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【高中数学文化鉴赏】
杨辉三角
一、单选题
1.如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了 (a+ b)n(n为
非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．由此
可得图中第 10 行排在偶数位置的所有数字之和为
( )
A. 256
B. 512
C. 1024
D. 1023
【答案】B
【解析】由图形以及二项式系数和的有关性质可得.
【详解】
由图知，第 10行的所有数字之和为C 0 +C 1 +C 2 +C 3 +C 4 +C 5 +C 6 +C 7 +C 8 +C 9 +C 10= 21010 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ，
由二项式系数和的性质知，第 10行排在偶数位置的所有数字之和为 12 × 2
10= 512．
故选：B
2.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章
算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在 1654年才发
现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数
所构成的“杨辉三角”中 (如图)，记第 2行的第 3个数
字为 a1，第 3行的第 3个数字为 a2， ，第 n n≥ 2
行的第 3个数字为 a n-1则 a 1 + a 2 + a 3 + +a 9=
( )
A. 165 B. 120 C. 220 D. 96
【答案】A
【解析】根据题意，由杨辉三角可得 a1=C 22,a2=C 2 2 23,a3=C4, ,a9=C10，再由组合数的性质可求得答案
【详解】
由题意得，a =C 21 2,a2=C 23,a 2 23=C4, ,a9=C10，
则 a1+ a2+ a + +a =C 23 9 2+C 2 2 2 33+C4+ +C10=C11= 165，
故选：A
3.我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是
数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，若去除所有为 1的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，
10，5， 则此数列的前 46项和为 ( )
A. 4080 B. 2060
C. 2048 D. 2037
【答案】D
【解析】根据规律得出杨辉三角中每一行的和，每一行的数
的个数，这样可确定题中数列前 46项，正好包含杨辉三角中前 11行，加上第 12行的第 2个数 11，由此
可得结论．
【详解】
杨辉三角的第n行的和为 2n-1,(n= 1,2, )，故前n行的和为S = 1- 2
n
n
n 1- 2 = 2 - 1，
每一行的个数为 1，2，3， n(n+ 1)，可看成以 1为首项，以 1为公差的等差数列，则Tn= 2 ，
当n= 11时，T = 11× 1211 2 = 66，去除两端的 1可得 66- 21= 45，
则此数列的前 46项的和为：S11- 21+ 11= 211- 1- 21+ 11= 2037．
故选：D
4.如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为 ( )
A. 2n B. 2n- 1
C. 2n+ 2 D. 2n+ 1
【答案】B
【解析】根据给定数阵，观察首尾两个数的特征，利用等差数列通
项公式求解作答.
【详解】
依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1，3，5，7，9， ，它们成等差数列，通项为 2n- 1，
所以第n行的首尾两个数均为 2n- 1.
故选：B
5.我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是
数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 n行的所有数字之和为 2n-1，若去除所有为 1的项，依
次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5， ，则此数列的前 56项和为 ( )
A. 2060 B. 2038
C. 4084 D. 4108
【答案】C
【解析】将所求数列之和，转化为杨辉三角每一行对应数之和，再结合杨
辉三角每一行的和为 2n-1，即可求得结果.
【详解】
去除所有为 1的项后，剩下的每一行的个数为 1,2,3, ，
对应个数构成一个首项为 1公差为 1的等差数列，
m m+ 1
则前m行数字个数之和为Tm=

2 ，当m= 10时，T10= 55，
故该数列前 56项和表示：杨辉三角中前 12行数字之和，减去所有 23个 1，
再加上杨辉三角中第 13行第二个数字 12即可，
12
故所求数列的前 56项和为：1- 21- 2 - 23+ 12= 4084.
故选：C .
6.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉 1261年所
著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第 n行中从左至
右只有第 12个数为该行中的最大值，则n= ( )
A. 21 B. 22
C. 23 D. 24
【答案】B
【解析】由题意可知，第n行的数就是二项式 a+ b n的展开
式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果.
【详解】
由题意可知，第n行的数就是二项式 a+ b n的展开式中各项的二项式系数.
