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竖直上抛运动
一、竖直上抛运动
1．定义：物体具有向上的初速度，只在重力作用下的运动。
2．运动性质
先做向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程中加速度始终为g。
3．处理方法
(1)分段法：具有对称性
选向上为正方向
上升阶段：匀减速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2
下落阶段：自由落体，v＝gt，h＝gt2
几个典型的物理量
上升时间：t＝＝ ；
上升的最大高度：h＝eq \f(02－v,－2g)＝eq \f(v,2g) ；
在t＝时刻，整个过程位移为零，即回到抛出点。回到抛出点时的速度v＝－v0.
速率对称：上升与下降经过同一点速率相等。
时间对称：t上＝t下＝
(2)整体法
将竖直上抛运动视为初速度为v0，加速度为－g的匀减速直线运动．取整个过程分析，选竖直向上为正方向，则有
速度公式：v＝v0－gt
位移公式：h＝v0t－gt2。
速度位移关系式：v2－v＝－2gh。
位移时间关系式：h=(v0+v)t/2
若v>0，上升阶段；v<0，下落阶段；
若h>0，在抛出点上方；h<0，在抛出点下方．
注意：使用整体法时，必须注意方程的矢量性，习惯上取v0的方向为正方向。
(3)v t图象
注意：多解性当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下落阶段，这类问题可能造成时间多解或者速度多解，也可能造成路程多解．
【典例精析】
例1.某人站在高楼的平台边缘，以20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子．不考虑空气阻力，取g＝10 m/s2.求：
(1)石子上升的最大高度及回到抛出点所用的时间；
(2)石子抛出后到达距抛出点下方20 m处所需的时间．
答案：(1)20 m　4 s　(2)(2＋2 ) s
解析：解法一：(1)上升过程为匀减速直线运动，取竖直向上为正方向，v0＝20 m/s，a1＝－g，v＝0，根据匀变速直线运动公式v2－v＝2ax，v＝v0＋at得
石子上升的最大高度：H＝＝＝ m＝20 m；
上升时间：t1＝＝＝ s＝2 s
下落过程为自由落体运动，取竖直向下为正方向．v0′＝0，a2＝g，回到抛出点时，x1＝H，根据自由落体运动规律得
下落到抛出点的时间：t2＝ ＝ s＝2 s
t＝t1＋t2＝4 s
所以最大高度H＝20 m，从抛出点抛出到回到抛出点所用时间为4 s.
(2)到达抛出点下方20 m处时，x2＝40 m，从最高点下落到抛出点下方20 m处所需的时间：
t2′＝ ＝ s＝2 s
t′＝t1＋t2′＝(2＋2) s
所以石子抛出后到达距抛出点下方20 m处所需的时间为(2＋2) s.
解法二：(1)全过程分析，取竖直向上为正方向，v0＝20 m/s，a＝－g，到达最大高度时v＝0，回到原抛出点时x1＝0，落到抛出点下方20 m处时x＝－20 m，由匀变速直线运动公式得
最大高度：H＝＝ m＝20 m
回到原抛出点时：x1＝v0t1－gt，t1＝＝ s＝4 s
(2)到达距抛出点下方20 m处时：x＝v0t2－gt，代入数据得－20＝20t2－×10t
解得
【变式训练】一小球竖直向上抛出，先后经过抛出点的上方h＝5 m处的时间间隔Δt＝2 s，则小球的初速度v0为多少？小球从抛出到返回原处所经历的时间是多少？
答案：10 m/s　2 s
解析：根据题意，画出小球运动的情景图，如图所示．小球先后经过A点的时间间隔Δt＝2 s，根据竖直上抛运动的对称性，小球从A点到最高点的时间t1＝＝1 s，小球在A点处的速度vA＝gt1＝10 m/s；
在OA段有v－v＝－2gs，解得v0＝10 m/s；
小球从O点上抛到A点的时间
t2＝＝ s＝(－1) s
根据对称性，小球从抛出到返回原处所经历的总时间
t＝2(t1＋t2)＝2 s.
