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三次函数的图象和性质
【考点预测】
知识点一.基本性质
设三次函数为：f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a、b、c、d∈R且 a≠ 0)，其基本性质有：
性质１：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
a> 0 a< 0
Δ> 0 Δ≤ 0 Δ> 0 Δ≤ 0
图
像
性质２：三次方程 f(x) = 0的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三
次函数为例来研究根的情况，设三次函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)
其导函数为二次函数:f (x) = 3ax2+ 2bx+ c(a≠ 0)，
判别式为：△= 4b2- 12ac= 4(b2- 3ac)，设 f (x) = 0的两根为 x1、x2，结合函数草图易得：
(1) 若 b2- 3ac≤ 0，则 f(x) = 0恰有一个实根；
(2) 若 b2- 3ac> 0,且 f(x1) f(x2)> 0，则 f(x) = 0恰有一个实根；
(3) 若 b2- 3ac> 0,且 f(x1) f(x2) = 0，则 f(x) = 0有两个不相等的实根；
(4) 若 b2- 3ac> 0,且 f(x1) f(x2)< 0，则 f(x) = 0有三个不相等的实根.
说明:(1) (2)f(x) = 0含有一个实根的充要条件是曲线 y= f(x)与 x轴只相交一次，即 f(x)在R上为
单调函数 (或两极值同号)，所以 b2- 3ac≤ 0(或 b2- 3ac> 0，且 f(x1) f(x2)> 0);
(3)f(x) = 0有两个相异实根的充要条件是曲线 y= f(x)与 x轴有两个公共点且其中之一为切点，所
以 b2- 3ac> 0，且 f(x1) f(x2) = 0;
(4)f(x) = 0有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y= f(x)与 x轴有三个公共点，即 f(x)有一个极
大值，一个极小值，且两极值异号.所以 b2- 3ac> 0且 f(x1) f(x2)< 0.
性质３：对称性
(1) b b三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； - 3a，f - 3a ；
(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
【方法技巧与总结】
1.其导函数为 f (x) = 3ax2+ 2bx+ c= 0 b对称轴为 x=- 3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数
的对称轴，可见，y= f(x)图象的对称中心在导函数 y= f x 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，
同时也是二阶导为零的点；
2.y= f(x)是可导函数，若 y= f(x)的图象关于点 (m,n)对称，则 y= f (x)图象关于直线 x=m
对称.
3.若 y= f(x)图象关于直线 x=m对称，则 y= f (x)图象关于点 (m,0)对称.
4.已知三次函数 f x = ax3+ bx2+ cx+ d的对称中心横坐标为 x0，若 f x 存在两个极值点 x1，x2，则
f x1 - f x2 a 2
有 x - x =- 2 x1- x
2
2 = 3 f
x0 .
1 2
【题型归纳目录】
题型一：三次函数的零点问题
题型二：三次函数的最值、极值问题
题型三：三次函数的单调性问题
题型四：三次函数的切线问题
题型五：三次函数的对称问题
题型六：三次函数的综合问题
题型七：三次函数恒成立问题
【典例例题】
题型一：三次函数的零点问题
例⒈若 a> 2，则函数 f(x) = 1 33 x - ax
2+ 1在区间 (0,2)上恰好有 (　　)
A. 0个零点 B. 1个零点 C. 2个零点 D. 3个零点
例⒉设 a为实数，函数 f(x) =-x3+ 3x+ a．
(1)求 f(x)的极值；
(2)若 y= f(x)恰好有两个零点，求 a的值．
例⒊已知函数 f(x) = 1 x33 - ax
2+ 1(a∈R)．
(Ⅰ)若 a> 0，函数 y= f(x)在区间 (a,a2- 3)上存在极值，求 a的取值范围；
(Ⅱ)若 a> 2，求证：函数 y= f(x)在 (0,2)上恰有一个零点．
例⒋已知函数 f(x) = 13 x
3+ ax，g(x) =-x2- a(a∈R)．
(Ⅰ)若函数F(x) = f(x) - g(x)在 x∈ [1，+∞)上单调递增，求 a的最小值；
(Ⅱ)若函数G(x) = f(x) + g(x)的图象与 x轴有且只有一个交点，求 a的取值范围．
例⒌ f(x) = 1已知函数 3 x
3- ax2+ b在 x=-2处有极值．
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数 f(x)在区间 [-3，3]上有且仅有一个零点，求 b的取值范围．
题型二：三次函数的最值、极值问题
例⒍已知函数 f(x) = x3+ 3bx2+ cx+ d在 (-∞,0)上是增函数，在 (0,2)上是减函数，且 f(x) = 0的一个
根为-b
(Ⅰ)求 c的值；
(Ⅱ)求证：f(x) = 0还有不同于-b的实根 x1、x2，且 x1、-b、x2成等差数列；
(Ⅲ)若函数 f(x)的极大值小于 16，求 f(1)的取值范围．
例⒎已知函数 f(x) = 2 x33 - 2x
2+ (2- a)x+ 1，其中 a> 0．
(Ⅰ)若 a= 2，求曲线 y= f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 f(x)在区间 [2，3]上的最小值．
例⒏已知函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c在 x=- 23 与 x= 1时都取得极值．
(1)求 a、b的值与函数 f(x)的单调区间；
(2)若 x∈ [-1，2]，求 f(x)的最大值．
例⒐已知函数 f(x) = 13 x
3- x2+ ax- a(a∈R)．
(1)当 a=-3时，求函数 f(x)的极值；
(2)设 g(x) = f(x) + f′ (x) + ax2，若函数 g(x)在区间 (-1,1)有极值，求 a的取值范围；
(3)若函数 f(x)的图象与 x轴有且只有一个交点，求 a的取值范围．
题型三：三次函数的单调性问题
例⒑已知三次函数 f(x) = 13 x
3- (4m- 1)x2+ (15m2- 2m- 7)x+ 2在 x∈ (-∞,+∞)上是增函数，则m
的取值范围为　　．
例⒒三次函数 f(x) =mx3- x在 (-∞,+∞)上是减函数，则m的取值范围是 (　　)
A. m< 0 B. m< 1 C. m≤ 0 D.m≤ 1
例⒓ f(x) = 1已知函数 x3- 1 23 2mx + 4x- 3在区间 [1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为 (　　)
A. 4≤m≤ 5 B. 2≤m≤ 4 C. m≤ 2 D.m≤ 4
例⒔已知函数 f(x) = x3+ x2- ax+ a在R上为单调递增函数，则实数 a的取值范围为 (　　)
A. -∞ 1，- 3 B. -∞,
2
3 C. -∞,
1
3 D. -∞,
2
3
题型四：三次函数的切线问题
例⒕已知函数 f(x) = x3- x．
(I)求曲线 y= f(x)在点M (t，f(t))处的切线方程；
(II)设常数 a> 0，如果过点P(a,m)可作曲线 y= f(x)的三条切线，求m的取值范围．
例⒖已知函数 f(x) = ax3- 3x2+ 1- 3a (a≠ 0)．
(Ⅰ)若 f(x) 1的图象在 x=-1处的切线与直线 y=- 3 x+ 1垂直，求实数 a的取值；
(Ⅱ)求函数 y= f(x)的单调区间；
(Ⅲ)若 a= 1时，过点M (2，m) (m≠-6)，可作曲线 y= f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
例⒗已知定义在R上的函数 f(x) = ax3- 3x，a为常数，且 x= 1是函数 f(x)的一个极值点．
(Ⅰ)求 a的值；
(Ⅱ)若函数 g(x) = f(x) + f (x) - 6，x∈R，求 g(x)的单调区间；
(Ⅲ)过点A(1，m) (m≠-2)可作曲线 y= f(x)的三条切线，求m的取值范围．
例⒘ f(x) = 1 x3- a设函数 x23 2 + bx+ c，其中 a> 0．曲线 y= f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为 y=
1．
(1)确定 b，c的值；
(2)若过点 (0,2)可作曲线 y= f(x)的三条不同切线，求实数 a的取值范围．
例⒙已知函数 f(x) = ax3+ bx2- 3x在 x=±1处取得极值
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)求证：对于区间 [-1，1]上任意两个自变量的值 x1，x2，都有 | f(x1) - f(x2)| ≤ 4；
(3)若过点A(1，m) (m≠-2)可作曲线 y= f(x)的三条切线，求实数m的范围．
例⒚已知函数 f(x) = x3- x
(1)求曲线 y= f(x)在点M (t，f(t))处的切线方程
(2)设 a> 0，如果过点 (a,b)可作曲线 y= f(x)的三条切线，证明：-a< b< f(a)
题型五：三次函数的对称问题
例⒛ 1已知函数 y= 3 x
3+ x2+ x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线 l与曲线C交于不同于
P的两点M (x1，y1)、N (x2，y2)，且恒有 y1+ y2为定值 y0，则 y0的值为　　．
例21 已知函数 y= x3+ 3x2+ x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线 l与曲线C交于不同于
P的两点M (x1，y1)，N (x2，y2)，就恒有 y1+ y2的定值为 y0，则 y0的值为　　．
例22.已知函数 f(x) = x3- 9x2+ 29x- 30，实数m，n满足 f(m) =-12，f(n) = 18，则m+n= (　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
例23.已知实数 a，b分别满足 a3- 3a2+ 5a= 1，b3- 3b2+ 5b= 5，则 a+ b的值为　　．
例24.对于三次函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)，给出定义：设 f ′ (x)是函数 y= f(x)的导数，f ′′ (x)
是函数 f ′ (x)的导数，若方程 f ′′ (x) = 0有实数解 x0，则称 (x0，f(x0))为函数 y= f(x)的“拐点”．某同
学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对
1 1
称中心．给定函数 f(x) = x3- x23 2 + 3x-
5
12 ，请你根据上面探究结果，解答以下问题
(1) f(x) = 1 x3- 1函数 3 2 x
2+ 3x- 512 的对称中心为　　；
(2) f 1 2计算 2013 + f 2013 + f
3 + +f 20122013 2013 =　　．
例25.对于三次函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)，给出定义：设 f ′ (x)是函数 f(x)的导数，f ′′ (x)是函
数 f ′ (x)的导数，f ′′ (x)是函数 f(x)的导数，此时，称 f ′′ (x)为原函数 f(x)的二阶导数．若二阶导数
所对应的方程 f (x) = 0有实数解 x0，则称点 (x0，f(x0))为函数 f(x)的“拐点”．某同学经过探究发
现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
设三次函数 f(x) = 2x3- 3x2- 24x+ 12请你根据上面探究结果，解答以下问题：
①函数 f(x) = 2x3- 3x2- 24x+ 12的对称中心坐标为　　；
1 2 3 2012 2013
②计算 f 2013 + f 2013 + f 2013 + +f 2013 + f 2013 =　　．
题型六：三次函数的综合问题
例26.已知函数 f(x) = x3+ bx2+ cx+ d在 (-∞，0]上是增函数，在 [0，2]上是减函数，且方程 f(x) = 0有
3个实数根，它们分别是 α，β，2，则 α2+ β2的最小值是 (　　)
A. 5 B. 6 C. 1 D. 8
例27.已知 f(x) = x3- 6x2+ 9x- abc，a< b< c，且 f(a) = f(b) = f(c) = 0，现给出如下结论；
① f(x)≤ 1；② f(x)≥ 3；③ f(0)f(1)< 0；④ f(0)f(3)> 0；⑤ abc< 4
其中正确结论的序号是 　　．
例28.已知 f(x) = x3- 6x2+ 9x- abc，a< b< c，且 f(a) = f(b) = f(c) = 0．现给出如下结论：
① f(0)f(1)> 0；
② f(0)f(1)< 0；
③ f(0)f(3)> 0；
④ f(0)f(3)< 0；
⑤ abc< 4；
⑥ abc> 4．
其中正确结论的序号是 (　　)
A. ①③⑤ B. ①④⑥ C. ②③⑤ D. ②④⑥
例29.已知 f(x) = x3- 6x2+ 9x- abc，a< b< c，且 f(a) = f(b) = (c) = 0，现给出如下结论：
① f(0) = f(3)；
② f(0)f(1)< 0；
③ f(1)f(3)< 0；
④ a2+ b2+ c2= 18．
其中正确结论个数为 (　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
题型七：三次函数恒成立问题
例30. a已知三次函数 f(x)的导函数 f′ (x) =-3x2+ 3且 f(0) =-1，g(x) = xlnx+ x (a≥ 1)．
(1)求 f(x)的极值；
(2)求证：对任意 x1，x2∈ (0,+∞)，都有 f(x1)≤ g(x2)．
31. f(x) = 1例 已知函数 3 x
3- ax2+ (a2- 1)x+ b，其图象在点 (1，f(x))处的切线方程为 x+ y- 3= 0．
(1)求 a，b的值与函数 f(x)的单调区间；
(2)若对 x∈ [-2，4]，不等式 f(x)< c2- c恒成立，求 c的取值范围．
例32.已知函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c(x∈R)在 x=- 23 处取得极值，其图象在点 (1，f(1))处的切线与
直线 y+ 2= 0平行．
(1)求 a，b的值；
(2)若对 x∈ [-1，2]都有 f(x)< 1c 恒成立，求 c的取值范围．
例33.已知函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c 2在 x=- 3 与 x= 1时都取得极值．
(1)求 a，b的值与函数 f(x)的单调区间；
(2)若对 x∈ [c，1]，不等式 f(x)< c2 恒成立，求 c的取值范围．
例34.已知函数 f(x) = ax3+ cx+ d(a≠ 0)是R上的奇函数，当 x= 1时 f(x)取得极值-2．
(1)求 f(x)的单调区间和极大值；
(2)证明对任意 x1，x2∈ (-1,1)，不等式 | f(x1) - f(x2)|< 4恒成立．
例35.已知函数 f(x) = 2x2+ x- k，g(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)是R上的奇函数，当 x= 1时，g(x)取
得极值-2．
(1)求函数 g(x)的单调区间和极大值；
(2)若对任意 x∈ [-1，3]，都有 f(x)≤ g(x)成立，求实数 k的取值范围；
(3)若对任意 x1∈ [-1，3]，x2∈ [-1，3]，都有 f(x1)≤ g(x2)成立，求实数 k的取值范围．
36. f(x) = a x3- 3例 设函数 3 2 x
2+ (a+ 1)x+ 1，其中 a为实数．
(Ⅰ)已知函数 f(x)在 x= 1处取得极值，求 a的值；
(Ⅱ)已知不等式 f′ (x)> 2x2- x- a+ 1对 x∈ [0，1]都成立，求实数 a的取值范围．
例37. a 3设函数 f(x) = 3 x
3- 2 x
2+ (a+ 1)x+ 1，其中 a为实数．
(1)已知函数 f(x)在 x= 1处取得极值，求 a的值；
(2)已知不等式 f′ (x)> x2- x- a+ 1对任意 a∈ (0,+∞)都成立，求实数 x的取值范围．
例38.设函数 f(x) = 1 x33 + ax
2+ bx+ c(a< 0)在 x= 0处取得极值-1．
(1)设点A(-a，f(-a))，求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程．
(2)若过点 (0,0)可作曲线 y= f(x)的三条切线，求 a的取值范围；
(3)设曲线 y= f(x)在点 (x1，f(x1))，(x2，f(x2)) (x1≠ x2)处的切线都过点 (0,0)，证明：f′ (x1) ≠ f′ (x2)．
例39.已知 f(x) = x3+ bx2+ cx+ d在 (-∞,0)上是增函数，在 [0，2]上是减函数，且方程 f(x) = 0有三个
根，它们分别为 α，2，β．
(1)求 c的值；
(2)求证 f(1)≥ 2；
(3)求 |α- β|的取值范围．
例40.已知函数 f(x) = x3+ bx2+ cx+ d在 (-∞，0]上为增函数，在 [0，6]上为减函数，且方程 f(x) = 0的
三个根分别为 1，x1，x2．
(1)求实数 b的取值范围；
(2)求 x21- 4x 21x2+ x2的取值范围．
例41.已知函数 f(x) =-x3+ ax2+ b(a,b∈R)．
(Ⅰ)若 a= 1，函数 f(x)的图象能否总在直线 y= b的下方？说明理由；
(Ⅱ)若函数 f(x)在 (0,2)上是增函数，求 a的取值范围；
(Ⅲ)设 x1，x2，x3为方程 f(x) = 0的三个根，且 x1∈ (-1,0)，x2∈ (0,1)，x3∈ (-∞，-1) ∪ (1，+∞)，求
证：a> 1或 a<-1．
例42.已知函数 f(x) = 1 x33 + ax
2+ bx，且 f′ (-1) = 0．
(1)试用含 a的代数式表示 b；
(2)求 f(x)的单调区间；
(3)令 a=-1，设函数 f(x)在 x1、x2(x1< x2)处取得极值，记点M (x1，f(x1))，N (x2，f(x2))．证明：线段
MN与曲线 f(x)存在异于M，N的公共点．
【过关测试】
一、单选题
1. (2022·山东泰安·高三期中)过曲线 C : f x = x3- ax + b外一点 A 1,0 作 C的切线恰有两条，则
( )
A. a= b B. a- b= 1 C. b= a+ 1 D. a= 2b
2. (2022·河南洛阳·三模 (理))若过点 P 1,t 可作出曲线 y= x3的三条切线，则实数 t的取值范围是
( )
A. -∞,1 B. 0,+∞ C. 0,1 D. 0,1
3. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = a x3- 1 x23 2 - x a≥ 0 在区间 0,1 上不是单调函数，则
实数 a的取值范围是 ( )
A. 0,2 B. 0,1 C. 0,+∞ D. 2,+∞
4. (2022· a 1甘肃酒泉·模拟预测 (理))已知函数 f(x) = x33 - a+
2
2 x + 2x+ 1在R上单週递增，则 a=
( )
A. 12 B. 0 C. -
1
2 D. - 1
5. (2022·吉林·模拟预测 (理))若函数 f x = x3+ x2+ ax- 1是R上的单调函数，则实数 a的取值范围
( )
A. a≥ 13 B. a≤
1
3 C. a>
1
3 D. a<
1
3
6. (2022·广东·广州市玉岩中学高三期中)函数 f(x) = x3- ax在区间 (1,+∞)是增函数，则实数 a的取值
范围是 ( )
A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,3] D. [3,+∞)
7. (2022·四川省峨眉第二中学校高三阶段练习 (文))已知函数 f x = x3- ax- a为单调递增函数，求 a
的范围 ( )
A. (-3，2) B. -∞，2 C. -∞,0 D. 2,+∞
8. (2022·全国·高三课时练习)若函数 f x = x3- ax2- x+ 6在 0,1 内单调递减，则实数 a的取值范围
是 ( )
A. 1,+∞ B. 1,+∞ C. -∞,-1 D. 0,1
二、多选题
9. (2022·全国·高三专题练习)定义 f x 是 y= f x 的导函数 y= f x 的导函数，若方程 f x = 0有
实数解 x0，则称点 x0,f x0 为函数 y= f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数 f x = ax3+ bx2+
cx+ d a≠ 0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，
其中正确命题是 ( )
A. 存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B. f x = x3- 3x2- 3x+ 5 y= tan π函数 的对称中心也是函数 2 x的一个对称中心
C. 存在三次函数 h x ，方程 h x = 0有实数解 x0，且点 x0,h x0 为函数 y= h x 的对称中心
D. 1 1 5 1 2 3 2020若函数 g x = 3 23 x - 2 x - 12 ，则 g 2021 + g 2021 + g 2021 + +g 2021 =-1010
三、双空题
10. (2022·河北衡水·高三阶段练习)已知函数 f x = x3- ax+ bsinx+ 2x，f 1 = 3，则 f -1 =_____
_____，当 a= 6，b= 1时，函数 g x = f x - 2x的极值点的个数为__________．
四、填空题
11. (2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)若函数 f x = 2x3- ax2- 1 a∈R 在 -∞,0 内有且只
有一个零点，则 f x 在 -1,1 上的最大值与最小值的和为_______．
12. (2022·辽宁·辽师大附中高三阶段练习)已知过点P(0，a)可作出曲线 y= 2x3- 3x2的 3条不同的切
线，则实数 a的取值范围是_______________ .