因为只有第 12项的二项式系数C 11n 最大，
所以n为偶数，故 n2 = 11，解得n= 22，
故选：B
7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年，如图是由“杨辉
三角”拓展而成的三角形数阵，记 an为图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成的数列 an 的第 n项，则
a50的值为 ( )
A. 1225 B. 1275
C. 1326 D. 1362
【答案】B
n(n+ 1)
【解析】观察前 4项可得 an= 2 ，从而可求得结果
【详解】
由题意可得 a1= 1,a2= 3= 1+ 2,a3= 6= 1+ 2+ 3,a4= 10= 1+ 2+ 3+ 4，
，
观察规律可得 an= 1+ 2+ 3+ + =
n(n+ 1)
n 2 ，
所以 a = 50× 5150 2 = 1275，
故选：B
8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年，如图是由“杨辉
三角”拓展而成的三角形数阵，记 an为图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成的数列 an 的第 n项，则
a10的值为 ( )
A. 45 B. 55
C. 66 D. 67
【答案】B
【解析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法
可得数列的通项公式与 a10.
【详解】
由已知可得数列的递推公式为 a n- an-1=n，n≥ 2且n∈N ，且 a1= 1，
故 an- an-1=n，
an-1- an-2=n- 1，
an-2- an-3=n- 2，

a3- a2= 3，
a2- a1= 2，
n+ 2 n- 1
等式左右两边分别相加得 an- a1=n+ n- 1 + n- 2 + +3+

2= 2 =
n2+n- 2
2 n≥ 2 ，
n2a = a + +n- 2
2
n 1 2 =
n +n
2 n≥ 2
a = 10
2+ 10
10 2 = 55，
故选：B.
9.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章
算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第 8行，第 3个数是 ( )
第 0行 1
第 1行 1 1
第 2行 1 2 1
第 3行 1 3 3 1
第 4行 1 4 6 4 1

A. 21 B. 28 C. 36 D. 56
【答案】B
【解析】由题意知第 8行的数就是二项式 (a+ b)8的展开式中各项的二项式系数，可得第 8行，第 3个
数是为C 28，即可求解．
【详解】
解：由题意知第 8行的数就是二项式 (a+ b)8的展开式中各项的二项式系数，
故第 8行，第 3个数是为C 2= 8× 78 2× 1 = 28．
故选：B．
10.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第 10行第 7
个数是 ( )
A. 120 B. 210
C. 84 D. 36
【答案】C
【解析】由题意第九行的数就是 a+ b 9的展开式
的各项的二项式系数可得答案.
【详解】
由题意，第九行的数就是 a+ b 9的展开式的各项
的二项式系数，
所以第 10行第 7个数是C 69=C 39= 84．
故选：C .
11.将三项式展开，得到下列等式：
(a2+ a+ 1)0= 1
(a2+ a+ 1)1= a2+ a+ 1
(a2+ a+ 1)2= a4+ 2a3+ 3a2+ 2a+ 1
(a2+ a+ 1)3= a6+ 3a5+ 6a4+ 7a3+ 6a2+ 3a+ 1

广义杨辉三角形
第 0行 1
第 1行 1 1 1
第 2行 1 2 3 2 1
第 3行 1 3 6 7 6 3 1
第 4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第
0行为 1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的 3个数 (不足 3个数时，缺少的数以 0计)之和，
第 k行共有 2k+ 1个数.则关于 x的多项式 (a2+ ax- 3) (x2+ x+ 1)5的展开式中，x8项的系数
( )
A. 15(a2+ a- 1) B. 15(a2+ a+ 1) C. 15(a2+ 2a+ 3) D. 15(a2+ 2a- 3)
【答案】D
【解析】根据 (a2+ a+ 1)k的展开式的各项的系数符合广义杨辉三角形的规律，得到 (x2+ x+ 1)5的展
开式的各项的系数求解.
