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习题课 力的合成与分解
一、多个力的合成
1．合成方法：多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则。具体做法是先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，然后依次进行，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力
2．合成技巧：求解多分力的合力时，一般常见的合成技巧如下：
(1)将共线的分力合成(方向相同或相反)。
(2)将相互垂直的分力合成。
(3)两分力大小相等，夹角为120°时，合力大小等于分力，方向沿它们的夹角的角平分线方向。
3．三个力合力范围的确定
(1)最大值：三个力方向均相同时，三力合力最大，Fm＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值
①若一个力在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值为零。
②若一个力不在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力。
二、正交分解法
1．概念
将力沿着两个选定的相互垂直的方向分解，叫力的正交分解。
2．优点
正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是将矢量运算转化为代数运算。其优点有：
(1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述。
(2)分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简便、容易求解。
3．适用情况
常用于三个或三个以上的力的合成。
4．步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝。
三、按力的效果分解、
1、按力的效果分解的基本步骤
（1）确定要分解的力
（2）根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
（3）根据两个分力的方向作出力的平行四边形．
（4）利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
2、常见的按力的作用效果分解的实例
实例 分析
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住静止于斜面上，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2。F1＝mgtanα，F2＝
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2。F1＝mgtanα，F2＝
质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，其重力产生两个效果：一是对OA的拉力F1；二是对OB的拉力F2。F1＝mgtanα，F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2。F1＝mgtanα，F2＝
四、有限制条件的力的分解
1．已知合力和两个分力的方向时，两分力有唯一解(如图5所示)．
2．已知合力和一个分力的大小和方向时，另一分力有唯一解(如图6所示)．
3．已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
(1)当Fsin θ＜F2＜F时，有两解(如图甲)．
(2)当F2＝Fsin θ时，有唯一解(如图乙)．
(3)当F2＜Fsin θ时，无解(如图丙)．
(4)当F2＞F时，有唯一解(如图丁)．
总结提升：力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形，若能，即有解；若不能则无解．
【典例精析】
例1.如图所示，在同一平面内，大小分别为1 N、2 N、3 N、4 N、5 N、6 N的六个力共同作用于一点，其合力大小为(　　)
A．0 B．1 N C．2 N D．3 N
答案：A
解析：先分别求1 N和4 N、2 N和5 N、3N和6 N的合力，大小都为3 N，且三个合力互成120°角，如图所示：
根据平行四边形定则知，图中三个力的合力为零，即题中所给六个力的最终合力为零。故A正确，B、C、D错误。
【变式训练】　物体同时受到同一平面内的三个共点力的作用，下列几组力的合力不可能为零的是(　　)
A．5 N,7 N,8 N B．5 N,2 N,3 N
C．1 N,5 N,10 N D．10 N,10 N,10 N
答案：C
解析：三个力合成，若前两个力的合力可与第三个力大小相等，方向相反，就可以使这三个力合力为零，只要使第三个力在其他两个力的合力范围之内，就可能使合力为零，即第三个力F3满足：|F1－F2|≤F3≤F1＋F2。选项A中，前两个力合力范围是：2 N≤F合≤12 N，第三个力在其范围之内；选项B中，3 N≤F合≤7 N，第三个力在其合力范围之内；选项C中，4 N≤F合≤6 N，第三个力不在其合力范围之内；选项D中，0≤F合≤20 N，第三个力在其合力范围之内。只有C中第三个力不在前两个力合力范围之内，故C中的三个力的合力不可能为零。
【典例精析】
例2.在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图11所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案：38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
解析;本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．
如图甲，建立直角坐标系，
把各个力分解到这两个坐标轴上，
并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
总结提升：1．坐标轴的选取原则：坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
(1)使尽量多的力处在坐标轴上．
(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零．
(3)正交分解法的适用情况：适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况．
【典例精析】
例3.如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O.轻绳OB水平且B端与放置在水平面上的质量为m2的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲、乙均处于静止状态．(已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，tan 37°＝0.75，g取10 N/kg.)
求：
(1)轻绳OA、OB受到的拉力各多大？(试用三种方法求解)
答案：(1)m1g　m1g　(2)m1g　
解析：(1)方法一：对结点O进行受力分析(如图)，把FA与FB合成则F＝m1g
所以FA＝＝m1g
FB＝m1gtan θ＝m1g
故轻绳OA、OB受到的拉力大小分别等于FB、FA，即m1g、m1g
方法二：把甲对O点的拉力按效果分解为FOA和FOB，如图所示
则FOA＝＝m1g，FOB＝m1gtan θ＝m1g.