13. (2022·陕西·长安一中高三期末 (理))已知函数 f(x) = 2x3- 3x，若过点M 1,m- 1 存在三条直线与
曲线 y= f(x)相切，则m的取值范围为___________．
14. (2022·湖北·荆州中学模拟预测)设 x= 1是函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c(x∈R)的一个极值点，则 a与
b的关系为________．
15. (2022·四川达州·一模 (理))对于三次函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)，给出定义：设 f x 是函数
y= f(x)的导数，f x 是 f x 的导数，若方程 f x = 0有实数解 x0，则称点 (x0，f(x0))为函数 g(x)
= x2- 2ax+ 3= (x- a)2+ 3- a2的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一
1
个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 g(x) = 2x 3- 3x 2+ 1，则 g 100 +
g 2 99100 + g 100 = ____________.
五、解答题
16. (2022·广东·高三阶段练习)已知函数 f x = x3+ ax2+ bx+ c在 x=-1 x= 1与 3 处都取得极值.
(1)求实数 a，b的值；
(2)若函数 f(x)有三个不同的零点，求 c的范围.
17. (2022·全国·高三专题练习 (文))设函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c ．
(1)求曲线 y= f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程；
(2)设 a= b= 4 ，若函数 f(x) 有三个不同零点，求 c的取值范围；
(3)求证：a2- 3b> 0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．
18. (2022·广东· 1 1惠来县第一中学高三阶段练习)设 f(x) = x3+ (b- 1)x23 2 - bx,x∈R
(1)当 b= 1时，求 f(x)的单调区间；
(2)当 f(x)在R上有且仅有一个零点时，求 b的取值范围.
19. (2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习)已知函数 f x =-x3+ 3x+ a，a∈R．
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)求函数 f x 的极值．
20.(2022·黑龙江·大庆外国语学校高三期末)已知函数 f x = x3+ ax2- a2x+m(a> 0)．
(1)若 a= 1时函数 f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
(2)若对任意的 a∈ 3,6 ，不等式 f x ≤ 1在 -2,2 上恒成立，求实数m的取值范围．
21. (2022·安徽师范大学附属中学高三期中)设函数 f(x) = 13 x
3+ x2- 3x．
(1)求函数 f x 的单调区间和极值；
(2)求函数 f x 在 -1,3 上的最值．
22.(2022·北京八十中高三期中)已知函数 f(x) =- 13 x
3+ 12 ax
2+ 2a2x+ 3(a∈R)，f x 为函数 f(x)的
导函数
(1)若 x=-1为函数 f(x)的极值点，求实数 a的值；
(2)f(x)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数 a的取值范围；
(3)对任意 0< a≤ 12 时，任意实数 x1,x2∈ -1,2 ，都有 f(x1) + f
(x2) - 3≥M+ 7a- 203 恒成立，求
实数M的最大值.三次函数的图象和性质
【考点预测】
知识点一.基本性质
设三次函数为：f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a、b、c、d∈R且 a≠ 0)，其基本性质有：
性质１：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
a> 0 a< 0
Δ> 0 Δ≤ 0 Δ> 0 Δ≤ 0
图
像
性质２：三次方程 f(x) = 0的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三
次函数为例来研究根的情况，设三次函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)
其导函数为二次函数:f (x) = 3ax2+ 2bx+ c(a≠ 0)，
判别式为：△= 4b2- 12ac= 4(b2- 3ac)，设 f (x) = 0的两根为 x1、x2，结合函数草图易得：
(1) 若 b2- 3ac≤ 0，则 f(x) = 0恰有一个实根；
(2) 若 b2- 3ac> 0,且 f(x1) f(x2)> 0，则 f(x) = 0恰有一个实根；
(3) 若 b2- 3ac> 0,且 f(x1) f(x2) = 0，则 f(x) = 0有两个不相等的实根；
(4) 若 b2- 3ac> 0,且 f(x1) f(x2)< 0，则 f(x) = 0有三个不相等的实根.
说明:(1) (2)f(x) = 0含有一个实根的充要条件是曲线 y= f(x)与 x轴只相交一次，即 f(x)在R上为
单调函数 (或两极值同号)，所以 b2- 3ac≤ 0(或 b2- 3ac> 0，且 f(x1) f(x2)> 0);
(3)f(x) = 0有两个相异实根的充要条件是曲线 y= f(x)与 x轴有两个公共点且其中之一为切点，所
以 b2- 3ac> 0，且 f(x1) f(x2) = 0;
(4)f(x) = 0有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y= f(x)与 x轴有三个公共点，即 f(x)有一个极
大值，一个极小值，且两极值异号.所以 b2- 3ac> 0且 f(x1) f(x2)< 0.
性质３：对称性
(1) b b三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； - 3a，f - 3a ；
(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
【方法技巧与总结】
1.其导函数为 f (x) = 3ax2+ 2bx+ c= 0 对称轴为 x=- b3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数
的对称轴，可见，y= f(x)图象的对称中心在导函数 y= f x 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，
同时也是二阶导为零的点；
2.y= f(x)是可导函数，若 y= f(x)的图象关于点 (m,n)对称，则 y= f (x)图象关于直线 x=m
对称.
3.若 y= f(x)图象关于直线 x=m对称，则 y= f (x)图象关于点 (m,0)对称.
4.已知三次函数 f x = ax3+ bx2+ cx+ d的对称中心横坐标为 x0，若 f x 存在两个极值点 x1，x2，则
f x1 - f x2 =- a有 x - x 2 x1- x
2
2 = 2 3 f x0 . 1 2
【题型归纳目录】
题型一：三次函数的零点问题
题型二：三次函数的最值、极值问题
题型三：三次函数的单调性问题
题型四：三次函数的切线问题
题型五：三次函数的对称问题
题型六：三次函数的综合问题
题型七：三次函数恒成立问题
【典例例题】
题型一：三次函数的零点问题
例⒈若 a> 2，则函数 f(x) = 1 x3- ax23 + 1在区间 (0,2)上恰好有 (　　)
A. 0个零点 B. 1个零点 C. 2个零点 D. 3个零点
【解析】解：由已知得：f′ (x) = x(x- 2a)，由于 a> 2，
故当 0< x< 2 时 f′ (x)< 0，
即函数为区间 (0,2)上的单调递减函数，
又当 a> 2 时
f(0)f(2) = 113 - 4a< 0，
故据二分法及单调性可知函数在区间 (0,2)上有且只有一个零点．
故选：B．
例⒉设 a为实数，函数 f(x) =-x3+ 3x+ a．
(1)求 f(x)的极值；
(2)若 y= f(x)恰好有两个零点，求 a的值．
【解析】解：(1)令 f (x) =-3x2+ 3= 0 得 x=±1，
当 x<-1 时，f (x)< 0，当-1< x< 1 时，f (x)> 0，当 x> 1 时，f (x)< 0，
故 f(x)极小值= f -1 = a- 2，f(x)极大值= f(1) = a+ 2．
(2) ∵当极大值或极小值为零时，y= f(x)恰有两个零点，
∴ a- 2= 0 或 a+ 2= 0，解得 a= 2 或 a=-2．
例⒊已知函数 f(x) = 13 x
3- ax2+ 1(a∈R)．
(Ⅰ)若 a> 0，函数 y= f(x)在区间 (a,a2- 3)上存在极值，求 a的取值范围；
(Ⅱ)若 a> 2，求证：函数 y= f(x)在 (0,2)上恰有一个零点．
【解析】(Ⅰ)解：由已知 f (x) = x2- 2ax= x(x- 2a)
令 f (x) = 0，解得 x= 0 或 x= 2a，
∵ a> 0，∴ x= 0 不在 (a,a2- 3)内
要使函数 y= f(x)在区间 (a,a2- 3)上存在极值，只需 a< 2a< a2- 3
解得 a> 3 (6 分)
(Ⅱ)证明：∵ a> 2，∴ 2a> 4，∴ f (x)< 0 在 (0,2)上恒成立，
即函数 y= f(x)在 (0,2)内单调递减，
又 f(0) = 1> 0,f(2) = 11- 12a3 < 0，
∴函数 y= f(x)在 (0,2)上恰有一个零点 (12 分)
例⒋ 1已知函数 f(x) = x33 + ax，g(x) =-x
2- a(a∈R)．
(Ⅰ)若函数F(x) = f(x) - g(x)在 x∈ [1，+∞)上单调递增，求 a的最小值；
(Ⅱ)若函数G(x) = f(x) + g(x)的图象与 x轴有且只有一个交点，求 a的取值范围．
【解析】解：(Ⅰ)F(x) = f(x) - g(x) = 1 x33 + ax+ x
2+ a，F′ (x) = x2+ 2x+ a
因函数F(x) = f(x) - g(x)在 x∈ [1，+∞)上单调递增，
所以F′ (x) = x2+ 2x+ a≥ 0 在 x∈ [1，+∞)恒成立，即 a≥-3，
∴ a的最小值为-3．---------- (5 分)
(Ⅱ)G(x) = f(x) + g(x) = 1 33 x - x
2+ ax- a
∵G (x) = x2- 2x+ a，∴△= 4- 4a= 4(1- a)．
①若 a≥ 1，则△≤ 0，∴G (x)≥ 0 在R上恒成立，
∴G(x)在R上单调递增．∵G(0) =-a< 0，G(3) = 2a> 0，
∴当 a≥ 1 时，函数G(x)的图象与 x轴有且只有一个交点．---------- (9 分)
②若 a< 1，则△> 0，
∴G (x) = 0 有两个不相等的实数根，不妨设为 x1，x2，(x1< x2)．
∴ x1+ x2= 2，x1x2= a．
当 x变化时，G′ (x)，G(x)的取值情况如下表：
x (-∞,x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)
G (x) + 0 - 0 +
G(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∵ x21- 2x1+ a= 0，---------- (12 分)
∴ a=-x21+ 2x1．
∴G(x1) = 13 x
3 2
1- x1+ ax1- a
= 13 x
3 2
1- x1+ ax1+ x21- 2x1
= 1 33 x1+ (a- 2)x1
= 1 23 x1[x1+ 3(a- 2)]
同理G(x 1 22) = 3 x2[x2+ 3(a- 2)]．
∴G(x ) G(x ) = 11 2 9 x1x2[x
2 2
1+ 3(a- 2)] [x2+ 3(a- 2)]
= 19 (x
2
1x2) [(x1x2) + 3(a- 2) (x21+ x22) + 9(a- 2)2]
= 19 a a
2+ 3(a- 2) [(x1+ x2)2- 2x1x2]+ 9(a- 2)2
= 4 a(a29 - 3a+ 3)．
令G(x1)G(x2)> 0，解得 a> 0．
而当 0< a< 1 时，G(0) =-a< 0，G(3) = 2a> 0，
故当 0< a< 1 时，函数 f(x)的图象与 x轴有且只有一个交点．
综上所述，a的取值范围是 (0,+∞)．------------------ (15 分)
例⒌已知函数 f(x) = 13 x
3- ax2+ b在 x=-2处有极值．
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数 f(x)在区间 [-3，3]上有且仅有一个零点，求 b的取值范围．
【解析】解：(Ⅰ)f′ (x) = x2- 2ax
由题意知：f′ (-2) = 4+ 4a= 0，得 a=-1，
∴ f′ (x) = x2+ 2x，
令 f′ (x)> 0，得 x<-2 或 x> 0，
令 f′ (x)< 0，得-2< x< 0，
∴ f(x)的单调递增区间是 (-∞,-2)和 (0,+∞)，
单调递减区间是 (-2,0)．
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，f(x) = 1 x3+ x23 + b，
f(-2) = 43 + b为函数 f(x)极大值，f(0) = b为极小值．
∵函数 f(x)在区间 [-3，3]上有且仅有一个零点，
∴ f(-3)≤ 0 f(3)≥ 0 f(-3)> 0 f(-2) = 0 f(-3)> 0 f(0)> 或0 f(-2)< 或 或0 f(3)< 0 f(3)< 或0 ( ) = ，f 0 0
18+ b≥ 0
即 4 ，3 + b< 0
∴-18≤ b<- 43 ，即 b的取值范围是
4
-18,- 3 ．
题型二：三次函数的最值、极值问题
例⒍已知函数 f(x) = x3+ 3bx2+ cx+ d在 (-∞,0)上是增函数，在 (0,2)上是减函数，且 f(x) = 0的一个
根为-b
(Ⅰ)求 c的值；
(Ⅱ)求证：f(x) = 0还有不同于-b的实根 x1、x2，且 x1、-b、x2成等差数列；
(Ⅲ)若函数 f(x)的极大值小于 16，求 f(1)的取值范围．
【解析】(Ⅰ)解：求导函数，可得 f (x) = 3x2+ 6bx+ c
∵函数 f(x) = x3+ 3bx2+ cx+ d在 (-∞,0)上是增函数，在 (0,2)上是减函数，
∴ x= 0 是极大值点，
∴ f (0) = 0，∴ c= 0 (2 分)
(Ⅱ)证明：令 f (x) = 0，得 x= 0 或-2b
由 f(x)的单调性知-2b≥ 2，∴ b≤-1
∵-b是方程 f(x) = 0 的一个根，则 (-b)3+ 3b(-b)2+ d= 0 d=-2b3
∴ f(x) = x3+ 3bx2- 2b3= (x+ b) (x2+ 2bx- 2b2) (4 分)
方程 x2+ 2bx- 2b2= 0 的根的判别式△= 4b2- 4(-2b2) = 12b2> 0
又 (-b)2+ 2b(-b) - 2b2=-3b2≠ 0，
即-b不是方程 x2+ 2bx- 2b2= 0 的根，∴ f(x) = 0 有不同于-b的根 x1、x2．
∵ x1+ x2=-2b，∴ x1、-b、x2成等差数列 (8 分)
(Ⅲ)解：根据函数的单调性可知 x= 0 是极大值点
∴ f(0)< 16 -2b3< 16，∴ b>-2，于是-2< b≤-1
令 g(b) = f(1) =-2b3+ 3b+ 1
求导 g (b) =-6b2+ 3- 2< b≤-1 时，g (b)< 0，
∴ g(b)在 (-2，-1]上单调递减
∴ g(-1)≤ g(b)< g(-2)
即 0≤ f(1)< 11 (14 分)
例⒎ 2已知函数 f(x) = x3- 2x23 + (2- a)x+ 1，其中 a> 0．