【详解】
解：由题意得：(a2+ a+ 1)k的展开式的各项的系数符合广义杨辉三角形的规律：第 0行为 1，以下各行
每个数是它正上方与左右两肩上的 3个数 (不足 3个数，缺少的数以 0计)之和，
第 k行共有 2k+ 1个数，
根据广义杨辉三角形的规律，(x2+ x+ 1)5的展开式的各项的系数为 1，5，15，30，45，51，45，30，15，
5，1，
则 (a2+ ax- 3) (x2+ x+ 1)5= (a2+ ax- 3) (x10+ 5x9+ 15x8+ 30x7...+15x2+ 5x+ 1)，
其展开式中含有 x8的项为 a215x8,ax30x7,-3× 15x8，
则 15a2x8+ 30ax8- 45x8= 15 a2+ 2a- 3 x8，
所以 x8项的系数为 15 a2+ 2a- 3 ，
故选：D
12.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，
，记这个数列的前n项和为S n ，则S 16 等于 ( )
A. 144 B. 146
C. 164 D. 461
【答案】C
【解析】根据二项式系数规律，结合组合数的性质，利用分组求和法即可求
S 16 .
【详解】
由题图知，数列中的首项是C 22，第 2项是C 1 2 1 22，第 3项是C3，第 4项是C3， ，第 15项是C9，第 16项
是C 19．
∴S 16 =C 1+C 2+C 12 2 3+C 2 1 23+ +C9+C9
= C 1+C 1+ +C 1 + C 2+C 2 22 3 9 2 3+ +C9
= C 2+C 1+C 1+ +C 1-C 2 + C 3+C 22 2 3 9 2 3 3+ +C 29
=C 2 310- 1+C10= 164．
故选：C．
13.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章
算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在 1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式
系数所构成的“杨辉三角”中 (如图)，记第 2行的第 3个数字为 a1，第 3行的第 3个数字为 a2， ，第
n n≥ 2 行的第 3个数字为 an-1，则 a1+ a2+ a3+ +a10= ( )
第 0行 1
第 1行 1 1
第 2行 1 2 1
第 3行 1 3 3 1
第 4行 1 4 6 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1

A. 220 B. 186 C. 120 D. 96
【答案】A
【解析】根据题意，由杨辉三角与二项式系数的关系及组合数性质Cmn+1=Cm+Cm-1n n 可解.
【详解】
a1+ a2+ a3+ +a =C 210 2+C 23+C 2+ +C 2 =C 34 11 3+C 2 23+C4+ +C 211
=C 34+C 24+ +C 2 3 2 2 3 12× 11× 1011=C5+C5+ +C11= =C12= 3× 2× 1 = 220.
故选：A.
14.南宋数学家杨辉在 1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，这是数学史上的一个伟大
的成就，如图所示，在“杨辉三角”中，前 n行的数字总和记作 Sn．设 an= 3log2 Sn+ 1 + 1，将数列
T
a 中的整数项依次组成新的数列 b ，设数列 b 的前 n 项和记作 T ，则 2022n n n n 2022 的值为
( )
A. 6067
B. 5052
C. 3048
D. 1518
【答案】D
【解析】利用等比数列的求和公式求出Sn，进而求出 an，再根据 an= 3n+ 1为整数分析可知，数列
bn 是由从 2开始的不是 3的倍数的正整数组成的，由此求出T2022，即可得解.
【详解】
由杨辉三角可得Sn= 1+ 2+ 4+ 8+ +2n-1= 2n- 1，
所以 an= 3log2(2n- 1+ 1) + 1= 3n+ 1> 1，
若 an= 3n+ 1= 3k，k为正整数，则n= 3k2- 13 不是正整数，不合题意；
若 a = 3n+ 1= 3k+ 1，k为正整数，则n= 3k2n + 2k是正整数，符合题意；
若 an= 3n+ 1= 3k+ 2，k为正整数，则n= 3k2+ 4k+ 1是正整数，符合题意，
所以数列 bn 是由从 2开始的不是 3的倍数的正整数组成的，
所以T2022= 2+ 3+ 4+ 5+ +3034- 3(1+ 2+ 3+ +1011) = 3069396，
所以 T2022 = 30693962022 2022 = 1518.
