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第四节 力的合成与分解
一、合力与分力　力的合成
1．合力与分力
如果力F的作用效果与力F1和F2共同作用的效果相同，我们就称F为F1和F2的合力，F1和F2为F的分力．
2．合力与分力的三性
2．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)实质：力的合成是一种等效替代的方法，即用一个力去替代几个共同作用的力，替代后产生的作用效果与原来相同．
3．共点力
如果几个力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，那么这几个力叫做共点力
二、共点力合成的规律
1．平行四边行定则：两个力合成时，用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示出来．
2．合力与分力间的大小关系
当两分力F1、F2大小一定时，
(1)最大值：两力同向时合力最大，F＝F1＋F2，方向与两力同向；
(2)最小值：两力方向相反时，合力最小，F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向；
(3)合力范围：两分力的夹角θ不确定时，合力大小随夹角θ的增大而减小，所以合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
3．合力大小与分力夹角关系
合力的“合”不是“和”，合力的大小不一定等于分力大小的代数和，合力不一定比分力大：合力可能比两个分力都大，也可能比两个分力都小；可能大于一个分力，小于另一个分力，也可能等于某一个分力。
两个大小一定的分力进行合成时，合力的大小与两分力夹角θ的关系是：θ(0°≤θ≤180°)越大，合力越小。
4．方向关系
合力与两个分力遵循平行四边形定则，所以合力的方向可能与其中一个分力的方向相同，也可能与其中一个分力的方向相反，还可以成一定夹角θ(0°≤θ≤180°)。
三、两个分力的合成的求解
1．作图法：根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
2．计算法
(1)两分力共线时：
①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向．
②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的同向．
(2)两分力不共线时：
可以根据平行四边形定则作出力的示意图，然后由几何关系求解对角线，其长度即为合力大小．以下为两种特殊情况：
①相互垂直的两个力的合成(即α＝90°)：F＝，F与F1的夹角的正切值tan β＝，如图所示．
②两个等大的力的合成：平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直平分的特点可解得F合＝2Fcos，如图所示．
若α＝120°，则合力大小等于分力大小(如图所示)．
　
四、矢量相加的法则
1.矢量相加的法则：矢量相加时和力的合成一样遵循平行四边形定则。
2．三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向。三角形定则与平行四边形定则本质上是一样的(如图所示)。
3．矢量和标量的区别：矢量既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则(或三角形定则)。标量只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加。
五、力的分解
1.定义：已知一个力求它的分力的过程。
2．与合成的关系
力的分解是力的合成的逆运算。
3．分解法则：力的分解同样遵循平行四边形定则。把已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力。
4．分解依据：
（1）将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的。
（2）在实际问题中，一般依据力的实际作用效果的方向来分解。
例如：人拉着旅行箱前进，拉力F与水平方向成α角，(1)拉力产生两个效果：拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体
(2)因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2，力的分解图如图所示
F1＝Fcos α，F2＝Fsin α.
【典例精析】
例1.关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的是(　　)
例1.A．合力的大小随两力夹角增大而增大
B．合力的大小不能小于分力中最小者
C．合力的大小一定大于分力中最大者
D．两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角减小而增大
答案：D
解析：在夹角小于180°范围内，合力的大小随两力夹角增大而减小，随夹角减小而增大，A错，D对。合力的大小可能比分力大，也可能比分力小，还有可能等于分力，B、C错。
【变式训练】(多选)两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角θ固定不变，使其中一个力增大，则(　　)
A．合力F一定增大　　　　 B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大 D．合力F可能减小
答案：BCD
解析：当θ为锐角(或直角)时，则随着其中的一个力增大，合力也增大，如图甲所示。当两个分力之间的夹角θ为钝角时，由图乙所示的平行四边形可知，当Fa逐渐增大为Fa1、Fa2、Fa3时，其合力由原来的F1变为F2、F3、F4，它们可能小于F1，可能等于F1，也可能大于F1，A选项是合力F一定增大，所以A错误，应该是合力F可能增大，可能减小，也可能不变。即B、C、D正确。
【典例精析】
例2.如图所示，表示五个共点力的有向线段恰分别构成正六边形的两条邻边和三条对角线．已知F1＝10 N，则这五个共点力的合力大小为(　　)
A．0 B．30 N C．60 N D．90 N
答案：C
解析：先把F1、F4合成，则F14＝F3，再把F2、F5合成，则F25＝F3，由几何关系可知F3＝2F1＝20 N，所以F合＝3F3＝60 N.
【变式训练】两个共点力的大小分别为F1＝15 N，F2＝8 N，它们的合力大小不可能等于(　　)
A．9 N B．25 N C．8 N D．21 N
答案：B
解析：F1、F2的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故7 N≤F≤23 N，不在此范围的是25 N，应选择B项．
【典例精析】
例3.杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图所示．挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺穹苍，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲．假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成图的合力有多大？方向如何？
答案：5.2×104 N　方向竖直向下
解析：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力．由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下．下面用两种方法计算这个合力的大小．
解法一　作图法(如图甲所示)
自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°，取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度．量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N.
解法二　计算法(如图乙所示)
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC.在直角三角形AOD中，∠AOD＝30°，而OD＝OC，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N.