(Ⅰ)若 a= 2，求曲线 y= f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 f(x)在区间 [2，3]上的最小值．
【解析】解：(Ⅰ)f(x)的定义域为R，且 f′ (x) = 2x2- 4x+ 2- a．
当 a= 2 时，f(1) = 23 - 2+ 1=-
1
3 ，f′ (1) = 2- 4=-2，
所以曲线 y= f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程为 y+ 13 =-2(x- 1)，
即 6x+ 3y- 5= 0．
(Ⅱ)解：方程 f′ (x) = 0 的判别式△= 8a> 0，
令 f′ (x) = 0，得 x = 1- 2a1 2 ，或 x2= 1+
2a
2 ． f(x)和 f′ (x)的情况如下：
x (-∞,x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)
f′ (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ ↗
故 f(x)的单调增区间为 -∞,1- 2a ， 1+ 2a2 2 ,+∞ ；单调减区间为 1-
2a
2 ,1+
2a
2 ．
①当 0< a≤ 2 时，x2≤ 2，此时 f(x)在区间 (2,3)上单调递增，
所以 f(x)在区间 [2，3]上的最小值是 f(2) = 23 × 2
3- 2× 22+ (2- a) × 2+ 1= 73 - 2a．
②当 2< a< 8 时，x1< 2< x2< 3，此时 f(x)在区间 (2,x2)上单调递减，在区间 (x2，3)上单调递增，
3 2
所以 f (x ) 在区间 [2，3] 上的最小值是 f (x 2 ) = 2 × 1+ 2a3 2 - 2 × 1+
2a
2 + (2 - a )
1+ 2a2 + 1=
5
3 - a-
a 2a
3 ．
③当 a≥ 8 时，x1< 2< 3≤ x2，此时 f(x)在区间 (2,3)上单调递减，
所以 f(x)在区间 [2，3]上的最小值是 f(3) = 23 × 3
3- 2× 32+ (2- a) × 3+ 1= 7- 3a．
综上，当 0< a≤ 2 时，f(x)在区间 [2，3]上的最小值是 73 - 2a；
当 2< a< 8 时，f(x)在区间 [2，3]上的最小值是 5 - a- a 2a3 3 ；
当 a≥ 8 时，f(x)在区间 [2，3]上的最小值是 7- 3a．
例⒏已知函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c 2在 x=- 3 与 x= 1时都取得极值．
(1)求 a、b的值与函数 f(x)的单调区间；
(2)若 x∈ [-1，2]，求 f(x)的最大值．
【解析】解：(1)f(x) = x3+ ax2+ bx+ c，f (x) = 3x2+ 2ax+ b(1 分)
由 f - 2 12 4 3 = 9 - 3 a+ b= 0，f (1) = 3+ 2a+ b= 0 得 (3 分)
解得：a=- 12 ，b=-2(4 分)，x∈ -∞,-
2
3 与 (1,+∞)时，f′ (x)> 0，
x∈ - 23 ,1 时，f′ (x)< 0，
所以函数 f(x)的递增区间是 -∞,- 23 与 (1,+∞)递减区间是 -
2
3 ,1 (6 分)
(2)f(x) = x3- 1 x22 - 2x+ c，x∈ (-1,2)，
由 (1)可知：当 x=- 23 时，f(x) =
22
27 + c为极大值 (8 分)，
而 f(2) = 2+ c(10 分)，
则 f(2) = 2+ c是函数的最大值 (12 分)．
例⒐已知函数 f(x) = 13 x
3- x2+ ax- a(a∈R)．
(1)当 a=-3时，求函数 f(x)的极值；
(2)设 g(x) = f(x) + f′ (x) + ax2，若函数 g(x)在区间 (-1,1)有极值，求 a的取值范围；
(3)若函数 f(x)的图象与 x轴有且只有一个交点，求 a的取值范围．
【解析】解：(1)当 a=-3 时，f(x) = 13 x
3- x2- 3x+ 3，
∴ f (x) = x2- 2x- 3= (x- 3) (x+ 1)．令 f (x) = 0，得 x1=-1，x2= 3．
当 x<-1 时，f′ (x)> 0，则 f(x)在 (-∞,-1)上单调递增；
当-1< x< 3 时，f′ (x)< 0，则 f(x)在 (-1,3)上单调递减；
当 x> 3 时，f′ (x)> 0，f(x)在 (3,+∞)上单调递增；
∴当 x=-1 时，f(x)取得极大值为：f(-1) =- 13 - 1+ 3+ 3=
14
3 ；
当 x= 3 时，f(x)取得极小值为：f(3) = 13 × 27- 9- 9+ 3=-6．
(2) ∵ g(x) = 13 x
3+ ax2+ (a- 2)x,g (x) = x2+ 2ax+ a- 2
问题转化为方程 g′ (x) = 0 在区间 (-1,1)内有解，
△= 4a
2- 4(a- 2)> 0

∴ ′ (- ) ′ ( )< 或 -1<-a< 1g 1 g 1 0
g′ (1) = 3a- 1>
，
0
g′ (-1) =-a- 1> 0
解得 a<-1 或 a> 13 ，
故 a的取值范围为：(-∞，-1) ∪ 13 ，+∞ ．
(3) ∵ f (x) = x2- 2x+ a，∴△= 4- 4a= 4(1- a)．
①若 a≥ 1，则△≤ 0，∴ f (x)≥ 0 在R上恒成立，
∴ f(x)在R上单调递增．∵ f(0) =-a< 0，f(3) = 2a> 0，
∴当 a≥ 1 时，函数 f(x)的图象与 x轴有且只有一个交点．
②若 a< 1，则△> 0，
∴ f (x) = 0 有两个不相等的实数根，不妨设为 x1，x2，(x1< x2)．
∴ x1+ x2= 2，x1x2= a．
当 x变化时，f′ (x)，f(x)的取值情况如下表：
x (-∞,x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)
f (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∵ x21- 2x1+ a= 0，
∴ a=-x2+ 2x ．∴ f(x ) = 1 x3- x2+ ax - a= 1 x3 21 1 1 3 1 1 1 3 1- x1+ ax1+ x
2
1- 2x 1 31= 3 x1+ (a- 2)x
1
1= 3 x1
[x21+ 3(a- 2)]，
同理 f(x ) = 1 x [x22 3 2 2+ 3(a- 2)]．
∴ f(x1) f(x2) = 19 x1x2[x
2
1+ 3(a- 2)] [x22+ 3(a- 2)] = 19 (x1x2) [(x1x
2
2) + 3(a- 2) (x2+ x21 2) + 9(a-
2)2]
= 1 29 a a + 3(a- 2) [(x1+ x2)
2- 2x1x2]+ 9(a- 2)2 = 4 a(a29 - 3a+ 3)．
令 f(x1) f(x2)> 0，解得 a> 0．
而当 0< a< 1 时，f(0) =-a< 0，f(3) = 2a> 0，
故当 0< a< 1 时，函数 f(x)的图象与 x轴有且只有一个交点．
综上所述，a的取值范围是 (0,+∞)．
题型三：三次函数的单调性问题
例⒑已知三次函数 f(x) = 1 33 x - (4m- 1)x
2+ (15m2- 2m- 7)x+ 2在 x∈ (-∞,+∞)上是增函数，则m
的取值范围为　　．
【解析】解：f′ (x) = x2- 2(4m- 1)x+ (15m2- 2m- 7)，
∵函数 f(x) = 1 x3- (4m- 1)x23 + (15m
2- 2m- 7)x+ 2 在 x∈ (-∞,+∞)上是增函数，
∴ f′ (x) = x2- 2(4m- 1)x+ (15m2- 2m- 7)≥ 0 恒成立．
∴判别式△= 4(4m- 1)2- 4(15m2- 2m- 7)≤ 0，
整理得，m2- 6m+ 8≤ 0，
解得，2≤m≤ 4，
故答案为：[2，4]
例⒒三次函数 f(x) =mx3- x在 (-∞,+∞)上是减函数，则m的取值范围是 (　　)
A. m< 0 B. m< 1 C. m≤ 0 D.m≤ 1
【解析】解：对函数 f(x) =mx3- x求导，得 f′ (x) = 3mx2- 1
∵函数 f(x)在 (-∞,+∞)上是减函数，
∴ f′ (x)≤ 0 在R上恒成立
即 3mx2- 1≤ 0 恒成立，
∴ 3m< 0 △= ≥ ，解得m≤ 0，12m 0
又∵当m= 0 时，f(x) =-x不是三次函数，不满足题意，
∴m< 0
故选：A．
例⒓ f(x) = 1已知函数 3 x
3- 12mx
2+ 4x- 3在区间 [1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为 (　　)
A. 4≤m≤ 5 B. 2≤m≤ 4 C. m≤ 2 D.m≤ 4
【解析】解：函数 f(x) = 1 3 1 23 x - 2mx + 4x- 3，
可得 f′ (x) = x2-mx+ 4，函数 f(x) = 13 x
3- 1 22mx + 4x- 3 在区间 [1，2]上是增函数，
可得 x2-mx+ 4≥ 0，在区间 [1，2]上恒成立，
可得m≤ x+ 4x，x+
4
x ≥ 2 x
4
x = 4，当且仅当 x= 2，时取等号、
可得m≤ 4．
故选：D．
例⒔已知函数 f(x) = x3+ x2- ax+ a在R上为单调递增函数，则实数 a的取值范围为 (　　)
A. -∞ - 1， 3 B. -∞,
2
3 C. -∞,
1
3 D. -∞,
2
3
【解析】解：依题意，f′ (x) = 3x2+ 2x- a≥ 0 在R上恒成立，
∴△= 4+ 12a≤ 0，解得 a≤- 13 ，即实数 a的取值范围为 -∞,-
1
3 ．
故选：A．
题型四：三次函数的切线问题
例⒕已知函数 f(x) = x3- x．
(I)求曲线 y= f(x)在点M (t，f(t))处的切线方程；
(II)设常数 a> 0，如果过点P(a,m)可作曲线 y= f(x)的三条切线，求m的取值范围．
【解析】解：(Ⅰ) ∵函数 f(x) = x3- x，
∴ f (x) = 3x2- 1．
切线方程为 y- f(t) = f (t) (x- t)，
即 y= (3t2- 1)x- 2t3．
(Ⅱ)已知 关于 t的方程m= (3t2- 1)a- 2t3
即m=-2t3+ 3at2- a(a> 0)有三个不等实根．
令 g(t) =-2t3+ 3at2- a，则 g (t) =-6t(t- a)．
可知 g(t)在 (-∞,0)递减，
在 (0,a)递增，在 (a,+∞)递减，
g(t)的极小值为：g(0) =-a，极大值为 g(a) = a3- a．
结合图象知m∈ (-a,a3- a)．
例⒖ 3已知函数 f(x) = ax3- 3x2+ 1- a (a≠ 0)．
(Ⅰ) 1若 f(x)的图象在 x=-1处的切线与直线 y=- 3 x+ 1垂直，求实数 a的取值；
(Ⅱ)求函数 y= f(x)的单调区间；
(Ⅲ)若 a= 1时，过点M (2，m) (m≠-6)，可作曲线 y= f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】解：(Ⅰ)f (x) = 3ax2- 6x= 3ax x- 2 ，f a (-1) = 3a+ 6= 3，得 a=-1．
(Ⅱ)当 a> 0 时，2a > 0，
由 f′ (x)> 0 解得 x< 0，或 x> 2a，
由 f′ (x)< 0 解得 0< x< 2a，
所以 f(x)在区间 (-∞,0)， 2a，+∞ 上单调递增，在区间 0,
2
a 上单调递减．
当 a< 0 时，2a < 0，
由 f′ (x)> 0 解得 2a < x< 0
由 f′ (x)< 0 解得 x< 2a，或 x> 0．
所以 f(x)在区间 2a ,0 上单调递增，在区间 -∞,
2
a ，(0,+∞)上单调递减．
(Ⅲ) ∵点M (2，m) (m≠-6)不在曲线 y= f(x)上，
∴设切点为 (x0，y0)．则 y0= x30- 3x20- 2．
∵ f (x ) = 3x20 0- 6x0，∴切线的斜率为 3x20- 6x0．
x3- 3x2则 - 2-m3x20- 6x 0 0 30= x - 2 ，即 2x0- 9x
2
0+ 12x0+ 2+m= 0．
0
因为过点M (2，m) (m≠-6)，可作曲线 y= f(x)的三条切线，
所以方程 2x3 20- 9x0+ 12x0+ 2+m= 0 有三个不同的实数解．
即函数 g(x) = 2x3- 9x2+ 12x+ 2+m有三个不同的零点．
则 g (x) = 6x2- 18x+ 12= 6(x2- 3x+ 2) = 6(x- 2) (x- 1)．
令 g (x) = 0，解得 x= 1 或 x= 2．
x (-∞,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)
g (x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ g(1)> 0 即 7+m> 0 g(2)< 0 + < 解得-7例⒗已知定义在R上的函数 f(x) = ax3- 3x，a为常数，且 x= 1是函数 f(x)的一个极值点．
(Ⅰ)求 a的值；
(Ⅱ)若函数 g(x) = f(x) + f (x) - 6，x∈R，求 g(x)的单调区间；
(Ⅲ)过点A(1，m) (m≠-2)可作曲线 y= f(x)的三条切线，求m的取值范围．
【解析】解：(Ⅰ)f′ (x) = 3(ax2- 1)，x= 1 是函数 f(x)的一个极值点，则 f′ (1) = 0，
∴ a- 1= 0，∴ a= 1．
又 f (x) = 3(x+ 1) (x- 1)，函数 f(x)在 x= 1 两侧的导数异号，
∴ a= 1． (2 分)
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，g(x) = f(x) + f′ (x) - 6= x3+ 3x2- 3x- 9．
则 g′ (x) = 3(x2+ 2x- 1)，令 g′ (x) = 0，得 x2+ 2x- 1= 0，∴ x1=-1- 2,x2=-1+ 2．
随 x的变化，g′ (x)与 g(x)的变化如下：
x (-∞,-1- -1- 2 (-1- 2,-1+ -1+ 2 (-1+ 2,
2) 2) +∞)
g′ (x) + 0 - 0 +
g(x) 极大值 极小值
所以函数 g(x)的单调增区间为 (-∞,-1- 2)和 (-1+ 2,+∞)，单调减区间为 (-1- 2,-1+
2)． (8 分)
3
(Ⅲ)f ′ (x) = 3(x2- 1) y -m，设切点为 x - 3x -mT(x ，y )，则切线的斜率为 k= 3x2- 3= 0 0 00 0 0 x = ， 0- 1 x- 1
(9 分)
整理得 2x3- 3x2+m+ 3= 0，依题意，方程有 3 个根． (10 分)
设 h(x) = 2x3- 3x2+m+ 3，则 h′ (x) = 6x2- 6x= 6x(x- 1)．
令 h′ (x) = 0，得 x1= 0，x2= 1，则 h(x)在区间 (-∞,0)，[1，+∞)上单调递增，
在区间 (0,1)上单调递减． (11 分)
因此， h(0) =m+ 3> 0 ，解得-3例⒘ 1 a设函数 f(x) = x3 23 - 2 x + bx+ c，其中 a> 0．曲线 y= f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为 y=
1．
(1)确定 b，c的值；
(2)若过点 (0,2)可作曲线 y= f(x)的三条不同切线，求实数 a的取值范围．
【解析】解：(1)因为函数 f(x) = 1 x3- a x23 2 + bx+ c，所以导数 f
(x) = x2- ax+ b，
又因为曲线 y= f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为 y= 1，
所以 f(0) = 1，f (0) = 0，即 b= 0，c= 1．
(2)由 (1)知 f(x) = 1 33 x -
a x22 + 1，f
(x) = x2- ax，
设切点为 (x0，y0)，
则 y = f(x ) = 1 x3- a x20 0 3 0 2 0+ 1，
切线的斜率为 k= f (x0) = x20- ax0
所以切线方程为 y- y0= k(x- x0)，