故选：D
15.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于 1261年所著的《详
解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在 1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在
三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示 . 则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是
( )
A. C 2+C 2+C 23 4 5+ +C 210= 165
B. 在第 2022行中第 1011个数最大
C. 第 6行的第 7个数、第 7行的第 7个数及第 8行的第
7个数之和等于 9行的第 8个数
D.第 34行中第 15个数与第 16个数之比为 2：3
【答案】C
【解析】A选项由Cm-1+Cmn n =Cm 2 2n+1及C3+C4+C 25+ +C 210=C 23+C 3 23+C4+C 25+ +C 210- 1即可
判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由Cm-1n +Cmn =Cm 及C 6=C 7n+1 6 7 即可判断；D
选项直接计算比值即可判断.
【详解】
由Cm-1+Cm=Cm 2 2 2 2 2 3 2 2 2n n n+1可得C3+C4+C5+ +C10=C3+C3+C4+C5+ +C10- 1
=C 3+C 2+C 24 4 5+ +C 210- 1=C 3 - 1= 11× 10× 911 3× 2× 1 - 1= 164，故A错误；
第 2022行中第 1011个数为C 1010C 6+C 6+C 6=C 76 7 8 7+C 6 6 7 6 77+C8=C8+C8=C9，故C正确；
第 34行中第 15个数与第 16个数之比为C 1434:C 1534= 34× 33× × 21 : 34× 33× × 2014× 13× × 1 15× 14× 13× × 1 = 15:20= 3:
4，故D错误.
故选：C .
16.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年.如图所示的是由
“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成数列 an ，记 an为该数列的
第n项，则 a63= ( )
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

A. 2016 B. 4032 C. 2020 D. 4040
【答案】A
【解析】设第n个数为 an，观察图中的数据可得 a1= 1，a2- a1= 2，a3- a2= 3 an- an-1=n，利用累
加法可求 an，从而可求 a63的值．
【详解】
解：设第n个数为 an，
则 a1= 1，
a2- a1= 2，
a3- a2= 3，
a4- a3= 4，

an- an-1=n，
累加可得，an- a1= 2+ 3+ 4+ +n，
∴ an= 1+ 2+ 3+ +
n(n+ 1)
n= 2 ，
∴ a63= 2016，
故选：A
17. 1将杨辉三角中的每一个数C rn都换成分数 + r ，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨 n 1 Cn
1 1 1
三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在 x使得
n+
+ = ，则 x的值是
1 C rn n+ 1 C x rn nCn-1
( )
A. r B. r- 1 C. r+ 1 D. r+ 2
【答案】C
【解析】根据 1 + 1 1 1 1 1+ r + = ，可得 - = ，再根据组合数 n 1 Cn n 1 C xn nC r r r xn-1 nCn-1 (n+ 1)Cn (n+ 1)Cn
得计算，计算即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可得 1 - 1 = 1 ，
nC rn-1 (n+ 1)C rn (n+ 1)C xn
1 - 1 r! n- 1- r ! r! n- r !
nC r (n+ 1)C r = -n-1 n n n- 1 ! n+ 1 n!
= r! n- 1- r ! n+ 1 - n- r
n+ 1 !
= r+ 1 ! n- 1- r !
n+ 1 !
= 1 ，
n+ 1 C r+1n
所以 x= r+ 1.
故选：C
18.我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是
数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 n行的所有数字之和为 2n-1，若去除所有为 1的项，依
次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5， ，则此数列的前 35
项和为 ( )
A. 994
B. 995
C. 1003
D. 1004
【答案】B
【解析】没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为 1，公比为 2的等比数列，可求出其前n项和为
S = 2nn - 1，每一行的个数构成一个首项为 1，公差为 1的等差数列，从而可求出前n项总个数为Tn=
n(n+ 1)
2 ，由此可计算出第 10行去掉“1”后的最后一个数为第 36个数，从而可求出前 35项和。
【详解】
没有去掉“1”之前，第 1行的和为 20，第 2行的和为 21，第 3行的和为 22，
以此类推，即每一行数字和为首项为 1，公比为 2的等比数列，
n
则前n项和为S = 1- 2 nn 1- 2 = 2 - 1．每一行的个数为 1，2，3，4， ，
可以看成构成一个首项为 1，公差为 1的等差数列，
n(n+ 1)
则前n项总个数为Tn= 2 ．
当n= 10时，T10= 55，去掉两端“1”，可得 55- 19= 36，
则去掉两端“1”后此数列的前 36项和为S10- 19= 210- 1- 19= 1004，
所以第 36项为第 10行去掉“1”后的最后一个数为 9，
所以该数列的前 35项和为 1004- 9= 995．
故选：B.
