超过v＝21.6 km/h，事先小汽车未减速的车速均为v0＝108 km/h，制动后小汽车的加速度的大小为a1＝4 m/s2。试问：
(1)长假期间，驾驶员应在距收费站至少多远处开始制动？
(2)假设车过站后驾驶员立即使车以a2＝6 m/s2的加速度加速至原来的速度，则从减速开始到最终恢复到原来速度的过程中，汽车运动的时间至少是多少？
(3)在(1)(2)问题中，车因减速和加速过站而耽误的时间至少为多少？
答案：(1)108 m　(2)10 s　(3)4 s
解析：取小汽车初速度方向为正方向，v＝21.6 km/h＝6 m/s，v0＝108 km/h＝30 m/s
(1)小汽车进入站台前做匀减速直线运动，设距离收费站x1处开始制动，则：
由v2－v＝－2ax1，解得x1＝108 m。
(2)小汽车通过收费站经历匀减速和匀加速两个阶段，以v＝6 m/s过站时汽车运动的时间最少，前后两段位移分别为x1和x2，时间为t1和t2，
则减速阶段：v＝v0－a1t1得
t1＝＝6 s
加速阶段：v0′＝v＝6 m/s，
v′＝v0＝30 m/s
则：v0＝v＋a2t2，t2＝＝4 s
则汽车运动的时间至少为t＝t1＋t2＝10 s。
(3)在加速阶段：v－v2＝2a2x2
解得x2＝72 m
则总位移x＝x1＋x2＝180 m
若不减速通过所需时间t′＝＝6 s
车因减速和加速过站而耽误的时间至少为
Δt＝t－t′＝4 s。

展开更多......

收起↑