因为切线经过点 (0,2)，所以 2- y0=-kx0，
即 2- 1 x3- a x23 0 2 0+ 1 =- (x
2
0- ax0)x0
化简得：4x30- 3ax20+ 6= 0 ①，
因为过点 (0,2)可作曲线 y= f(x)的三条不同切线，
所以①有三个不同的实根．
即函数 g(x) = 4x3- 3ax2+ 6 有三个不同的零点．
导数 g (x) = 12x2- 6ax= 0 得 x= 0，或 x= a2 (a> 0)
可知只要极小值 g a < 0 即 4× a
3 2
2 8 - 3a
a
4 + 6< 0，
所以 a> 2 3 3．
故实数 a的取值范围是 (2 3 3,+∞)
例⒙已知函数 f(x) = ax3+ bx2- 3x在 x=±1处取得极值
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)求证：对于区间 [-1，1]上任意两个自变量的值 x1，x2，都有 | f(x1) - f(x2)| ≤ 4；
(3)若过点A(1，m) (m≠-2)可作曲线 y= f(x)的三条切线，求实数m的范围．
【解析】解：(1)f′ (x) = 3ax2+ 2bx- 3，依题意，f′ (1) = f′ (-1) = 0，解得 a= 1，b= 0．
∴ f(x) = x3- 3x
(2) ∵ f(x) = x3- 3x，∴ f′ (x) = 3x2- 3= 3(x+ 1) (x- 1)，
当-1< x< 1 时，f′ (x)< 0，故 f(x)在区间 [-1，1]上为减函数，
fmax(x) = f(-1) = 2，fmin(x) = f(1) =-2
∵对于区间 [-1，1]上任意两个自变量的值 x1，x2，
都有 | f(x1) - f(x2)| ≤ | fmax(x) - fmin(x)|
| f(x1) - f(x2)| ≤ | fmax(x) - fmin(x)| = 2- (-2) = 4
(3)f′ (x) = 3x2- 3= 3(x+ 1) (x- 1)，
∵曲线方程为 y= x3- 3x，∴点A(1,m)不在曲线上．
3
设切点为M (x ，y )，切线的斜率为 3(x2- 1) = x0- 3x0-m0 0 0 x - 1 (左边用导数求出，右边用斜率的两点式0
求出)，
整理得 2x30- 3x20+m+ 3= 0．
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的
条件
设 g(x0) = 2x30- 3x20+m+ 3，则 g′ (x0) = 6x20- 6x0，
由 g′ (x0) = 0，得 x0= 0 或 x0= 1．
∴ g(x0)在 (-∞,0)，(1,+∞)上单调递增，在 (0,1)上单调递减．
∴函数 g(x0) = 2x30- 3x20+m+ 3 的极值点为 x0= 0，x0= 1
∴关于 x0方程 2x3- 3x2
g(0)> 0
0 0+m+ 3= 0 有三个实根的充要条件是 g(1)< ，解得-3故所求的实数m的取值范围是-3例⒚已知函数 f(x) = x3- x
(1)求曲线 y= f(x)在点M (t，f(t))处的切线方程
(2)设 a> 0，如果过点 (a,b)可作曲线 y= f(x)的三条切线，证明：-a< b< f(a)
【解析】解：(1)求函数 f(x)的导函数；f (x) = 3x2- 1．
曲线 y= f(x)在点M (t，f(t))处的切线方程为：y- f(t) = f (t) (x- t)，即 y= (3t2- 1)x- 2t3；
(2)如果有一条切线过点 (a,b)，则存在 t，使 b= (3t2- 1)a- 2t3．
于是，若过点 (a,b)可作曲线 y= f(x)的三条切线，则方程 2t3- 3at2+ a+ b= 0 有三个相异的实数根．
记 g(t) = 2t3- 3at2+ a+ b，则 g (t) = 6t2- 6at= 6t(t- a)．
当 t变化时，g(t)，g (t)变化情况如下表：
t (-∞,0) 0 (0,a) a (a,+∞)
g′ (t) + 0 - 0 +
g(t) 极大值 a+ b 极小值 b- f(a)
由 g(t)的单调性，当极大值 a+ b< 0 或极小值 b- f(a)> 0 时，方程 g(t) = 0 最多有一个实数根；
当 a+ b= 0 时，解方程 g(t) = 0 得 t= 0,t= 3a2 ，即方程 g(t) = 0 只有两个相异的实数根；
当 b- f(a) = 0 时，解方程 g(t) = 0 得 t=- a2 ,t= a，即方程 g(t) = 0 只有两个相异的实数根．
综上，如果过 (a,b)可作曲线 y= f(x)三条切线，即 g(t) = 0 有三个相异的实数根，则 a+ b> 0 b- f(a)< 0.
即-a< b< f(a)．
题型五：三次函数的对称问题
例⒛已知函数 y= 1 x3+ x23 + x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线 l与曲线C交于不同于
P的两点M (x1，y1)、N (x2，y2)，且恒有 y1+ y2为定值 y0，则 y0的值为　　．
【解析】解：y′ = x2+ 2x+ 1= (x+ 1)2≥ 0，
函数 y= 1 x33 + x
2+ x单调递增，f′ (-1) = 0
则原函数关于P对称，f(-1) =- 13 ，
所以定点P -1,- 13 ，y1+ y2=-
2
3
于是 y 20=- 3 ．
故答案为：- 23 ．
例21 已知函数 y= x3+ 3x2+ x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线 l与曲线C交于不同于
P的两点M (x1，y1)，N (x2，y2)，就恒有 y1+ y2的定值为 y0，则 y0的值为　　．
【解析】解：∵P为定点，y1+ y2为定值，
∴MN两点关于P点对称
y′ = 3x2+ 6x+ 1，y′′ = 6x+ 6
三次函数的对称中心的二阶导数为 0
y′′ = 6x+ 6= 0
∴ x=-1
故P点为 (-1,1)
∴ y1+ y2= 2
故答案为：2
例22.已知函数 f(x) = x3- 9x2+ 29x- 30，实数m，n满足 f(m) =-12，f(n) = 18，则m+n= (　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【解析】解：∵函数 f(x) = x3- 9x2+ 29x- 30，
∴ f(x) = (x- 3)3+ 2(x- 3) + 3，
∴函数 f(x)关于 (3,3)对称
∵实数m，n满足 f(m) =-12，f(n) = 18，
∴ 12 [ f(n) + f(m)]= 3，
根据对称性，得 12 (m+n) = 3，
解得m+n= 6．
故选：A．
例23.已知实数 a，b分别满足 a3- 3a2+ 5a= 1，b3- 3b2+ 5b= 5，则 a+ b的值为　　．
【解析】解：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．
将已知等式变形为 (a- 1)3+ 2(a- 1) =-2，(b- 1)3+ 2(b- 1) = 2，
构造函数 f(x) = x3+ 2x，
∵ f(-x) =-f(x)，
∴ f(x)是奇函数
∵ f′ (x) = 3x2+ 2> 0
∴ f(x)单调递增
∴ f(x)是一个单调递增的奇函数，
因为 f(a- 1) =-2，f(b- 1) = 2
所以 f(a- 1) =-f(b- 1) = f(1- b)，
从而有 a- 1= 1- b，a+ b= 2
故答案为 2
例24.对于三次函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)，给出定义：设 f ′ (x)是函数 y= f(x)的导数，f ′′ (x)
是函数 f ′ (x)的导数，若方程 f ′′ (x) = 0有实数解 x0，则称 (x0，f(x0))为函数 y= f(x)的“拐点”．某同
学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对
1 1 5
称中心．给定函数 f(x) = 3 x
3- 2 x
2+ 3x- 12 ，请你根据上面探究结果，解答以下问题
(1) f(x) = 1 x3- 1 x2+ 3x- 5函数 3 2 12 的对称中心为　　；
(2)计算 f 12013 + f
2 3 2012
2013 + f 2013 + +f 2013 =　　．
【解析】解：(1) ∵ f(x) = 1 3 1 23 x - 2 x + 3x-
5
12 ，
∴ f′ (x) = x2- x+ 3，f (x) = 2x- 1，
令 f (x) = 2x- 1= 0，得 x= 12 ，
∵ f 1 1 1
3
= × - 1
2
2 3 2 2 ×
1
2 -
5
12 + 3×
1
2 = 1，
∴ f(x) = 1 x3- 1 x23 2 + 3x-
5
12 的对称中心为
1
2 ，1 ，
(2) ∵ f(x) = 1 x3- 1 x2+ 3x- 53 2 12 的对称中心为
1
2 ，1 ，
∴ f(x) + f(1- x) = 2，
∴ f 1 + f 2 + f 3 + +f 20122013 2013 2013 2013 = 2× 1006= 2012．
故答案为： 12 ，1 ，2012．
例25.对于三次函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)，给出定义：设 f ′ (x)是函数 f(x)的导数，f ′′ (x)是函
数 f ′ (x)的导数，f ′′ (x)是函数 f(x)的导数，此时，称 f ′′ (x)为原函数 f(x)的二阶导数．若二阶导数
所对应的方程 f (x) = 0有实数解 x0，则称点 (x0，f(x0))为函数 f(x)的“拐点”．某同学经过探究发
现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
设三次函数 f(x) = 2x3- 3x2- 24x+ 12请你根据上面探究结果，解答以下问题：
①函数 f(x) = 2x3- 3x2- 24x+ 12的对称中心坐标为　　；
f 1 + f 2 + f 3 + +f 2012 + f 2013②计算 2013 2013 2013 2013 2013 =　　．
【解析】解：①由 f(x) = 2x3- 3x2- 24x+ 12，得 f′ = 6x2- 6x- 24，f (x) = 12x- 6．
由 f
3 2
(x) = 12x- 6= 0，得 x= 1 1 1 1 1 12 .f 2 = 2× 2 - 3× 2 - 24× 2 + 12=- 2 ．
所以函数 f(x) = 2x3- 3x2- 24x+ 12 的对称中心坐标为 1 ,- 12 2 ．
故答案为 1 ,- 12 2 ．
②因为函数 f(x) = 2x3- 3x2- 24x+ 12 的对称中心坐标为 1 ,- 12 2 ．
所以 f 12013 + f
2012
2013 = f
2 2011 1 1
2013 + f 2013 = = 2f 2 = 2× - 2 =-1．
由 f 20132013 = f(1) =-13．
所以 f 1 2 3 2012 20132013 + f 2013 + f 2013 + +f 2013 + f 2013 =-1006- 13=-1019．
故答案为-1019．
题型六：三次函数的综合问题
例26.已知函数 f(x) = x3+ bx2+ cx+ d在 (-∞，0]上是增函数，在 [0，2]上是减函数，且方程 f(x) = 0有
3个实数根，它们分别是 α，β，2，则 α2+ β2的最小值是 (　　)
A. 5 B. 6 C. 1 D. 8
【解析】解：f′ (x) = 3x2+ 2bx+ c，
因为 f(x) = x3+ bx2+ cx+ d在 (-∞，0]上是增函数，在 [0，2]上是减函数，
所以 f′ (0) = c= 0，此时 f′ (x) = 0 的另一个根 x=- 2b3 ≥ 2，
所以 b≤-3，
因为方程 f(x) = 0 有 3 个实数根，分别是 α，β，2，
所以 f(2) = 8+ 4b+ d= 0，即 d=-4(b+ 2)，
又 f(x) = (x- 2) (x- α) (x- β) = x3- (α+ β+ 2)x2+ (2α+ 2β+ αβ)x- 2αβ，
所以 b=-α- β- 2 d=- ，2αβ
则 α+ β=-b- 2 αβ= + ，2b 4
则 α2+ β2= (α+ β)2- 2αβ= (-b- 2)2- 2(2b+ 4) = b2- 4≥ 5，即最小值为 5．
故选：A．
例27.已知 f(x) = x3- 6x2+ 9x- abc，a< b< c，且 f(a) = f(b) = f(c) = 0，现给出如下结论；
① f(x)≤ 1；② f(x)≥ 3；③ f(0)f(1)< 0；④ f(0)f(3)> 0；⑤ abc< 4
其中正确结论的序号是 　　．
【解析】解：求导函数可得 f′ (x) = 3x2- 12x+ 9= 3(x- 1) (x- 3)，
∴当 1< x< 3 时，f′ (x)< 0；当 x< 1，或 x> 3 时，f′ (x)> 0，
所以 f(x)的单调递增区间为 (-∞,1)和 (3,+∞)，单调递减区间为 (1,3)，
所以 f(x)极大值= f(1) = 1- 6+ 9- abc= 4- abc，f(x)极小值= f(3) = 27- 54+ 27- abc=-abc
要使 f(x) = 0 有三个解 a、b、c，那么结合函数 f(x)草图可知：
a< 1< b< 3< c
及函数有个零点 x= b在 1~3 之间，所以 f(1) = 4- abc> 0，且 f(3) =-abc< 0
所以 0< abc< 4
∵ f(0) =-abc
∴ f(0)< 0
∴ f(0)f(1)< 0，f(0)f(3)> 0
故答案为：③④⑤．
例28.已知 f(x) = x3- 6x2+ 9x- abc，a< b< c，且 f(a) = f(b) = f(c) = 0．现给出如下结论：
① f(0)f(1)> 0；
② f(0)f(1)< 0；
③ f(0)f(3)> 0；
④ f(0)f(3)< 0；
⑤ abc< 4；
⑥ abc> 4．
其中正确结论的序号是 (　　)
A. ①③⑤ B. ①④⑥ C. ②③⑤ D. ②④⑥
【解析】解：求导函数可得 f′ (x) = 3x2- 12x+ 9= 3(x- 1) (x- 3)
∴当 1< x< 3 时，f (x)< 0；当 x< 1，或 x> 3 时，f (x)> 0
所以 f(x)的单调递增区间为 (-∞,1)和 (3,+∞)
单调递减区间为 (1,3)
所以 f(x)极大值= f(1) = 1- 6+ 9- abc= 4- abc，
f(x)极小值= f(3) = 27- 54+ 27- abc=-abc
要使 f(x) = 0 有三个解 a、b、c，那么结合函数 f(x)草图可知：
a< 1< b< 3< c
及函数有个零点 x= b在 1~3 之间，所以 f(1) = 4- abc> 0，且 f(3) =-abc< 0
所以 0< abc< 4
∵ f(0) =-abc
∴ f(0)< 0
∴ f(0)f(1)< 0，f(0)f(3)> 0
故选：C．
例29.已知 f(x) = x3- 6x2+ 9x- abc，a< b< c，且 f(a) = f(b) = (c) = 0，现给出如下结论：
① f(0) = f(3)；
② f(0)f(1)< 0；
③ f(1)f(3)< 0；
④ a2+ b2+ c2= 18．
其中正确结论个数为 (　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】解：求导函数可得 f′ (x) = 3x2- 12x+ 9= 3(x- 1) (x- 3)
∴当 1< x< 3 时，f (x)< 0；当 x< 1，或 x> 3 时，f (x)> 0
所以 f(x)的单调递增区间为 (-∞,1)和 (3,+∞)单调递减区间为 (1,3)
所以 f(x)极大值= f(1) = 1- 6+ 9- abc= 4- abc，
f(x)极小值= f(3) = 27- 54+ 27- abc=-abc
要使 f(x) = 0 有三个解 a、b、c，那么结合函数 f(x)草图可知：
a< 1< b< 3< c
及函数有个零点 x= b在 1~3 之间，
所以 f(1) = 4- abc> 0，且 f(3) =-abc< 0
所以 0< abc< 4