方法三：把OA绳对结点O的拉力FA进行正交分解，如图所示．
则有FAsin θ＝FB
FAcos θ＝m1g
解得FA＝m1g，FB＝m1g
总结提升：无论是力的合成、力的分解还是正交分解，都是求解力的计算方法，一般来说力的合成、力的分解适用于计算物体受受两个力作用时，而受三个或三个以上一般适用于正交分解法。
【自我检测】
1．（多选）三个共点力的大小分别为F1＝5 N，F2＝10 N，F3＝20 N，则它们的合力(　　)
A．不会大于35 N B．最小值为5 N
C．可能为0 D．可能为20 N
答案：ABD
解析：三个力的合力最大值Fmax＝F1＋F2＋F3＝35 N．F1与F2的合力范围为5 N≤F12≤15 N，当F12＝15 N且与F3反向时，三个力的合力最小，Fmin＝|F12－F3|＝5 N，故三个力的合力范围为5 N≤F≤35 N，故选项A、B、D正确．
2．某物体在n个共点力的作用下处于静止状态，若把其中一个力F1的方向沿顺时针方向转过90°，而保持其大小不变，其余力保持不变，则此时物体所受的合力大小为(　　)
A．F1 B.F1 C．2F1 D．0
答案：B
解析：物体受n个力处于静止状态，则其中(n－1)个力的合力一定与剩余的那个力等大反向，故除F1以外的其他各力的合力大小等于F1，方向与F1的方向相反，故当F1转过90°后，物体受到的合力大小应为F1，选项B正确。
3．下图中三个大小相等的力F，作用于同一点O，则合力最小的是(　　)
答案：C
解析：根据矢量合成的平行四边形定则可知，C选项的合力为零，即合力最小，C正确。
4．如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形(顶角为直角)．下列4个图中，这三个力的合力最大的是(　　)
答案：C
解析：由矢量合成的法则可知，A中的合力的大小为2F1，B中的合力的大小为0，C中的合力的大小为2F2，D中的合力的大小为2F3，因为F2是直角三角形的斜边，所以F2最大，所以合力最大的是C选项．
5.某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图1所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是(　　)
A．甲图中物体所受的合外力大小等于4 N
B．乙图中物体所受的合外力大小等于2 N
C．丙图中物体所受的合外力大小等于0
D．丁图中物体所受的合外力大小等于0
答案：D
解析：题图甲，先将F1与F3直接合成，再以3 N和4 N为边画平行四边形，并结合勾股定理知合力的大小为5 N，A项错误；题图乙，先将F1与F3正交分解，再合成，求得合力的大小等于5 N，B项错误；题图丙，可将F3正交分解，求得合力的大小等于6 N，C项错误；根据三角形法则，题图丁中合力的大小等于0，D项正确．
6.　（2019·蚌埠高一期中）如图所示，用一根细绳和一根杆组成三角支架，绳的一端绕在手指上，杆的一端顶在掌心，当挂上重物时，绳与杆对手指和手掌均有作用，则手指与手掌所受的作用力方向判断完全正确的是(　　)
答案：D
解析：重物所受的重力产生斜向下拉绳子和水平向左压杆的作用效果，故绳子对手指有斜向下的作用力，杆对手掌有水平向左的作用力，选项D正确。
7 .(多选)如图所示，将光滑斜面上物体受到的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　　)
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力
B．物体受mg、FN、F1、F2四个力作用
C．物体只受重力mg和弹力FN的作用
D．力FN、F1、F2三个力的作用效果跟mg、FN两个力的作用效果相同
答案；CD
解析：物体受到重力的施力物体是地球；支持力的施力物体是斜面。F1、F2是将重力按效果分解所得的两个分力，实际不存在。选项C、D正确。
8.人们不可能用双手掰开一段木桩，然而，若用斧子就容易把木桩劈开．如图15所示，斧子的两个斧面间的夹角为θ，两个斧面关于竖直平面对称，当斧子对木桩施加一个竖直向下的力F时，木桩的两个劈开面受到的侧向压力N等于(　　)
A．N＝ B．N＝ C．N＝ D．N＝
答案：C
解析：如图所示，将力F分解为F1、F2两个分力，这两个分力分别与劈的两个侧面垂直，根据对称性，两分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形．因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以有：F1＝F2＝，木桩的两个劈开面受到的侧向压力N等于.
9．甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1 000 N的力拉绳子，方向如图15所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值为(　　)
A．500 N B．500 N
C．1 000 N D．400 N
答案:B
解析:要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO′方向．如图所示，作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO′时，乙的拉力F乙最小，其最小值为F乙min＝F甲sin 30°＝1 000× N＝500 N，故B正确．
10. 如图所示，用两根承受的最大拉力相等，长度不等的细线AO、BO悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则(　　)
A．AO先被拉断　　　　 B．BO先被拉断
C．AO、BO同时被拉断 D．条件不足，无法判断
答案:B
解析:依据力的作用效果将重力分解如图所示，据图可知：FB>FA。
又因为两绳承受能力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确。
11.如图所示，长为l＝5 m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为d＝4 m的两杆的顶端A、B处。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，下端悬挂一个重为G＝12 N的物体，稳定后静止在图中位置。现在如果把A点向上移少许，再次稳定后，绳中的张力如何变化？
答案:见解析
解析；物体受到挂钩两侧细绳的拉力和重力作用，则细绳的两个拉力的合力与物体的重力平衡。
根据平行四边形定则，作出两个拉力的合力如图所示。因为挂钩光滑，所以两侧的细绳拉力大小相等，设拉力大小为T，则作出的平行四边形是菱形，所以图中α＝β。
利用菱形的对角线互相垂直平分，可得F＝G＝2Tsinα。
如图中的虚线延长线所示，cosα＝＝，所以α＝37°，T＝＝10 N。
当把A点向上移动少许，由于细绳的长度和两杆的间距都没有变化，且挂钩光滑，所以物体再次稳定时仍然满足α＝β＝37°不变，故绳中的张力T也不变。

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