19.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一
组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为 1，1，
2，3，5，8，13， ，则下列选项不正确的是
( )
A.在第 9条斜线上，各数之和为 55
B. 在第n n≥ 5 条斜线上，各数自左往右先增大后
减小
2n+ 1- -1 n
C. 在第n条斜线上，共有 4 个数
D.在第 11条斜线上，最大的数是C 37
【答案】A
【解析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13， ，得到数列规律为 an+ an+1=
an+2判断A选项，再根据杨辉三角得到第n条斜线上的数为：C 0 1n-1,Cn-2,C 2n-3,C 3 4 k-1n-4,Cn-5, ,Cn-k,
C kn- k+1 , ，进而判断BCD.
【详解】
从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13， ，
其规律是 an+ an+1= an+2，
所以第 9条斜线上各数之和为 13+ 21= 34，故A错误；
第 1条斜线上的数：C 00，
第 2条斜线上的数：C 11；
第 3条斜线上的数：C 02,C 11，
第 4条斜线上的数：C 0 13,C2，
第 5条斜线上的数：C 04,C 13,C 22，
第 6条斜线的数：C 05,C 14,C 23，
，
依此规律，第n条斜线上的数为：C 0 ,C 1n-1 n-2,C 2n-3,C 3 ,C 4 k-1 kn-4 n-5, ,Cn-k,Cn- k+1 , ，
在第 11条斜线上的数为C 010,C 1 29,C8,C 37,C 4 56,C5，最大的数是C 37，
由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有 n+ 12 =
2n+ 2
4 个数；
n为偶数时，第n条斜线上共有共有 n = 2n2 4 个数，
2n+ 1- -1 n所以第n条斜线上共 4 ，故C正确；
由上述每条斜线的变化规律可知：在第n(n≥ 5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确.
故选：A.
20.南宋数学家杨辉在 1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上
的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前 n
项和为 Sn，设 bn= 5log2(Sn+ 1) - 1，将数列 {bn}中的整数项组成新的数列 cn ，则 c2021的值为
( )
A. 5043
B. 5047
C. 5048
D. 5052
【答案】D
【解析】根据题意，结合“杨辉三角”的性质求出Sn，进而得到数
列 {bn}，根据数列 {bn}中整数项的规律，求出 cn，即可求解.
【详解】
根据题意，结合“杨辉三角”的性质，
20
知 = 1- 2
n
Sn 20+ 21+ +2n-1= n1- 2 = 2 - 1，因此 bn= 5log2(Sn+ 1) - 1= 5n- 1，
由题意得，此数列的整数项为 2，3，7，8，12，13， ，其规律为各项之间以+1，+4，+1，+4，+1，+4，
，递增，
因此数列 cn 的奇数项是以 5为公差，2为首项的等差数列，偶数项是以 5为公差，3为首项的等差
数列，
即 c 2021+ 12n-1= 2+ 5 n- 1 = 5n- 3，故 c2021= 5× 2 - 3= 5052.
故选：D.
二、填空题
21.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图
所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第 1行开始的每一个数 C rn都换成分数
1
+ r ，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微 n 1 Cn
积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第 9行第 4个数是______．
【答案】 1840
【解析】根据杨辉三角形的特征可得第 9行第 4个数为C 39，结合“莱布尼茨三角形”的定义即可得出结
果.
【详解】
因为杨辉三角的第 9行第 4个数为C 39，
所以“莱布尼茨三角形”第 9行第 4个数是 1 1
10C 3
=
9 840
．
故答案为： 1840
22.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一
组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13， ，则第 10条斜线上，各数之和
为______.
【答案】55
【解析】根据数字之间的关系找到规律，然后进行求解即可.