∵ f(0) =-abc，
∴ f(0) = f(3)
∴ f(0)< 0
∴ f(0)f(1)< 0，f(1)f(3)< 0，
∵ f(a) = f(b) = (c) = 0，
∴ x3- 6x2+ 9x- abc
= (x- a) (x- b) (x- c)
= x3- (a+ b+ c)x2+ (ab+ ac+ bc)x- abc，
∴ a+ b+ c= 6 ①，ab+ ac+ bc= 9 ②，
把②代入① 2得：a2+ b2+ c2= 18；
故选：D．
题型七：三次函数恒成立问题
例30. a已知三次函数 f(x)的导函数 f′ (x) =-3x2+ 3且 f(0) =-1，g(x) = xlnx+ x (a≥ 1)．
(1)求 f(x)的极值；
(2)求证：对任意 x1，x2∈ (0,+∞)，都有 f(x1)≤ g(x2)．
【解析】解：(1)依题意得 f(x) =-x3+ 3x- 1，f (x) =-3x2+ 3=-3(x+ 1) (x- 1)
知 f(x)在 (-∞,-1)和 (1,+∞)上是减函数，在 (-1,1)上是增函数
∴ f(x)极小值= f -1 =-3，f(x)极大值= f(1) = 1
(2)法 1：易得 x> 0 时，f(x)最大值= 1，
依题意知，只要 1≤ g(x) (x> 0) 1≤ xlnx+ ax (a≥ 1) (x> 0)
由 a≥ 1 知，只要 x≤ x2lnx+ 1(x> 0) x2lnx+ 1- x≥ 0(x> 0)
令 h(x) = x2lnx+ 1- x(x> 0)，则 h (x) = 2xlnx+ x- 1
注意到 h (1) = 0，当 x> 1 时，h (x)> 0；当 0< x< 1 时，h (x)< 0，
即 h(x)在 (0,1)上是减函数，在 (1,+∞)是增函数，h(x)最小值= h(1) = 0
即 h(x)≥ 0，综上知对任意 x1，x2∈ (0,+∞)，都有 f(x1)≤ g(x2)
法 2：易得 x> 0 时，f(x)最大值= 1，
由 a≥ 1 知，g(x)≥ xlnx+ 1x (x> 0)，令 h(x) = xlnx+
1
x (x> 0)
2
则 h (x) = lnx+ 1- 12 = lnx+
x - 1
x x2
注意到 h (1) = 0，当 x> 1 时，h (x)> 0；当 0< x< 1 时，h (x)< 0，
即 h(x)在 (0,1)上是减函数，在 (1,+∞)是增函数，
h(x)最小值= h(1) = 1，所以 h(x)最小值= 1，
即 g(x)最小值= 1．
综上知对任意 x1，x2∈ (0,+∞)，都有 f(x1)≤ g(x2)．
法 3：易得 x> 0 时，f(x)最大值= 1，
由 a≥ 1 知，g(x)≥ xlnx+ 1x (x> 0)，令 h(x) = xlnx+
1 (x> 0)，则 h (x) = lnx+ 1- 1x 2 (x> 0)x
令 φ(x) = lnx+ 1- 12 (x> 0)，则 φ (x) =
1
x +
1
3 > 0，x x
知 φ(x)在 (0,+∞)递增，注意到 φ(1) = 0，
所以，h(x)在 (0,1)上是减函数，在 (1,+∞)是增函数，
有 h(x)最小值= 1，即 g(x)最小值= 1
综上知对任意 x1，x2∈ (0,+∞)，都有 f(x1)≤ g(x2)．
例31. f(x) = 1已知函数 33 x - ax
2+ (a2- 1)x+ b，其图象在点 (1，f(x))处的切线方程为 x+ y- 3= 0．
(1)求 a，b的值与函数 f(x)的单调区间；
(2)若对 x∈ [-2，4]，不等式 f(x)< c2- c恒成立，求 c的取值范围．
【解析】解：(1)f(x) = 13 x
3- ax2+ (a2- 1)x+ b，
∴ f′ (x) = x2- 2ax+ (a2- 1)，
∵函数 f(x)的图象在点 (1，f(1))处的切线方程为 x+ y- 3= 0．
∴ f(1) = 2= 13 - a+ a
2- 1+ b，f′ (1) = 1- 2a+ a2- 1=-1，
解得 a= 1，b= 83 ．
∴ f′ (x) = x2- 2x= x(x- 2)，
令 f′ (x)> 0，解得 x> 2 或 x< 0；令 f′ (x)< 0，解得 0< x< 2．
∴函数 f(x)的单调递增为 (-∞,0)，(2,+∞)；单调递减区间为 (0,2)．
(2)由 (1)可得：f(x) = 1 33 x - x
2+ 83 ，f′ (x) = x
2- 2x= x(x- 2)．
x [-2，0) 0 (0,2) 2 (2，4]
f′ (x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当 x= 0 时，函数 f(x)取得极大值，f(0) = 83 ，又 f(4) = 8．
∴函数 f(x)在 x∈ [-2，4]上的最大值为 8．
由 x∈ [-2，4]，不等式 f(x)< c2- c恒成立 [ f(x)] 2max< c - c，x∈ [-2，4]．
∴ c2- c> 8，
解得 c> 1+ 33 或 c< 1- 332 2 ．
∴ c的取值范围是 -∞, 1- 33 ∪ 1+ 332 2 ,+∞ ．
例32.已知函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c(x∈R) x=- 2在 3 处取得极值，其图象在点 (1，f(1))处的切线与
直线 y+ 2= 0平行．
(1)求 a，b的值；
(2) 1若对 x∈ [-1，2]都有 f(x)< c 恒成立，求 c的取值范围．
【解析】解：(1)求导函数，可得 f (x) = 3x2+ 2ax+ b，
2
由题意 3 - 23 + 2a -
2
3 + b= 0---①
又 3× 12+ 2a× 1+ b= 0---②
联立得 a=- 12 ,b=-2 (5 分)
(2)依题意得 x3- 1 x2- 2x+ c< 1 ，即 x3- 1 x2- 2x< 12 c 2 c - c，对 x∈ [-1，2]恒成立，
设 y= x3- 1 x22 - 2x，则 y
= 3x2- x- 2= (x- 1) (3x+ 2)
解 (x- 1) (3x+ 2) = 0 得 x=- 23 ,x= 1
当 x∈ -1,- 2 2 3 时，y > 0；当 x∈ - 3 ,1 时，y < 0；当 x∈ (1,2)时，y > 0 (10 分)
则 f(x) = 22极大值 27 ,f(x)
3
极小值=- 2
又 f(-1) = 12 ,f(2) = 2，所以 f(x)最大值= 2；
故只须 1c - c> 2 (12 分)
解得 c<- 2- 1 或 0< c< 2- 1
即 c的取值范围是 (-∞,- 2- 1) ∪ (0, 2- 1) (14 分)
例33.已知函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c在 x=- 23 与 x= 1时都取得极值．
(1)求 a，b的值与函数 f(x)的单调区间；
(2)若对 x∈ [c，1] c，不等式 f(x)< 2 恒成立，求 c的取值范围．
【解析】解：(1) ∵ f(x) = x3+ ax2+ bx+ c，f (x) = 3x2+ 2ax+ b，
∴- 23 ，1 时 3x
2+ 2ax+ b= 0 两个根，
∴- 23 + 1=-
2a
3 ，-
2 × 1= b3 3 ，
解得 a=- 12 ，b=-2；
∴ f (x) = 3x2- x- 2= (3x+ 2) (x- 1)，函数 f(x)的单调区间如下表：
x -∞,- 2 - 2 - 23 3 3 ，1 1 (1,+∞)
f′ (x) + 0 - 0 +
f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
∴函数 f(x)的递增区间是 -∞,- 23 和 (1,+∞)，递减区间是 -
2
3 ，1 ．
(2)由 (1)可得 f(x) = x3- 1 22 x - 2x+ c，
当 c≤- 23 时，由 (1)知 f(x)在 [c，1]上的最大值为 f -
2 = 223 27 + c，
所以只需要 f - 23 =
22
27 + c<
c
2 ，得 c<-
44
27 ；
当- 23 < c< 1 时，由 (1)知 f(x)在 [c，1]上的最大值为 f(c) = c
3- 12 c
2- c，
∴只需要 f(c) = c3- 1 2 c 32 c - c< 2 ，解得 c<-1 或 0< c< 2
∴ 0< c< 1，
综上所述，c的取值范围为 -∞，- 4427 ∪ (0，1)
例34.已知函数 f(x) = ax3+ cx+ d(a≠ 0)是R上的奇函数，当 x= 1时 f(x)取得极值-2．
(1)求 f(x)的单调区间和极大值；
(2)证明对任意 x1，x2∈ (-1,1)，不等式 | f(x1) - f(x2)|< 4恒成立．
【解析】解：(1)由奇函数的定义，应有 f(-x) =-f(x)，x∈R
即-ax3- cx+ d=-ax3- cx- d∴ d= 0
因此，f(x) = ax3+ cxf (x) = 3ax2+ c
由条件 f(1) =-2 为 f(x)的极值，必有 f (1) = 0，故 a+ c=-2 3a+ c= 0
解得 a= 1，c=-3
因此，f(x) = x3- 3x，f (x) = 3x2- 3= 3(x+ 1) (x- 1)f (-1) = f (1) = 0
当 x∈ (-∞,-1)时，f (x)> 0，故 f(x)在单调区间 (-∞,-1)上是增函数
当 x∈ (-1,1)时，f (x)< 0，故 f(x)在单调区间 (-1,1)上是减函数
当 x∈ (1,+∞)时，f (x)> 0，故 f(x)在单调区间 (1,+∞)上是增函数
所以，f(x)在 x=-1 处取得极大值，极大值为 f(-1) = 2
(2)由 (1)知，f(x) = x3- 3x(x∈ [-1,1])是减函数，
且 f(x)在 [-1，1]上的最大值M= f(-1) = 2，f(x)在 [-1，1]上的最小值m= f(1) =-2
所以，对任意的 x1，x2∈ (-1,1)，恒有 | f(x1) - f(x2)|例35.已知函数 f(x) = 2x2+ x- k，g(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)是R上的奇函数，当 x= 1时，g(x)取
得极值-2．
(1)求函数 g(x)的单调区间和极大值；
(2)若对任意 x∈ [-1，3]，都有 f(x)≤ g(x)成立，求实数 k的取值范围；
(3)若对任意 x1∈ [-1，3]，x2∈ [-1，3]，都有 f(x1)≤ g(x2)成立，求实数 k的取值范围．
【解析】解：(1) ∵ g(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)是R上的奇函数，
∴ g(-x) = g(x)，可得 b= d= 0，即 g(x) = ax3+ cx(a≠ 0)，
又当 x= 1 时， ( )取得极值- ，∴ g′ (1) = 0 ，即 3a+ c= 0g x 2 g(1) =-2 a+ ，c=-2
解得 a= 1 =- ，故函数 g(x) = x
3- 3x，导函数 g′ (x) = 3x2- 3，
c 3
令 3x2- 3= 0 解得 x=±1，当 x∈ (-∞,-1)时，g′ (x)> 0，g(x)单调递增，
当 x∈ (-1,1)时，g′ (x)< 0，g(x)单调递减，
当 x∈ (1,+∞)时，g′ (x)> 0，g(x)单调递增，
故当 x=-1 时，g(x)取到极大值 g(-1) = 2
(2)f(x) - g(x) = 2x2+ 4x- k- x3，对任意 x∈ [-1，3]，都有 f(x)≤ g(x)成立，
只需 k≥ 2x2+ 4x- x3，构造函数F(x) = 2x2+ 4x- x3，x∈ [-1，3]，F′ (x) =-3x2+ 4x+ 4，
令]，F′ (x) = 0 可得 x= 2 或 x=- 23 ，当 x∈ -1,-
2
3 时，F′ (x)< 0，F(x)单调递减
当 x∈ - 23 ，2 时，F′ (x)> 0，F(x)单调递增，当 x∈ (2,3)时，F′ (x)< 0，F(x)单调递减，
当 x= 2 时，F(x)取到极大值F(2) = 8，F(-1) =-1，故F(x)的最大值为 8，
故实数 k的取值范围为：k≥ 8；
(3)若对任意 x1∈ [-1，3]，x2∈ [-1，3]，都有 f(x1)≤ g(x2)成立，
即 f(x)在区间 [-1，3]上的最大值都小于或等于 g(x)的最小值，
由 (1)可知：当 x∈ [-1，1)时，g′ (x)< 0，g(x)单调递减，
当 x∈ (1，3]时，g′ (x)> 0，g(x)单调递增，故当 x= 1 时，函数 g(x)取到极小值，
也是该区间的最小值 g(1) =-2，
而 f(x) = 2x2+ x- k为开口向上的抛物线，对称轴为 x=- 14 ，故当 x= 3 时取最大值 f(3) = 21- k，
由 21- k≤-2，解得 k≥ 23
例36. a设函数 f(x) = x3- 33 2 x
2+ (a+ 1)x+ 1，其中 a为实数．
(Ⅰ)已知函数 f(x)在 x= 1处取得极值，求 a的值；
(Ⅱ)已知不等式 f′ (x)> 2x2- x- a+ 1对 x∈ [0，1]都成立，求实数 a的取值范围．
【解析】解：(Ⅰ)f′ (x) = ax2- 3x+ (a+ 1)，
由于函数 f(x)在 x= 1 时取得极值，
所以 f′ (1) = 0，即 a- 3+ a+ 1= 0，
∴ a= 1．
(Ⅱ)由题设知：ax2- 3x+ (a+ 1)> x2- x- a+ 1，对任意 x∈ [0，1]都成立，
即 (a- 1)x2- 2x+ 2a> 0 对任意 x∈ [0，1]都成立，
令 g(x) = (a- 1)x2- 2x+ 2a，
①当 a= 1 时，由 g(x)> 0 解得 x< 1，显然 x= 1 时不成立，故 a≠ 1；
②当 a- 1< 0，即 a< 1 时，g(x) = (a- 1)x2- 2x+ 2a开口向下，g(x)的对称轴为 x=- -2
2(a- 1) =
1
a- 1 < 0，
∴ g(x) = (a- 1)x2- 2x+ 2a在 [0，1]上单调递减，
∴ g(x)> 0 g(1) = (a- 1) - 2+ 2a> 0，解得 a> 1，与 a< 1 矛盾，故 a< 1 不符合题意；
③当 a- 1> 0，即 a> 1 时，g(x) = (a- 1)x2- 2x+ 2a开口向上，g(x)的对称轴为 x=- -2
2( =a- 1)
1
a- 1 > 0，
若 0< 1 ≤ 1，即 a≥ 2 时，g(x) = g 1 = 2a- 1 > 0 a> 1+ 3 1- 3a- 1 min a- 1 a- 1 2 或 a< 2 ，
∴ a≥ 2；
若 1a- 1 > 1，即
2- a
a- 1 > 0 1< a< 2 时，g(x) = (a- 1)x
2- 2x+ 2a开口向上，
∴ g(x)> 0 g(1) = (a- 1) - 2+ 2a> 0，解得 a> 1，又 1< a< 2，
∴ 1< a< 2．
综上所述，a> 1．
例37. a 3设函数 f(x) = 33 x - 2 x
2+ (a+ 1)x+ 1，其中 a为实数．
(1)已知函数 f(x)在 x= 1处取得极值，求 a的值；
(2)已知不等式 f′ (x)> x2- x- a+ 1对任意 a∈ (0,+∞)都成立，求实数 x的取值范围．
【解析】解：(1)f′ (x) = ax2- 3x+ (a+ 1)
由于函数 f(x)在 x= 1 时取得极值，
所以 f′ (1) = 0
即 a- 3+ a+ 1= 0，∴ a= 1
(2)由题设知：ax2- 3x+ (a+ 1)> x2- x- a+ 1
对任意 a∈ (0,+∞)都成立
即 a(x2+ 2) - x2- 2x> 0
对任意 a∈ (0,+∞)都成立
2
于是 a> x + 2x2+ 对任意 a∈ (0,+∞)都成立，x 2
2
即 x + 2x2+ ≤ 0∴-2≤ x≤ 0x 2
于是 x的取值范围是 {x|-2≤ x≤ 0}．
例38.设函数 f(x) = 13 x
3+ ax2+ bx+ c(a< 0)在 x= 0处取得极值-1．
(1)设点A(-a，f(-a))，求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程．
(2)若过点 (0,0)可作曲线 y= f(x)的三条切线，求 a的取值范围；
