资源简介

习题课 追击相遇问题
一、对“相遇”与“追及”的认识
1．相遇问题
相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
2．追及问题
同向运动的两物体，若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度，即v1≥v2.
二、追及问题的分析思路及临界条件
1．追及问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．
时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处。
(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
2．特征：两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置。
3．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
5．解题思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图。
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键。
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析。
(5)解决方法
大致分为三种：①一是物理分析法：即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列方程求解；②二是数学方法：因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解；③有时也可借助v t图象进行分析。
6、两点解题技巧
2．追及和相遇问题的几种情况
(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体
肯定能追上，且只能相遇一次。两者在追上前相距最远的条件是v加＝v匀。
(2)匀减速直线运动的物体追匀速直线运动的物体
①若当v减＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离；
②若当v减＝v匀时，两者正在同一位置，则恰能追上，这种情况也是避免两者相撞的临界条件；
③若当两者到达同一位置时有v减>v匀，则有两次相遇的机会。
(3)匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体
①若当v加＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离；
②若当v加＝v匀时，两者恰好到达同一位置，则只能相遇一次；
③若当两者到达同一位置时v加3．[多种方法解决追及相遇问题]
【典例精析】
例1.在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
答案：v0＜
解析：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示，现用三种方法解答如下：
法一：情景分析法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有sB＝at2，vB＝at
对两车有s＝sA－sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜。
法二：函数判断法
利用判别式求解，由法一可知
sA＝s＋sB，即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s＜0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜。
法三：图像分析法
利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′
对B车有vB＝v′＝at′
以上两式联立解得t′＝
经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s
它可用图中的阴影面积表示，由图像可知
s＝v0·t′＝v0·＝
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜。
【变式训练1】 a、b两车在同一平直公路上行驶，a做匀速直线运动，两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．b车运动方向始终不变
B．a、b两车相遇两次
C．t1到t2时间内，a车的平均速度小于b车的平均速度
D．t1时刻，a车的速度大于b车的速度
答案：B
解析：选B　因x t图像的斜率等于速度，则b的斜率先正后负，可知b车先向正方向运动后向负方向运动，运动方向发生改变，选项A错误；图像a与b有两个交点，说明两车相遇两次，选项B正确；t1到t2时间内，两车的位移和时间均相同，则a车的平均速度等于b车的平均速度，选项C错误；因x t图像的斜率等于速度，由图像可知t1时刻，a车的速度小于b车的速度，选项D错误。
【变式训练2】(多选)入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足20 m，在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前、甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车。两辆车刹车时的v t图像如图，则(　　)
A．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定小于100 m
B．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定小于200 m
C．若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20 s以内的某时刻发生相撞
D．若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20 s以后的某时刻发生相撞
答案：AC
解析：选AC　由图可知，两车速度相等经历的时间为20 s，甲车的加速度a1＝ m/s2＝－1 m/s2，乙车的加速度a2＝ m/s2＝－0.5 m/s2，两车速度相等时，甲车的位移x甲＝v甲t＋a1t2＝25×20 m－×1×400 m＝300 m，乙车的位移x乙＝v乙t＋a2t2＝15×20 m－×0.5×400 m＝200 m，可知要不相撞，则两车间的最小距离Δx＝300 m－200 m＝100 m，因为两车发生碰撞，则两车的距离小于100 m，故A正确，B错误；因为速度相等后，若不相撞，两者的距离又逐渐增大，可知两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的，故C正确，D错误。
【自我检测】
1．(多选) 甲、乙两辆车在同一水平直道上运动，其运动的位移—时间图象如图所示．则下列说法中正确的是(　　)
A．甲车先做匀减速直线运动，后做匀速直线运动
B．乙车在0～10 s内的平均速度大小为0.8 m/s
C．在0～10 s内，甲、乙两车相遇两次
D．若乙车做匀变速直线运动，则图线上P点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s
答案：BCD
解析：x t图象的斜率表示速度，根据题图可知，甲车先做匀速直线运动，后静止，选项A错误；乙车在0～10 s内的位移x＝(0－8) m＝－8 m，则平均速度＝＝ m/s＝－0.8 m/s，所以乙车在0～10 s内的平均速度大小为0.8 m/s，选项B正确；x t图象中图线的交点表示相遇，根据题图可知，在0～10 s内两车相遇两次，选项C正确；若乙车做匀变速直线运动，由其图线斜率变化特点知，乙车做匀加速直线运动，中间时刻的速度等于平均速度，即5 s末的速度大小等于0.8 m/s，所以P点即位移中点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s，选项D正确．