【自我检测】
1． 在竖直上抛运动中，当物体到达最高点时(　　)
A．速度不为零，加速度为零 B．速度为零，加速度不为零
C．有向下的速度和加速度 D．以上说法都不正确
答案：B
解析：竖直上抛到最高点时，物体速度为0，但有向下的重力加速度，B正确。
2.(多选)（2019年衡水市武邑中学测试）某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2，5 s内物体的(　　)
A．路程为65 m
B．位移大小为25 m，方向向上
C．速度改变量的大小为10 m/s
D．平均速度大小为13 m/s，方向向上
答案：AB　
解析：初速度为v0＝30 m/s，只需要3 s即可上升到最高点，位移为h1＝eq \f(v,2g)＝ m＝45 m，再自由下落2 s，下降高度为h2＝gt＝×10×22 m＝20 m，故路程为65 m，A正确；此时离抛出点高度为25 m，位移方向竖直向上，B正确；此时速度为v＝－10×2 m/s＝－20 m/s，速度改变量大小为50 m/s，C错误；平均速度为v＝＝ m/s＝5 m/s，D错误．
3. (多选) 一只气球带着一小石子以10 m/s的速度匀速上升，某时刻小石子脱离气球后，下列说法正确的是(g取10 m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．石子上升阶段比气球运动快
B．石子追不上气球
C．石子上升到最高点时速度为0，加速度也为0
D．当小石子上升到最高点时的位置距脱离气球的位置5 m
答案：BD　
解析：石子脱离气球后，先以10 m/s的初速度做竖直上抛运动(匀减速)，速度小于气球的速度，选项A错误，B正确；石子上升到最高点时速度为零，加速度等于重力加速度，C错误；小石子上升到最高点所用时间t＝＝1 s，该时间内石子的位移x1＝·t＝5 m，选项D正确．
4. 某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横杆(如图所示)．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10 m/s2)(　　)
A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s
答案：B　
解析： 该同学竖直方向的运动为竖直上抛运动，考虑上抛过程重心的运动，可认为人的重心在身体的中点．身体横着越过1.8 m的横杆，此时重心高度约为1.8 m，起跳时重心高度约为0.9 m，所以竖直上跳的最大高度为h＝1.8 m－0.9 m＝0.9 m，所以起跳时竖直分速度v＝＝ m/s＝3 m/s≈4 m/s，选项B正确．
5. 某一质点做竖直上抛运动，在上升阶段的平均速度是5 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．从抛出到落回抛出点所需时间为4 s B．从抛出到最高点所需时间为2 s
C．上升的最大高度为5 m D．上升的最大高度为15 m
答案：C　
解析： 竖直上抛运动是匀减速直线运动，上升过程的平均速度v＝＝，则初速度v0＝10 m/s，质点上升过程所用时间t1＝＝1 s，上升的最大高度h＝vt1＝5 m，质点上升到最高点后向下做自由落体运动，由h＝gt2得，下落时间t2＝＝1 s，则从抛出到落回抛出点所需时间t＝t1＋t2＝2 s．只有选项C正确．
6. (多选) 某人站在高为20 m的平台边缘，以10 m/s的初速度竖直上抛一石子，则抛出后石子通过距抛出点5 m处的时间可能是(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)
A．1 s B． s C．2 s D．(＋1) s
答案：AD　
解析： 若把石子的整个运动过程当作一个匀变速直线运动，取向上为正方向，则根据匀变速直线运动规律x＝v0t－gt2，如果石子在抛出点上方的5 m处，则5 m＝10 m/s×t1－×10 m/s2×t，解得t1＝1 s；如果在抛出点下方5 m处，则－5 m＝10 m/s×t2－×10 m/s2×t，解得t2＝(＋1) s(舍去负值)，选项A、D正确．
7.（多选）（2019年山东省济南市三中测试）将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的v t图像分别如图中直线甲、乙所示．则(　　)
A．t＝2 s时，两球高度相差一定为40 m