(3)设曲线 y= f(x)在点 (x1，f(x1))，(x2，f(x2)) (x1≠ x2)处的切线都过点 (0,0)，证明：f′ (x1) ≠ f′ (x2)．
【解析】(1)证明：由 f(x) = 1 x33 + ax
2+ bx+ c(a< 0)，得：f′ (x) = x2+ 2ax+ b，
由题意可得 f′ (0) = 0，f(0) =-1，解得 b= 0，c=-1．
∴ f(x) = 13 x
3+ ax2- 1．
经检验，f(x)在 x= 0 处取得极大值．
设切点为 (x0，y0)，则切线方程为 y- y0= f′ (x0) (x- x0)
即为 y= (x2 20+ 2ax0)x- 3 x
3- ax20 0- 1
把 (-a，f(-a))代入方程可得 x3+ 3ax2+ 3a20 0 x 30+ a = 0，
即 (x 30+ a) = 0，所以 x0=-a．
即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．
所以切线方程为 a2x+ y+ 1 a33 + 1= 0；
(2)解：因为切线方程为 y= (x2+ 2ax )x- 20 0 3 x
3
0- ax20- 1，
把 (0,0)代入可得 23 x
3
0+ ax20+ 1= 0，
因为有三条切线，故方程得 23 x
3
0+ ax20+ 1= 0 有三个不同的实根．
设 g(x) = 23 x
3+ ax2+ 1(a< 0)
g′ (x) = 2x+ 2ax，令 g′ (x) = 2x+ 2ax= 0，可得 x= 0 和 x=-a．
当 x∈ (-∞,0)时，g′ (x)> 0，g(x)为增函数，
当 x∈ (0,-a)时，g′ (x)< 0，g(x)为减函数，
当 x∈ (-a,+∞)时，g′ (x)> 0，g(x)为增函数，
所以，当 x= 0 时函数 g(x)取得极大值为 g(0) = 1> 0．
当 x=-a时函数 g(x)取得极小值，
极小值为 g(-a) = 23 × (-a)
3+ a (-a)2+ 1= 13 a
3+ 1．
因为方程有三个根，故极小值小于零，1 a33 + 1< 0，所以 a<-
3 3．
(3)证明：假设 f′ (x ) = f′ (x )，则 x21 2 1+ 2ax1= x22+ 2ax2，
所以 (x1- x2) (x1+ x2) =-2a(x1- x2)
因为 x1≠ x2，所以 x1+ x2=-2a．
2 x3 21+ ax1+ 1= 0
由 (2)可得 3 2 2 ，两式相减可得 3 (x32- x3) + a(x21 2- x21) = 0．3 x32+ ax22+ 1= 0
因为 x1≠ x2，故 2 2 23 (x2+ x1x2+ x1) + a(x1+ x2) = 0．
把 x1+ x2=-2a代入上式可得，x22+ x1x 22+ x1= 3a2，
所以 (x + x )21 2 - x1x2= 3a2，(-2a)2- x1x2= 3a2．
所以 x1x2= a2．
2 2
又由 < x1+ xx x 2 = -2a = a2，这与 x x = a21 2 2 2 1 2 矛盾．
所以假设不成立，即证得 f′ (x1) ≠ f′ (x2)．
例39.已知 f(x) = x3+ bx2+ cx+ d在 (-∞,0)上是增函数，在 [0，2]上是减函数，且方程 f(x) = 0有三个
根，它们分别为 α，2，β．
(1)求 c的值；
(2)求证 f(1)≥ 2；
(3)求 |α- β|的取值范围．
【解析】解：(1) ∵ f(x)在 (-∞，0]上是增函数，在 (0，2]上是减函数；
∴ x= 0 是 f (x) = 0 的根，又∵ f (x) = 3x2+ 2bx+ c，∴ f (0) = 0，∴ c= 0．
(2) ∵ f(x) = 0 的根为 α，2，β，
∴ f(2) = 0，∴ 8+ 4b+ d= 0，又∵ f (2)≤ 0，
∴ 12+ 4b≤ 0，∴ b≤-3，又 d=-8- 4b
∴ d≥ 4
f(1) = 1+ b+ d，f(2) = 0
∴ d=-8- 4b且 b≤-3，
∴ f(1) = 1+ b- 8- 4b=-7- 3b≥ 2
(3) ∵ f(x) = 0 有三根 α，2，β；
∴ f(x) = (x- α) (x- 2) (x- β)
= x3- (α+ β+ 2) x2- 2αβ
α+ β+ 2=-b∴ αβ=- d ；2
∴ |β- α|2= (α+ β)2- 4αβ
= (b+ 2)2+ 2d
= b2+ 4b+ 4- 16- 8b
= b2- 4b- 12
= (b- 2)2- 16
又∵ b≤-3，∴ |β- α| ≥ 3
例40.已知函数 f(x) = x3+ bx2+ cx+ d在 (-∞，0]上为增函数，在 [0，6]上为减函数，且方程 f(x) = 0的
三个根分别为 1，x1，x2．
(1)求实数 b的取值范围；
(2)求 x2- 4x x + x21 1 2 2的取值范围．
【解析】解：(1)f′ (x) = 3x2+ 2bx+ c，由题设 f′ (x) = 0 两根为 t1= 0，t2∈ [6，+∞)，
则 c= 0,t =- 2b2 3 ≥ 6，所以 b≤-9；
(2)由 (1)和条件得 f(1) = 0= 1+ b+ c+ d，c= 0 f(x) = (x- 1) (x2+ (b+ 1)x+ (b+ 1))，
所以 x1，x 是方程 x22 + (b+ 1)x+ b+ 1= 0 的两根，所以△= (b+ 1)2- 4(b+ 1)≥ 0，b≤-9，
即得 b≤-9，又 x1+ x2=- (b+ 1)，x1x2= (b+ 1)，
所以 x21- 4x1x 2 2 2 2 2 22+ x2= (x1+ x2) - 6x1x2= (b+ 1) - 6(b+ 1) (b≤-9)，x1- 4x1x2+ x2= b - 4b- 5(b
≤-9)≥ (-9)2- 4× (-9) - 5= 112，
所以 x21- 4x1x 22+ x2 的范围是 [112，+∞)
例41.已知函数 f(x) =-x3+ ax2+ b(a,b∈R)．
(Ⅰ)若 a= 1，函数 f(x)的图象能否总在直线 y= b的下方？说明理由；
(Ⅱ)若函数 f(x)在 (0,2)上是增函数，求 a的取值范围；
(Ⅲ)设 x1，x2，x3为方程 f(x) = 0的三个根，且 x1∈ (-1,0)，x2∈ (0,1)，x3∈ (-∞，-1) ∪ (1，+∞)，求
证：a> 1或 a<-1．
【解析】(Ⅰ)解：当 a= 1 时，f(x) =-x3+ x2+ b，
因为 f(-1) = b+ 2> b，
所以，函数 f(x)的图象不能总在直线 y= b的下方．
(Ⅱ)解：法一、
由 f(x) =-x3+ ax2+ b，得 f′ (x) =-3x2+ 2ax，
令 f′ (x) =-3x2+ 2ax= 0，解得 x= 0 或 x= 23 a，
①当 a< 0 时，由 f′ (x)> 0，解得 23 a< x< 0，
所以 f(x)在 23 a,0 上是增函数，与题意不符，舍去；
②当 a= 0 时，由 f′ (x) =-3x2≤ 0，
所以 f(x)在R上是减函数，与题意不符，舍去；
③当 a> 0 时，由 f′ (x)> 0，解得 0< x< 23 a，
所以 f(x)在 0, 23 a 上是增函数，
又 f(x)在 (0,2)上是增函数，所以 23 a≥ 2，解得 a≥ 3，
综上，a的取值范围为 [3，+∞)．
法二、
由 f(x) =-x3+ ax2+ b，得 f′ (x) =-3x2+ 2ax，
要使函数 f(x)在 (0,2)上是增函数，
则需 f′ (x) =-3x2+ 2ax≥ 0 对任意 x∈ (0,2)恒成立，
即 2ax≥ 3x2对任意 x∈ (0,2)恒成立，
也就是 a≥ 32 x对任意 x∈ (0,2)恒成立，
因为 y= 3 x在 x∈ (0,2)上为增函数，所以 a≥ 32 2 × 2= 3．
所以，a的取值范围为 [3，+∞)．
(Ⅲ)证明：因为方程 f(x) =-x3+ ax2+ b= 0 最多只有 3 个根，
由题意，方程在区间 (-1,0)内仅有一根，
所以 f(-1) f(0) = b(1+ a+ b)< 0，
方程在区间 (0,1)内仅有一根，
所以 f(0) f(1) = b(-1+ a+ b)< 0，
当 b> 0 时，由 b(1+ a+ b)< 0 得，1+ a+ b< 0，即 a<-b- 1，
由 b(-1+ a+ b)< 0 得，-1+ a+ b< 0，即 a<-b+ 1，
因为-b- 1<-b+ 1，所以 a<-b- 1<-1，即 a<-1；
当 b< 0 时，由 b(1+ a+ b)< 0 得，1+ a+ b< 0，即 a>-b- 1，
由 b(-1+ a+ b)< 0 得，-1+ a+ b< 0，即 a>-b+ 1，
因为-b- 1<-b+ 1，所以 a>-b+ 1> 1，即 a> 1；
当 b= 0 时，因为 f(0) = 0，所以 f(x) = 0 有一根 0，
这与题意不符．
∴ a> 1 或 a<-1．
例42. 1已知函数 f(x) = 3 x
3+ ax2+ bx，且 f′ (-1) = 0．
(1)试用含 a的代数式表示 b；
(2)求 f(x)的单调区间；
(3)令 a=-1，设函数 f(x)在 x1、x2(x1< x2)处取得极值，记点M (x1，f(x1))，N (x2，f(x2))．证明：线段
MN与曲线 f(x)存在异于M，N的公共点．
【解析】解：解法一：(1)依题意，得
f′ (x) = x2+ 2ax+ b．
由 f′ (-1) = 1- 2a+ b= 0 得 b= 2a- 1．
(2)由 (1)得 f(x) = 1 33 x + ax
2+ (2a- 1)x，故 f′ (x) = x2+ 2ax+ 2a- 1= (x+ 1) (x+ 2a- 1)．
令 f′ (x) = 0，则 x=-1 或 x= 1- 2a．
①当 a> 1 时，1- 2a<-1．
当 x变化时，f′ (x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (-∞,1- (1- 2a,-1) (-1,+∞)
2a)
f′ (x) + - +
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
由此得，函数 f(x)的单调增区间为 (-∞,1- 2a)和 (-1,+∞)，单调减区间为 (1- 2a,-1)．
②当 a= 1 时，1- 2a=-1．此时，f ′ (x) ≥ 0 恒成立，且仅在 x=-1 处 f ′ (x) = 0，故函数 f(x)的单调
增区间为R．
③当 a< 1 时，1- 2a>-1，同理可得函数 f(x)的单调增区间为 (-∞,-1)和 (1- 2a,+∞)，单调减区
间为 (-1,1- 2a)．
综上所述：当 a> 1 时，函数 f(x)的单调增区间为 (-∞,1- 2a)和 (-1,+∞)，单调减区间为 (1- 2a,
-1)；
当 a= 1 时，函数 f(x)的单调增区间为R；
当 a< 1 时，函数 f(x)的单调增区间为 (-∞,-1)和 (1- 2a,+∞)，单调减区间为 (-1,1- 2a)．
(3)当 a=-1 时，得 f(x) = 13 x
3- x2- 3x．
由 f′ (x) = x2- 2x- 3= 0，得 x1=-1，x2= 3．
由 (2)得 f(x)的单调增区间为 (-∞,-1)和 (3,+∞)，单调减区间为 (-1,3)，
所以函数 f(x)在 x1=-1，x2= 3 处取得极值．故M -1, 53 ，N (3,-9)．
所以直线MN的方程为 y=- 83 x- 1．
y= 1 x3 3 - x
2- 3x
由 8 得 x3- 3x2- x+ 3= 0．y=- 3 x- 1
令F(x) = x3- 3x2- x+ 3．
易得F(0) = 3> 0，F(2) =-3< 0，而F(x)的图象在 (0,2)内是一条连续不断的曲线，
故F(x)在 (0,2)内存在零点 x0，这表明线段MN与曲线 f(x)有异于M，N的公共点．
解法二：(1)同解法一．
(2)同解法一．
(3)当 a=-1 时，得 f(x) = 13 x
3- x2- 3x．
由 f′ (x) = x2- 2x- 3= 0，得 x1=-1，x2= 3．
由 (2)得 f(x)的单调增区间为 (-∞,-1)和 (3,+∞)，单调减区间为 (-1,3)，所以函数 f(x)在 x1=-1，
x2= 3 处取得极值，
故M -1, 53 ，N (3,-9)．
所以直线MN的方程为 y=- 83 x- 1．
由 x3- 3x2- x+ 3= 0．
解得 x1=-1，x2= 1，x3= 3．
x1=-1 x2= 1
∴ = 5 ， =- 11 ，
x3= 3
y1 3 y2

3 y3=-9
所以线段MN与曲线F(x)有异于M，N的公共点 1,- 113 ．
【过关测试】
一、单选题
1. (2022·山东泰安·高三期中)过曲线 C : f x = x3- ax + b外一点 A 1,0 作 C的切线恰有两条，则
( )
A. a= b B. a- b= 1 C. b= a+ 1 D. a= 2b
【答案】A
【解析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关
于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为 0，求
出 a，b的关系.
【详解】
f′ x = 3x2- a，过点A 1,0 作曲线C的切线，
设切点 x 20,f x0 ，则切线方程为：y= 3x0- a x- 1 ，
将 x0,f x0 代入得：f x0 = 3x2- a x 30 0- 1 = x0- ax0+ b
即 2x3 20- 3x0+ a- b= 0(*) 由条件切线恰有两条，方程 (*)恰有两根．
令u x = 2x3- 3x2+ a- b，u′ x = 6x2- 6x= 6x x- 1 ，
显然有两个极值点 x= 0 与 x= 1，于是u 0 = 0 或u 1 = 0
当u 0 = 0 时，a= b；
当u 1 = 0 时，a- b= 1，此时 f x = x3- ax+ a- 1= x- 1 x2+ x+ 1- a 经过 1,0 与条件不
符，所以 a= b，
故选：A.
2. (2022·河南洛阳·三模 (理))若过点 P 1,t 可作出曲线 y= x3的三条切线，则实数 t的取值范围是
( )
A. -∞,1 B. 0,+∞ C. 0,1 D. 0,1
【答案】C
【解析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设
出两个函数，y= t与 g(x) = 3x2- 2x3，借助导数研究函数 g(x)的单调性和极值，然后作图，看两个函
数图象的交点情况即可完成求解.
【详解】
由已知，曲线 y= x3，即令 f(x) = x3，则 f x = 3x2，
设切点为 (x0,x30)，切线方程的斜率为 f x = 3x20 0，
所以切线方程为：y- x30= 3x20(x- x0)，将点P 1,t 代入方程得：t- x30= 3x20(1- x0)，整理得 t= 3x20
- 2x30，
设函数 g(x) = 3x2- 2x3，过点P 1,t 可作出曲线 y= x3的三条切线，
可知两个函数图像 y= t与 g(x) = 3x2- 2x3有三个不同的交点，
又因为 g x = 6x- 6x2，由 g x = 0，可得 x= 0 或 x= 1，
所以函数 g(x)在 (-∞,0)，(1,+∞)上单调递减，在 (0,1)上单调递增，
所以函数 g(x)的极大值为 g(1) = 3- 2= 1，函数 g(x)的极小值为 g(0) = 0- 0= 0，
如图所示，
当 t∈ 0,1 时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C .
3. (2022·全国· a 1高三专题练习)已知函数 f x = 33 x - x
2
2 - x a≥ 0 在区间 0,1 上不是单调函数，则
实数 a的取值范围是 ( )
A. 0,2 B. 0,1 C. 0,+∞ D. 2,+∞
【答案】D
【解析】把题意转化为 f x = 0 在 0,1 内应有异号实数根，利用零点存在定理列不等式即可求得.
【详解】
∵ f x = a x3- 1 3 2 x
2- x，∴ f x = ax2- x- 1
∵函数 f x = a 33 x -
1
2 x
2- x a≥ 0 在区间 0,1 上不是单调函数
∴ f x = ax2- x- 1= 0 在区间 0,1 上有根
∴当 a= 0 时，x=-1 不满足条件
当 a> 0 时，∵ f 0 =-1< 0，∴ f 1 = a- 2> 0，
∴ a> 2.