2． (多选)（2019年江西省宜春市五校联考）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v t图象如图所示．下列判断正确的是(　　)
A．乙车启动时，甲车在其前方50 m处
B．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
C．乙车启动10 s后正好追上甲车
D．乙车超过甲车后，两车不会再相遇
答案：ABD
解析：根据v t图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙车在t＝10 s时启动时甲车的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙车前方50 m处，故A正确；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为xmax＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m，故B正确；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时两车才相遇，由题图可知，乙车启动10 s后位移小于甲车的位移，还没有追上甲车，故C错误；乙车超过甲车后，由于乙车的速度大，所以两车不会再相遇，故D正确．
3． 汽车正在以10 m/s的速度在平直的公路上匀速前进，在它的正前方x处有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做a＝－6 m/s2的匀减速运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x的大小为(　　)
A．8.33 m　　　　　　　　 B．3 m
C．3.33 m D．7 m
答案：B
解析：汽车减速到4 m/s所需的时间t＝＝1 s，此时汽车的位移x1＝v1t＋at2；自行车的位移x2＝v2t，若汽车恰好碰不上自行车，则有x2＋x＝x1，代入数据解得x＝3 m，选项B正确．
4．（2019年保定市期末）一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则(　　)
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
答案：B
解析：在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，A、C错误，B正确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D错误．
5. (多选)(2019·保定模拟)a、b两车在平直公路上沿同一方向行驶，两车运动的v t图象如图所示，在t＝0时刻，b车在a车前方s0处，在0～t1时间内，a车的位移为s，则(　　)
A．若a、b在t1时刻相遇，则s0＝s
B．若a、b在时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1
C．若a、b在时刻相遇，则s0＝s
D．若a、b在t1时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1
答案：AC
【解析】：由图可知，a车的初速度等于2v，在t1时间内，a车的位移为s，则b车的位移为s，若a、b在t1时刻相遇，则s0＝s－s＝s，A选项正确；若a、b在时刻相遇，如图所示，s0等于阴影部分对应的面积，由几何关系可知s0＝s，由图象中的对称关系可知，下次相遇的时刻为t1，C选项正确，B选项错误；若a、b在t1时刻相遇，则t1时刻后vb＞va，两车不能再次相遇，D选项错误．
6. (多选) t＝0时，甲、乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v t图象如图所示，忽略汽车掉头所需时间。下列对汽车运动状况的描述正确的是(　　)
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B．在第2小时末，甲、乙两车相距10 km
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲、乙两车相遇
答案：BC
解析：1 h末，乙车方向仍为负值，方向不变，A错误；
2 h末，x甲＝×30×2 km＝30 km。
x乙＝×(－30)×2 km＝－30 km，∴相距10 km，B正确；
前4 h内，乙车的斜率一直比甲车大，∴C正确。
第4 h末，x甲′＝120 km　x乙′＝30 km
x乙′＋70≠x甲′，∴不相遇，D错。
7．（多选）（2019年邢台市三校联考）甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2(s2>s1)。初始时，甲车在乙车前方s0处。则下列说法正确的是(　　)
A．若s0＝s1＋s2，两车不会相遇
B．若s0C．若s0＝s1，两车相遇1次
D．若s0＝s2，两车相遇1次
答案：ABC
解析：若乙车追上甲车时，甲、乙两车速度相同，即此时t＝T，则s0＝s1，此后甲车速度大于乙车速度，全程甲、乙仅相遇一次；若甲、乙两车速度相同时，s0s1，则此时甲车仍在乙车的前面，以后乙车不可能再追上甲车了，全程中甲、乙都不会相遇，综上所述，选项A、B、C对，D错。
8.（2019年石家庄市期末测试）甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11 m 处，乙车速度v乙＝60 m/s，甲车速度v甲＝50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600 m，如图所示。若甲车加速运动，加速度a＝2 m/s2，乙车速度不变，不计车长。
(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？
(2)到达终点时甲车能否超过乙车？
答案：(1)5 s　36 m　(2)不能
解析：本题疑难之处是如何找准两车相距最远时的临界条件。
(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大。由v甲＋at1＝v乙，得t1＝＝ s＝5 s
在这个过程中甲车的位移x甲＝v甲t1＋at＝275 m，乙车的位移x乙＝v乙t1＝60×5 m＝300 m。此时两车间距离最大，为Δxmax＝x乙＋L1－x甲＝36 m。
(2)甲车追上乙车时，位移关系满足x甲′＝x乙′＋L1，又甲车位移x甲′＝v甲t2＋at，乙车位移x乙′＝v乙t2，将x甲′、x乙′代入位移关系，得v甲t2＋at＝v乙t2＋L1，代入数值并整理得t－10t2－11＝0，解得t2＝－1 s(舍去)或t2＝11 s；此时乙车位移x乙′＝v乙t2＝660 m，因x乙′>L2，故乙车到达终点时甲车还未追上乙车。
9．（2019年洛阳联考）公交车作为现代城市交通很重要的工具，它具有方便、节约、缓解城市交通压力等许多作用．某日，李老师在上班途中向一公交车站走去，发现一辆公交车正从身旁平直的公路驶过，此时，他的速度是1 m/s，公交车的速度是15 m/s，他们距车站的距离为50 m．假设公交车在行驶到距车站25 m处开始刹车，刚好到车站停下，停车时间10 s．而李老师因年龄、体力等关系最大速度只能达到6 m/s，最大起跑加速度只能达到2.5 m/s2.
(1)若公交车刹车过程视为匀减速直线运动，其加速度大小是多少？
(2)试计算分析，李老师是能赶上这班车，还是等下一班车．
答案：见解析
解析：(1)公交车的加速度为：a1＝＝ m/s2＝－4.5 m/s2，所以其加速度大小为4.5 m/s2
(2)公交车从与李老师相遇到开始刹车用时为：t1＝＝ s＝ s，
公交车刹车过程中用时为：t2＝＝ s＝ s，
李老师以最大加速度达到最大速度用时为：t3＝＝ s＝2 s，
李老师加速过程中位移为：x2＝t3＝×2 m＝7 m，
以最大速度跑到车站用时为：t4＝＝ s
显然，t3＋t4＜t1＋t2＋10 s，可以在公交车还停在车站时安全上车．

展开更多......

收起↑