【变式训练】水平横梁一端插在墙壁内，另一端装小滑轮B。轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 m/s2)(　　)
A．50 N　　　　　　　　 B．50 N
C．100 N D．100 N
答案：C
解析：本题考查合力的计算，关键是明确绳子拉力的夹角是120°。如图所示。以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力是F＝mg＝100 N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100 N。从图中看出，∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE，得∠CBE＝∠DBE＝60°，即△CBE是等边三角形，故F合＝100 N。
【典例精析】
例4．如图所示，重为mg的物体静止在倾角为θ的斜面上，则根据物体(可以看成质点)重力的效果把力分解。
答案　其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2，如图所示F1＝mgsin θ，F2＝mgcos θ
【自我检测】
1．（多选）大小不变的F1、F2两个共点力的合力为F，则有(　　)
A．合力F一定大于任一个分力
B．合力F的大小既可能等于F1，也可能等于F2
C．合力有可能小于任一个分力
D．在0至180°的范围内，合力F的大小随F1、F2间夹角的增大而减小
答案：BCD
解析：本题可采用特殊值法分析．若F1＝2 N，F2＝3 N，则其合力的大小范围是1 N≤F≤5 N，A项错误，B、C项正确；当θ＝0时，F最大为5 N，当θ＝180°时，F最小为1 N，这说明随着夹角θ的增大，合力F减小，D项正确．
2．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们之间的夹角为90°时合力的大小为20 N，则当它们之间夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
答案：B
解析：设F1＝F2＝F，当它们之间的夹角α＝90°时，如图甲所示，由画出的平行四边形(为正方形)得合力为
F合＝＝＝F.
所以F＝F合＝×20 N＝10 N.
当两分力F1和F2之间夹角变为β＝120°时，同理画出平行四边形，如图乙所示．由于平行四边形的一半为一等边三角形，因此其合力F合′＝F1＝F2＝10 N.
3.设有三个力同时作用在质点P上，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和一条对角线，如图3所示，这三个力中最小的力的大小为F，则这三个力的合力等于(　　)
A．3F B．4F
C．5F D．6F
答案：A
解析：由几何关系得F3＝2F，又F1、F2夹角为120°，大小均为F，故其合力大小为F，方向与F3相同，因此三个力的合力大小为3F.A正确．
4．同时作用在某物体上的两个方向相反的共点力，大小分别为6 N和8 N，当8 N的力逐渐减小到零的过程中，两力合力的大小(　　)
A．先减小后增大 B．先增大后减小
C．逐渐增大 D．逐渐减小
答案:A
解析:当8 N的力减小到6 N时，两个力的合力最小为0，若再减小，两力的合力又将逐渐增大，两力的合力最大为6 N，故A正确．
5.两个共点力的大小分别为F1和F2，作用于物体的同一点．两力同向时，合力为A，两力反向时，合力为B，当两力互相垂直时合力为(　　)
A.　　B. C. D.
答案：B
解析：由题意知，F1＋F2＝A，|F1－F2|＝B，故F1(F2)＝、F2(F1)＝.当两个力垂直时，合力F＝＝ ＝ .
6．如图所示为两个共点力的合力F的大小随两分力的夹角θ变化的图象，则这两个分力的大小分别为(　　)
A．1 N和4 N
B．2 N和3 N
C．1 N和5 N
D．2 N和4 N
答案：B
解析：由题图知，两力方向相同时，合力为5 N．即F1＋F2＝5 N；方向相反时，合力为1 N，即|F1－F2|＝1 N．故F1＝3 N，F2＝2 N，或F1＝2 N，F2＝3 N，B正确．
7.（多选）小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图4所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是(　　)
A．当θ为120°时，F＝G
B．不管θ为何值，F＝
C．当θ＝0时，F＝
D．θ越大，F越小
答案：AC
解析：由力的合成可知，两分力相等，θ＝120°时，F合＝F分＝G，θ＝0时，F分＝F合＝，故A、C对，B错．θ越大，在合力一定时，分力越大，故D错．
8.如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　　)
A．kL B．2kL C.kL D.kL
答案：D
解析：对裹片受力分析，由相似三角形可得：
＝得：F＝kL
则裹片对弹丸的最大作用力为F丸＝F＝kL，故D正确．
9.运动员在进行吊环比赛时，先双手撑住吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到如图5所示位置，则在两手之间的距离增大过程中，吊环的两根绳的拉力FT(两根绳拉力大小相等)及它们的合力F的大小变化情况为(　　)
A．FT增大，F不变
B．FT增大，F增大
C．FT增大，F减小
D．FT减小，F不变
答案：A
解析：合力F的大小等于人的重力，F恒定不变，当两手间的距离变大时，两绳的拉力间的夹角由零变大，由平行四边形定则知，FT变大，A正确．
10．（多选）一个10 N的力可以分解为下面哪两个力(　　)
A．30 N和5 N B．20 N和5 N
C．10 N和5 N D．10 N和10 N
答案：CD
解析：选项A合力的范围是25 N至35 N,10 N不在此范围内，故选项A错误；选项B合力的范围是15 N至25 N,10 N不在此范围内，故选项B错误；选项C合力的范围是5 N至15 N,10 N在此范围内，故选项C正确；选项D合力的范围是0至20 N,10 N在此范围内，故选项D正确．
11..在图中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为(　　)
A.G，G　　　　　 　B.G，G
C.G，G D.G，G
答案:A
解析:对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．
12.如图所示，一条小船在河中心向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力恰能沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与河岸垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小．
答案：50 N　50 N
解析：如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，使合力F沿正东方向，则F＝F1cos 30°＝100× N＝50 N
F2＝F1sin 30°＝100× N＝50 N.
所以拉力F＝＝ N≈19 305 N

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