故选：D．
4. (2022· a甘肃酒泉·模拟预测 (理))已知函数 f(x) = x3- a+ 1 x23 2 + 2x+ 1在R上单週递增，则 a=
( )
A. 1 12 B. 0 C. - 2 D. - 1
【答案】A
【解析】依据导函数列出关于 a的不等式，解之即可得到 a的值
【详解】
f (x) = ax2- (2a+ 1)x+ 2，
∵函数 f(x)在R上单调递增，
∴ f (x)≥ 0 在R上恒成立，
∴ a> 0，且 Δ= (2a+ 1)2- 8a≤ 0，解得 a= 12 ，
故选：A．
5. (2022·吉林·模拟预测 (理))若函数 f x = x3+ x2+ ax- 1是R上的单调函数，则实数 a的取值范围
( )
A. a≥ 13 B. a≤
1
3 C. a>
1 D. a< 13 3
【答案】A
【解析】由条件转化为 f x ≥ 0 恒成立，即可求解.
【详解】
f x = 3x2+ 2x+ a≥ 0 恒成立，即 Δ= 4- 12a≤ 0，解得：a≥ 13 .
故选：A
6. (2022·广东·广州市玉岩中学高三期中)函数 f(x) = x3- ax在区间 (1,+∞)是增函数，则实数 a的取值
范围是 ( )
A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,3] D. [3,+∞)
【答案】C
【解析】求出函数的导函数，依题意 f (x)≥ 0 在 (1,+∞)上恒成立，参变分离即可得到 a≤ 3x2在 (1,
+∞)恒成立，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为 f(x) = x3- ax，所以 f (x) = 3x2- a，依题意可得 f (x)≥ 0 在 (1,+∞)上恒成立，
即 a≤ 3x2在 (1,+∞)恒成立，因为 g x = 3x2在 (1,+∞)上单调递增，所以 g x > g 1 = 3，
所以 a≤ 3．
即 a的取值范围是 (-∞,3]．
故选：C．
7. (2022·四川省峨眉第二中学校高三阶段练习 (文))已知函数 f x = x3- ax- a为单调递增函数，求 a
的范围 ( )
A. (-3，2) B. -∞，2 C. -∞,0 D. 2,+∞
【答案】C
【解析】求导，导函数小于等于 0 恒成立，从而求出 a的范围.
【详解】
由题意得：f x = 3x2- a≥ 0 在R上恒成立，即 a≤ 3x2在R上恒成立，又 y= 3x2≥ 0，故 a≤ 0，故 a
的范围是 -∞,0 .
故选：C
8. (2022·全国·高三课时练习)若函数 f x = x3- ax2- x+ 6在 0,1 内单调递减，则实数 a的取值范围
是 ( )
A. 1,+∞ B. 1,+∞ C. -∞,-1 D. 0,1
【答案】A
【解析】f(x)在 (0，1)内单调递减等价与 f x < 0 在 (0，1)内恒成立，据此即可求解.
【详解】
f x = 3x2- 2ax- 1，∵ f x 在 0,1 内单调递减，
∴ f x < 0 在 (0，1)内恒成立，
即 3x2- 2ax- 1≤ 0 在 0,1 内恒成立，
即 2a≥ 3x- 1x 在 0,1 内恒成立，
∵ g x = 3x- 1 x 在 0,1 单调递增，∴ g x < g 1 = 2，
∴ 2a≥ 2，∴ a≥ 1 ﹒
故选：A﹒
二、多选题
9. (2022·全国·高三专题练习)定义 f x 是 y= f x 的导函数 y= f x 的导函数，若方程 f x = 0有
实数解 x0，则称点 x0,f x0 为函数 y= f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数 f x = ax3+ bx2+
cx+ d a≠ 0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，
其中正确命题是 ( )
A. 存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B. 函数 f x = x3- 3x2- 3x+ 5的对称中心也是函数 y= tan π2 x的一个对称中心
C. 存在三次函数 h x ，方程 h x = 0有实数解 x0，且点 x0,h x0 为函数 y= h x 的对称中心
D. g x = 1 x3- 1 x2- 5 1 2 3 2020若函数 3 2 12 ，则 g 2021 + g 2021 + g 2021 + +g 2021 =-1010
【答案】BCD
【解析】根据题干中三次函数的对称中心的定义与性质判断A,C选项；求出 f x = x3- 3x2- 3x+ 5
的对称中心，可以验证此点 1,0 是 y= tan π2 x的一个对称中心，即可判断B；求出函数 g x =
1
33 x
- 12 x
2- 512 的对称中心，可得 g x + g 1- x =-1，进而求得 g
1
2021 + g
2
2021 + g
3
2021 +
+g 20202021 =-1010 进而判断出D.
【详解】
解：对于A. 设三次函数 f x = ax3+ bx2+ cx+ d a≠ 0 ，
易知 y= f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A不正确；
对于B. 由 f x = x3- 3x2- 3x+ 5，得 f x = 3x2- 6x- 3,f x = 6x- 6，由 6x- 6= 0，得 x= 1，函
数 f x 的对称中心为 1,0 ，
又由 π x= kπ2 2 ,k∈ Z，得 x= k,k∈ Z，∴ f x 的对称中心是函数 y= tan
π
2 x的一个对称中心，故B正
确；
对于C. 设三次函数 h x = ax3+ bx2+ cx+ d a≠ 0 ，
所以 h x = 3ax2+ 2bx+ c,h x = 6ax+ 2b
3ax
2
0+ 2bx0+ c= 0,联立 得 3ac- b2+ = , = 0，6ax0 2b 0
即当 3ac- b2= 0 时，存在三次函数 h x ，方程 h x = 0 有实数解 x0，且点 x0,h x0 为函数 y= h x
的对称中心，故C正确.
对于D.∵ g x = 1 3 1 2 5 3 x - 2 x - 12 ，∴ g x = x
2- x,g x = 2x- 1，
令 g
3 2
x = 2x- 1= 0，得 x= 12 ，∵ g
1 = 12 3 ×
1 - 12 2 ×
1 5 1
2 - 12 =- 2 ，
∴函数 g x = 1 x3- 1 x2- 5 13 2 12 的对称中心是 2 ,-
1
2 ，∴ g x + g 1- x =-1，
设T= g 12021 + g
2
2021 + g
3 + +g 20202021 2021 ，所以 2T= g
1 + g 2020 2021 2021 +
g 2 + g 2019 + + g 2020 + g 1 2021 2021 2021 2021 =-2020 所以 g
1
2021 + g
2 3
2021 + g 2021
+ +g 20202021 =-1010，故D正确.
故选:BCD.
三、双空题
10. (2022·河北衡水·高三阶段练习)已知函数 f x = x3- ax+ bsinx+ 2x，f 1 = 3，则 f -1 =_____
_____，当 a= 6，b= 1时，函数 g x = f x - 2x的极值点的个数为__________．
【答案】 - 12 2
【解析】
(1)代入 f 1 = 3 得到 1- a+ bsin1= 1，进而代入 f -1 化简计算即可；
(2)易得 g x = x3- 6x+ sinx，再将题意转换为 y= 3x2- 6 与 y=-cosx的图象交点个数分析即可
【详解】
由 f 1 = 13- a+ bsin1+ 2= 3 得 1- a+ bsin1= 1，所以 f -1 =-1+ a- bsin1+ 2-1=
- 1- a+ bsin1 + 1 =- 1 2 2 ．由题知 g x = x
3- 6x+ sinx，则 g' x = 3x2- 6+ cosx．作出 y= 3x2
- 6 与 y=-cosx的大致图象如图所示．由图可知，g' x = 0 的解即为两函数图象交点的横坐标，记
为 x1，x2，且 x1< 0< x2．当 x< x1时，3x2- 6>-cosx，则 g' x > 0；当 x1< x< x2时，3x2- 6<
-cosx，则 g' x < 0；当 x> x2时，3x2- 6>-cosx，则 g' x > 0，所以 x1为函数 g x 的极大值点，x2
为函数 g x 的极小值点，所以函数 g x 的极值点的个数是 2．
【点睛】试题考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力．属于中档题
四、填空题
11. (2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)若函数 f x = 2x3- ax2- 1 a∈R 在 -∞,0 内有且只
有一个零点，则 f x 在 -1,1 上的最大值与最小值的和为_______．
【答案】3
【解析】
分析可知直线 y= a与函数 g x = 2x- 12 在 -∞,0 上的图象只有一个交点，利用导数分析函数x
g x 在 -∞,0 上的单调性与极值，数形结合可求得 a的值，再利用导数可求得函数 f x 在 -1,1
上的最大值和最小值，即可得解.
【详解】
当 x< 0 时，由 f x = 0 可得 a= 2x- 12 ，令 g x = 2x-
1
2 ，其中 x< 0，x x
2 2 x
3+ 1
则 g x = 2+ 3 = 3 ，由 g x = 0，可得 x=-1，列表如下：x x
x -∞,-1 -1 -1,0
g x + 0 -
g x 增 极大值-3 减
如下图所示：
因为 f x = 2x3- ax2- 1 a∈R 在 -∞,0 内有且只有一个零点，则 a=
-3，
所以，f x = 2x3+ 3x2- 1，则 f x = 6x2+ 6x= 6x x+ 1 ，
当-1< x< 0 时，f x < 0，此时函数 f x 单调递减，
当 0< x< 1 时，f x > 0，此时函数 f x 单调递增，
则当 x∈ -1,1 时，f x min= f 0 =-1，
又因为 f -1 = 0，f 1 = 4，所以，f x max= 4，
因此，f x 在 -1,1 上的最大值与最小值的和为-1+ 4= 3.
故答案为：3.
12. (2022·辽宁·辽师大附中高三阶段练习)已知过点P(0，a)可作出曲线 y= 2x3- 3x2的 3条不同的切
线，则实数 a的取值范围是_______________ .
【答案】 0, 14
【解析】设切点为 x ,2x3- 3x20 0 0 ，写出切线方程，将点P坐标代入得到 4x30- 3x20+ a= 0，构造函数
f x = 4x3- 3x2+ a，由题意函数的图象与 x轴有三个交点，求导判断单调性，由单调性和极值可得答
案.
【详解】
函数 y= 2x3- 3x2,求导得 y = 6x2- 6x,设切点为 x 3 20,2x0- 3x0 ，
可得切线方程为 y- 2x30+ 3x20= 6x20- 6x0 x- x0 ，
又切线过点P(0，a)代入得 a- 2x30+ 3x20= 6x20- 6x0 -x0 ，即
4x3- 3x20 0+ a= 0，由题意可得此方程有三个根，
令 f x = 4x3- 3x2+ a，f x = 12x2- 6x= 6x 2x- 1 ，
当 x< 0 或 x> 1 时，f 2 x > 0，函数单调递增，
当 0< x< 12 时，f
x < 0，函数单调递减，
可得函数的极大值为 f 0 = a，极小值为 f 1 = a- 1 2 4 ，若方程有三个根即函数的图象与 x轴有三
a> 0个交点，只需满足 - 1 < ，即 0< a<
1
4 ，a 4 0
故答案为： 0, 14 .
13. (2022·陕西·长安一中高三期末 (理))已知函数 f(x) = 2x3- 3x，若过点M 1,m- 1 存在三条直线与
曲线 y= f(x)相切，则m的取值范围为___________．
【答案】 -2,0
【解析】设过M的切线切点为 x,f x )，求出切线方程，参变分离得 4x3- 6x2=-m- 2，令 g x = 4x3
- 6x2，则原问题等价于 y= g(x)与 y=-m- 2 的图像有三个交点，根据导数研究 g(x)的图像即可求
出m的范围．
【详解】
f x = 6x2- 3，
设过点M 1,m- 1 的直线与曲线 y= f x 相切于点 x,2x3- 3x ，
2x3则 - 3x-m+ 1 2x- 1 = 6x - 3，
化简得，4x3- 6x2=-m- 2，令 g x = 4x3- 6x2，
则过点M 1,m- 1 存在三条直线与曲线 y= f(x)相切等价于 y= g
(x)与 y=-m- 2 的图像有三个交点．
∵ g x = 12x x- 1 ，
故当 x< 0 或 x> 1 时，g x > 0，g(x)单调递增；当 0< x< 1 时，
g x < 0，g(x)单调递减，
又 g 0 = 0，g 1 =-2，
∴ g(x)如图，
∴-2<-m- 2< 0，即m∈ -2,0 ．
故答案为： -2,0 ﹒
14. (2022·湖北·荆州中学模拟预测)设 x= 1是函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c(x∈R)的一个极值点，则 a与
b的关系为________．
【答案】2a+ b=-3(a≠-3)
【解析】利用 f (1) = 0 求解即可.
【详解】
解：因为 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c(x∈R)，
所以 f (x) = 3x2+ 2ax+ b，
又因为 x= 1 是极值点，
所以 f (1) = 3+ 2a+ b= 0，
即：2a+ b=-3.
又因为 Δ= 2a 2- 12b= 4 a2+ 6a+ 9 = 4 a+ 3 2> 0，
所以 a≠-3，
故答案为：2a+ b=-3(a≠-3)
15. (2022·四川达州·一模 (理))对于三次函数 f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)，给出定义：设 f x 是函数
y= f(x)的导数，f x 是 f x 的导数，若方程 f x = 0有实数解 x0，则称点 (x0，f(x0))为函数 g(x)
= x2- 2ax+ 3= (x- a)2+ 3- a2的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一
个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 g(x) = 2x 3- 3x 2+ 1 1，则 g 100 +
g 2 99100 + g 100 = ____________.
【答案】49 12
【解析】依题意得，g' x = 6x2- 6x,g" x = 12x- 6，令 g" x = 0，得 x= 12 ，∵ g
1 = 12 2 ,∴函数
g x 的对称中心为 1 , 1 2 2 ，则 g 1- x + g x = 1，
∵ 1 + 99 = 2 + 98 =...= 49 51 1 99 2 98100 100 100 100 100 + 100 = 1，∴ g 100 + g 100 = g 100 + g 100 =...=
g 49100 + g
51 = 1∴ g 1100 100 + g
2
100 +...+g
90 1 99
100 = g 100 + g 100 +
g 2 98 100 + g 100 +...+ g
49 + g 51 100 100 + g
1
2
= 49+ 12 = 49
1
2 ,故答案为 49
1
2 .
【方法点睛】本题主要考查导数的应用、函数的对称性数学的转化与划归思想. 属于难题.
转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其
在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度. 运用这种
方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 以便将问题转化为我们所熟悉的知识领
域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题将求和问题转化为函数的对称
问题解答是解题的关键.
五、解答题
16. (2022·广东·高三阶段练习)已知函数 f x = x3+ ax2+ bx+ c x=-1 x= 1在 与 3 处都取得极值.
(1)求实数 a，b的值；
(2)若函数 f(x)有三个不同的零点，求 c的范围.
【答案】(1)a= 1,b=-1 (2) - 1< c< 527
【解析】
(1)由题意可得 f (-1) = 0,f 13 = 0，解方程组可求出 a,b的值，然后再检验即可，
f(-1)> 0
(2)由 (1)可得 f(x)的极大值为 f -1 ，极小值为 f 1 3 ，则由题意得 1 < ，从而可求出 c的范围f 3 0
(1)
f (x) = 3x2+ 2ax+ b，
f (-1) = 3- 2a+ b= 0,f 1 1 23 = 3 + 3 a+ b= 0.
解得 a= 1,b=-1，此时 f (x) = 3x2+ 2x- 1= (x+ 1) (3x- 1).
当 x∈ (-∞,-1), 1 ,+∞ 时,f 3 x > 0， f(x)单调递增，
当 x∈ -1, 1 时，f 3 x < 0, f(x)单调递减，
满足在 x=-1 与 x= 13 处都取得极值、故 a= 1,b=-1
(2)
由 (1)可知， f(x)在 (-∞-1)单调递增，在 -1, 13 单调递减，在
1
3 ,+∞ 单调递增，即 f(x)的极大
值为 f -1 =-1+ 1+ 1+ c= 1+ c，
极小值为 f 1 = 1 1 1 53 27 + 9 - 3 + c=- 27 + c，
f(-1)> 0 c>-1
要使函数 f(x)有三个不同零点,则 f 1 < 0 c< 5 ，3 27
∴-1< c< 527 为所求.