B．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等
C．两球从被抛出至落到地面的时间间隔相等
D．甲球从被抛出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等
答案：BD　
解析： t＝2 s时甲上升的高度h＝×2 m＝40 m，由于甲、乙抛出点间的距离未知，因此不能确定两球此时的高度差，选项A错误；t＝4 s时，甲球的运动时间为4 s，乙球的运动时间为2 s，由图像可知，这时甲、乙相对各自抛出点的位移相等，选项B正确；由于两球抛出点不在同一高度，因此两球从被抛出至落到地面的时间间隔不相等，选项C错误；两球被抛出时速度相等，因此从被抛出至达到最高点的时间间隔相同，均为3 s，选项D正确．
8.（2019年吉林省吉化联考）一个从地面竖直上抛的物体，两次经过一个较低点a的时间间隔是Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔是Tb，则a、b之间的距离为(　　)
A.g(T－T)　　　　 B.g(T－T)
C.g(T－T) D.g(Ta－Tb)
答案:A
解析:由时间对称性得：
Δh＝g(T－T)。选项A正确。
9．（2019年辽宁省辽阳一中期末测试）在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，设塔足够高，则物体位移大小为10 m时，物体通过的路程不可能为(　　)
A．10 m B．20 m
C．30 m D．50 m
答案:B
解析:取竖直向上为正方向，当物体位于抛出点上方时，即x1＝10 m，
其路程可能为：
s1＝x1＝10 m，故A可能；
s2＝xm＋(xm－x1)＝30 m，故C可能。
当物体位于抛出点下方时，即x2＝－10 m
其路程为：
s2＝2xm＋|x2|＝50 m
故D可能、B不可能。
10．(多选)（2019年豫西名校测试）自高为h的塔顶自由落下一物体a，与此同时物体b从塔底以初速度v0竖直向上抛，且a、b两物体在同一直线上运动，则下列说法中正确的是(　　)
A．若v0>，则两物体在b上升过程中相遇
B．若v0＝，则两物体在地面相遇
C．若 D．若v0< ，则两物体不可能在空中相遇
答案：ACD
解析：解本题的关键是能够根据题设信息找到两球运动的位移关系。若物体b正好运动到最高点时与a相遇，则：b速度减为零所用的时间t＝，sa＝gt2，sb＝，sa＋sb＝h，由以上各式联立解得v0＝。当两物体a、b恰好在落地时相遇，则：t1＝，此时a的位移sa′＝gt＝h，计算得出：v0′＝，所以，A、C、D正确，B错误。
11. 如图所示，A、B两棒长均为L＝1.0 m，A的下端和B的上端的竖直距离s＝20 m．若A、B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运动，初速度v0＝40 m/s.(g取10 m/s2)求：
(1)A、B两棒何时相遇；
(2)从相遇开始到分离所需的时间．
答案：(1)0.5 s　(2)0.05 s
解析：(1)设从A、B开始运动经过时间t1两棒相遇
A下落的高度h1＝gt
B上升的高度h2＝v0t1－gt
相遇时s＝h1＋h2
s＝gt＋v0t1－gt
解得t1＝0.5 s.
(2)设从A、B开始运动经过时间t2两棒分离
则s＋2L＝gt＋v0t2－gt
解得t2＝0.55 s
所以两棒从相遇开始到分离所需的时间
Δt＝t2－t1＝0.05 s.
12.（2019·辽宁实验中学期中）在竖直的井底，将一物块以11 m/s的速度竖直地向上抛出，物块经过井口时被人接住，在被人接住前1 s内物块的位移是4 m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10 m/s2.求：
(1)物块从被抛出到被人接住所经历的时间；
(2)此竖直井的深度．
答案：(1)1.2 s　(2)6 m
解析： (1)取竖直向上为正方向，对上抛物块被接住前1 s内的运动有
h′＝ vt0－gt
将h′＝4 m、t0＝1 s代入得
4 m＝v×1 s－×10 m/s2×(1 s)2
解得物块被接住前1 s时的速度v＝9 m/s
由v＝v0－gt1得
物块从被抛出到被接住所经过的总时间为
t＝t1＋t0＝＋t0＝1.2 s.
(2)竖直井的深度为
h＝v0t－gt2＝11 m/s×1.2 s－×10 m/s2×(1.2 s)2＝6 m．

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