17. (2022·全国·高三专题练习 (文))设函数 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c ．
(1)求曲线 y= f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程；
(2)设 a= b= 4 ，若函数 f(x) 有三个不同零点，求 c的取值范围；
(3)求证：a2- 3b> 0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．
【答案】(1)bx- y+ c= 0 (2) 0, 3227 (3)证明见解析
【解析】
(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义，求得切线斜率，可得切线方程；
(2)求出函数的导数，令导数等于 0，列表表示导数的正负以及函数的单调情况，根据题意列出关于 c
的不等式，求得答案.
(3)先证明 f(x)有三个不同零点必有 a2- 3b> 0，再通过特殊值说明满足 a2- 3b> 0 时函数不一定有
三个不同零点，即可证明结论.
(1)
由 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c，得 f x = 3x2+ 2ax+ b ，切线斜率 k= f 0 = b ，
又 f 0 = c ，所以切点坐标为 (0,c)，
所以所求切线方程为 y- c= b x- 0 ，即 bx- y+ c= 0 .
(2)
由 a= b= 4 得 f x = x3+ 4x2+ 4x+ c,
∴ f x = 3x2+ 8x+ 4= (3x+ 2) (x+ 2)
令 f x = 0 ，得 (3x+ 2) (x+ 2) = 0 ，
解得 x=-2 或 x=- 23 ，
f x ，f x 随 x的变化情况如下：
x (-∞,-2) -2 -2,- 23 -
2 - 23 3 ,+∞
f x + 0 - 0 +
f x 增 c 减 c- 32 增27
所以，当 c> 0 且 c- 3227 < 0 时，存在 x1∈ (-∞,-2),x2∈ -2,-
2 2
3 ,x3∈ - 3 ,+∞ ，
使得 f x1 = f x2 = f x3 = 0 .
故由 f x 的单调性知，当且仅当 c∈ 0, 3227 时，函数 f(x) = x
3+ ax2+ bx+ c有三个不同零点
(3)
证明：当 Δ= 4a2- 12b< 0 时，即 a2- 3b< 0，
f x = 3x2+ 2ax+ b> 0 ，x∈ (-∞,∞) ，
此时函数 f x 在区间 (-∞,∞)上单调递增，
所以 f x 不可能有三个不同零点.
当 Δ= 4a2- 12b= 0 时，f x = 3x2+ 2ax+ b只有一个零点，记作 x0，
当 x∈ (-∞,x0) 时，f x > 0 ，f x 在区间 (-∞,x0) 上单调递增；
当 x∈ (x0,+∞) 时，f x > 0，f x 在区间 (x0,+∞)上单调递增.
所以 f x 不可能有三个不同零点.
综上所述，若函数 f x 有三个不同零点，则必有 Δ= 4a2- 12b> 0 ，
故 4a2- 12b> 0 是 f x 有三个不同零点的必要条件.
当 a= b= 4,c= 0 时，4a2- 12b> 0，f x = x3+ 4x2+ 4x= x(x+ 2)2 只有两个不同零点，
所以 a2- 3b> 0 不是 f x 有三个不同零点的充分条件.
因此 a2- 3b> 0 是 f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
18. (2022·广东· 1 1惠来县第一中学高三阶段练习)设 f(x) = x33 + 2 (b- 1)x
2- bx,x∈R
(1)当 b= 1时，求 f(x)的单调区间；
(2)当 f(x)在R上有且仅有一个零点时，求 b的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间是 (-∞,-1)，(1,+∞)；单调递减区间是 (-1,1)
(2) - 3< b<- 13
【解析】
(1)代入 b= 1，求解函数 f(x)的导数，利用导数求解函数 f(x)的单调区间；
(2)分类讨论参数 b的取值范围，利用导数求解函数 f(x)的极值点，因有且只有一个零点，故极大值小
于 0，或者极小值大于 0，进而求解参数 b的取值范围.
(1)
解:当 b= 1 时，f(x) = 13 x
3- x，f (x) = x2- 1，
令 f (x) = x2- 1= (x+ 1) (x- 1) = 0，解得 x1=-1,x2= 1.
当 x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下：
x (-∞, -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
-1)
f (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 f(x)的单调递增区间是 (-∞,-1)，(1,+∞)；单调递减区间是 (-1,1).
(2)
∵ f (x) = x2+ (b- 1)x- b= (x- 1) (x+ b) = 0∴ x1= 1,x2=-b
①当-b= 1 时，即 b=-1 时，f (x) = (x- 1)2≥ 0，所以 f(x)在 (-∞,+∞)上单调增，
此时 f(x)有且只有一个零点 x= 0，符合题意
②当-b< 1 时，当 x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下：
x (-∞, -b (-b,1) 1 (1,+∞)
-b)
f (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
f(-b) = 1 b3 1 26 + 2 b f(1) =-
1
2 b-
1
6
故当-b< 1 时，f(-b) = 1 b3+ 1 2 1 16 2 b < 0 或 f(1) =- 2 b- 6 > 0，
解得：-1< b<- 13 ；
③当-b> 1 时，当 x变化时，f (x)，f(x)变化情况如下：
x (-∞, 1 (1,-b) -b (-b,+∞)
1)
f (x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
f(1) =- 1 b- 1 f(-b) = 1 b3+ 1 b22 6 6 2
故当-b> 1 时，f(-b) = 1 b3+ 1 b26 2 > 0 或 f(1) =-
1
2 b-
1
6 < 0，
解得：-3< b<-1；
综上所述：b的取值范围是-3< b<- 13 .
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒
成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调
性、极 (最)值问题处理．
19. (2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习)已知函数 f x =-x3+ 3x+ a，a∈R．
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)求函数 f x 的极值．
【答案】(1)函数 f(x)的单调递增为 -1,1 ，单调递减为 -∞,-1 和 1,+∞ ；
(2)f(x)的极小值为 f(-1) = a- 2，极大值为 f(1) = a+ 2.
【解析】
(1)根据导数与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解；
(2)根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.
(1)
由题意可知，f(x)的定义域为 -∞,+∞ .
f x =-3x2+ 3=-3 x+ 1 x- 1
令 f (x)> 0,即-3 x+ 1 x- 1 > 0，解得-1< x< 1.
令 f (x)< 0,即-3 x+ 1 x- 1 < 0，解得 x<-1 或 x> 1
所以函数 f(x)的单调递增为 -1,1 ，单调递减为 -∞,-1 和 1,+∞ .
(2)
由题意可知，f(x)的定义域为 -∞,+∞ .
因为 f x =-x3+ 3x+ a，所以 f x =-3x2+ 3=-3 x+ 1 x- 1 ，
令 f (x) = 0,即-3 x+ 1 x- 1 = 0，解得 x=-1 或 x= 1.
当 x变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：
x -∞,-1 -1 -1,1 1 1,+∞
f (x) - 0 + 0 -
f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减
所以 f(x)的极小值为 f(-1) =- -1 3+ 3× -1 + a= a- 2，
极大值为 f(1) =-13+ 3× 1+ a= a+ 2.
20.(2022·黑龙江·大庆外国语学校高三期末)已知函数 f x = x3+ ax2- a2x+m(a> 0)．
(1)若 a= 1时函数 f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
(2)若对任意的 a∈ 3,6 ，不等式 f x ≤ 1在 -2,2 上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) -1, 527 (2) -∞,-87
【解析】
(1)将函数 f x 有三个互不相同的零点转化为m=-x3- x2+ x有三个互不相等的实数根，令 g x =
-x3- x2+ x，求导确定单调性求出极值即可求解；
(2)求导确定单调性，结合 a∈ 3，6 以及 x∈ -2,2 得 f(x)max=max f -2 ,f 2 ，由 f(x)max≤ 1
得m≤ 9- 4a- 2a2，结合二次函数单调性求出最小值即可求解.
(1)
当 a= 1 时，f x = x3+ x2- x+m．∵函数 f x 有三个互不相同的零点，∴ x3+ x2- x+m= 0 即
m=-x3- x2+ x有三个互不相等的实数根．
令 g x =-x3- x2+ x，则 g x =-3x2- 2x+ 1=- 3x- 1 x+ 1 ，令 g (x) = 0 得 x=-1 或 13 ，
∴ g x 1 在 -∞,-1 和 3 ,+∞ 上均为减函数，在 -1,
1
3 上为增函数，∴ g(x)极小值为 g -1 =
-1，极大值为 g 13 =
5
27 ，
∴m的取值范围是 -1, 527 ；
(2)
∵ f x = 3x2+ 2ax- a2= 3 x- a3 x+ a ，且 a> 0，∴当 x<-a或 x>
a 时，f 3 x > 0；当-a<
x< a3 时，f
x < 0．
∴函数 f x 的单调递增区间为 -∞,-a 和 a3 ,+∞ ，单调递减区间为 -a,
a
3 . 当 a∈ 3,6 时，
a
3
∈ 1,2 ，-a≤-3.
又 x∈ -2,2 ，∴ f(x) 2max=max f -2 ,f 2 ，又 f 2 - f -2 = 16- 4a < 0，∴ f(x)max= f -2 =
-8+ 4a+ 2a2+m．
又∵ f x ≤ 1 在上恒成立，∴ f(x)max≤ 1 即-8+ 4a+ 2a2+m≤ 1，即当 a∈ 3,6 时，m≤ 9- 4a-
2a2恒成立．
∵ 9- 4a- 2a2=-2(a+ 1)2+ 11 在 a∈ 3,6 上单减，故最小值为 9- 4× 6- 2× 62=-87，∴m的取
值范围是 -∞,-87 ．
21. (2022· 1安徽师范大学附属中学高三期中)设函数 f(x) = 3 x
3+ x2- 3x．
(1)求函数 f x 的单调区间和极值；
(2)求函数 f x 在 -1,3 上的最值．
【答案】(1)f(x)的单调增区间为 (-∞,-3)和 (1,+∞)，减区间是 (-3,1)，极大值为 f(-3) = 9，极小值
为 f(1) =- 53 (2)最大值为 9，最小值为-
5
3
【解析】
(1)求出函数的导数，列表判断导数的正负，可判断函数的单调性，求得极值；
(2)计算出函数在 -1,3 内的极值，再算出端点处的函数值，比较可得答案.
(1)
f (x) = x2+ 2x- 3= (x+ 3) (x- 1)，令 f (x) = 0，则 x=-3 或 x= 1．
列表如下：
x -∞,-3 -3 -3,1 1 1,+∞
f x + 0 - 0 +
f x 单调递增 9 单调递减 - 5 单调递增3
因此 f(x)的单调增区间为 (-∞,-3)和 (1,+∞)，减区间是 (-3,1)．
当 x=-3 时，f(x)有极大值，极大值为 f(-3) = 9；当 x= 1 时，f(x)有极小值，极小值为 f(1) =- 53 ．
(2)
由 (1)知 f(x)在 [-1,3]上的极小值为 f(1) =- 5 ，又 f(-1) = 113 3 ,f(3) = 9，
所以 f(x)在 [-1,3]上的最大值为 9，最小值为- 53 ．
22.(2022· 1 1北京八十中高三期中)已知函数 f(x) =- x3+ ax23 2 + 2a
2x+ 3(a∈R)，f x 为函数 f(x)的
导函数
(1)若 x=-1为函数 f(x)的极值点，求实数 a的值；
(2)f(x)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数 a的取值范围；
(3)对任意 0< a≤ 12 时，任意实数 x1,x2∈ -1,2 ，都有 f(x1) + f
(x2) - 3≥M+ 7a- 203 恒成立，求
实数M的最大值.
【答案】(1)a=- 12 或 a= 1 (2)a∈

-1,-
1
2 ∪
1
2 ,1

(3) -
3
8
【解析】
(1)首先求出函数的导函数，依题意 f -1 = 0，即可得到方程，解得 a，再代入检验即可；
(2)依题意有且只有两个整数满足不等式 x+ a x- 2a < 0，再分 a> 0 和 a< 0 两种情况讨论，分
别得到不等式组，解得即可；
(3)由 f x - 3=- 1 1 33 x1+
1
2 ax
2
1+ 2a2x1，令 g 1 1 x =- 3 2 23 x + 2 ax + 2a x利用导数说明函数的单调
性，即可求出函数的最小值，再根据二次函数的性质求出 f x 的最小值，即可得到 6a2+ 4a- 202 3 ≥
M+ 7a- 203 ，最后根据二次函数的性质计算可得；
(1)
解：因为 f(x) =- 1 3 13 x + 2 ax
2+ 2a2x+ 3，
所以 f (x) =-x2+ ax+ 2a2，
因为 x=-1 为函数 f(x)的极值点，
所以 f 1 -1 =-12- a+ 2a2= 0，解得 a=- 2 或 a= 1；
当 a= 1 时，f(x) =- 13 x
3+ 1 22 x + 2x+ 3，则 f
(x) =-x2+ x+ 2= -x+ 2 x+ 1 ，
所以，当-1< x< 2 时 f (x)> 0，函数 f x 单调递增，当 x<-1 或 x> 2 时 f (x)< 0，函数 f x 单调
递减，故函数在 x=-1 处取得极小值，符合题意；
当 a=- 1 时，f(x) =- 1 x3- 1 22 3 4 x +
1 2 1 1 1
2 x+ 3，则 f (x) =-x - 2 x+ 2 = x+ 1 -x+ 2 ，
所以，当-1< x< 12 时 f
(x)> 0，函数 f x 单调递增，当 x<-1 或 x> 12 时 f
(x)< 0，函数 f x 单
调递减，故函数在 x=-1 处取得极小值，符合题意；
综上，a=- 12 或 a= 1．
(2)
解： f (x) =-x2+ ax+ 2a2=- x+ a x- 2a ，
因为，f(x)的单调增区间内有且只有两个整数，
所以，有且只有两个整数满足不等式 f (x)> 0，即有且只有两个整数满足不等式 x+ a x- 2a <
0，
显然 a≠ 0，
当 a> 0 时，解得-a< x< 2a，即不等式的解集为 x|-a< x< 2a ，
所以 1< 2a≤ 2，解得 1 - ≥- 2 < a≤ 1；a 1
当 a< 0 时，解得 2a< x<-a，即不等式的解集为 x|2a< x<-a ，
所以 -2≤ 2a<-1 - ≤ ，解得-1≤ a<-
1
a 1 2
；
综上可得 a∈ -1,-
1
2 ∪
1
2 ,1


(3)
解：因为 f x1 - 3=- 13 x
3
1+ 1 ax22 1+ 2a
2x1，
令 g x =- 1 x3+ 1 ax2+ 2a2x，则 g x =-x2+ ax+ 2a23 2 =- (x+ a) (x- 2a)，
令 g x = 0，则 x=-a或 x= 2a，
因为 0< a≤ 12 ，所以-a∈
-
1
2 ,0 ，2a∈ 0,1 ，
所以当 x∈ [-1，-a]和 x∈ (2a，2]时，g x < 0，函数 g x 单调递减，当 x∈ (-a,2a)时，g x > 0，
函数 g x 单调递增，
所以函数 g x 的极小值为 g(-a) = 1 a3+ 1 a33 2 - 2a
3=- 7 a36 ，
又 g(2) =- 83 + 2a+ 4a
2，
令 h(a) = g(2) - g(-a) = 76 a
3+ 4a2+ 2a- 83 ，h
(a) = 7 22 a + 8a+ 2> 0 在 0< a≤
1
2 上成立，
所以，当 0< a≤ 1 1 252 时，函数 h a 单调递增，故 h(a)max= h 2 =- 48 < 0，
所以 g 2 < g -a ，
即当 x∈ [-1，2]时，g(x) 8min= g(2) =- 3 + 2a+ 4a
2，
2 2
又 f x2 =-x22+ ax + 2a22 =- x2- a + 9a2 4
其对应函数图像的对称轴为 x = a < 12 2 2 ，
所以 x = 2 时，f 2 x2 min= f (2) =-4+ 2a+ 2a2，
所以 f x - 3+ f x ≥ 6a2+ 4a- 20 ，故有 6a2+ 4a- 20 1 2 3 3 ≥M+ 7a-
20
3 ，
所以，6a2- 3a≥M，0< a≤ 12 ，
2
因为 6a2- 3a= 6 a- 14 -
3
8 ，0< a≤
1
2 ，
2
所以 6a2- 3a= 6 a- 14 -
3
8 ≥-
3
8 ，
所以M≤- 38 ，即实数M的最大值为-
3
8 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，极值，不等式恒成立问题等，考查运算求解能力，化归转化
思想，是难题. 本题第三问解题的关键在于构造函数 g 1 1 x =- 3 2 23 x + 2 ax + 2a x，并求得其在区间
-1,2 时的最小值，进而将问题转化为 6a2- 3a≥M，0< a≤ 12 ，最后结合二次函数的性质求最值
即可.

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