【详解】
因为从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13， ，
所以可以判断从第三个数开始，每个数是它前两个数的和，
所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， ，
因此第 10条斜线上，各数之和为 55，
故答案为：55
23.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数
都是 1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4行的 6为第 3行中两个 3的和．若在“杨
辉三角”中从第二行右边的 1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，
4，10，5， ，则在该数列中，第 35项是______．
【答案】171
【解析】根据杨辉三角，总结出规律，确定其第 k(k≥ 2)行的第三个数的通项，再确定第 35项是第 19
行的第三个数，由通项公式即可求出结果
【详解】
由杨辉三角可得，第 2行的第三个数为 1；
第 3行的第三个数为 1+ 2 ；
第 4行的第三个数为 1+ 2+ 3 ；
第 5行的第三个数为 1+ 2+ 3+ 4 ；

因此第 k(k≥ 2)行的第三个数为 1+ 2+ 3+ +(k- 1) ；
18× (1+ 18)
而该数列的第 35项是第 19行的第三个数，所以第 35项是 1+ 2+ 3+ +18= 2 = 171
故答案为：171
24.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开
后的系数构成的三角图形 ，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下图是
a+ b n n∈N * ，当 n= 1,2,3,4,5时展开式的二项式系数表示形式．按这个规律，第 9行第 8个数
为________．
【答案】36
【解析】由“杨辉三角”归纳出结论．
【详解】
由“杨辉三角”知其第 9行第 8个数C 79= 36．
故答案为：36
25.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三
角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的
《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在 1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．
“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所
示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角中，第 10行第 8个数是______．
【答案】120
【解析】根据二项式的展开式系数的相关知识即可求解.
【详解】
因为，二项式展开式第 r+ 1项的系数为Tr+1=C rn，
所以，第 10行第 8个数是C 7 =C 3 = 10× 9× 810 10 3× 2× 1 = 120.
故答案为：120
26.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体
现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第 3行开始，每一行除 1以外，其
他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个
相邻的数字之比为 4 ∶ 5 ∶ 6，则这一行是第__________行.
第 0行 1
第 1行 1 1
第 2行 1 2 1
第 3行 1 3 3 1
第 4行 1 4 6 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1
第 6行 1 6 15 20 15 6 1
【答案】98
【解析】根据给定条件，利用二项式系数列出方程组，结合组合数公式求解作答.
【详解】
依题意，n∈N ，第n行各数从左到右均满足：C rn,r∈N ,r≤n，
r-1 r
设第n行的相邻三个数为：C r-1,C r,C r+1，于是得 Cn :Cn= 4:5n n n C r:C r+1n n = 5: ，即6
n! n! (r- 1)!(n- + : = 4:5r 1)! r!(n- r)!

n!
，
!( - )! :
n!
r n r (r+ 1)!( = 5:6n- r- 1)!
整理得： 4n- 9r=-4 r= 44 - = ，解得： ，5n 11r 6 n= 98
所以这一行是第 98行.
故答案为：98
27. 1将杨辉三角中的每一个数C rn都换成 + r ，就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨 n 1 Cn
1 1 1 1 1 1 1
三角形，从莱布尼茨三角形可看出 + r + + r+1 = r ，令 an 1 C n 1 C nC n= + + + n n n-1 2 6 12 20
+
+ 1 11 + + 1 ，则 an=_______.nCn-1 n 1 Cn
【答案】 nn+ 1
【解析】分析可得 1 1 1
n+ 1 C 1
= n - n+ 1，利用裂项相消法可求得 an.n
【详解】
因为 1 = 1 1 1
n+ 1 C 1n n n+
= n - n+ 1，1
所以，a = 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + 1n 2 6 12 20 nC 1n-1 n+ 1 C 1n
= 11× 2 +
1 + 1 + 1 1 12× 3 3× 4 4× 5 + + + n- 1 n n n+ 1
= 1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 12 2 3 3 4 4 - 5 + +
1
n- 1 -
1
n +
1
n -
1
n+ 1 = 1-
1
n+ 1 =
n
n+ 1 .
故答案为： nn+ 1 .
28.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著
的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把
杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1， ，
记作数列 an ．若数列 an 的前n项和为Sn，则S47=______．
【答案】521
【解析】由题知前 47项的和为杨辉三角前 9行的和再加第 10行的前两个数 1和 9，进而结合第n行的
所有数的和为 2n-1，求解S47即可.
【详解】
解：根据题意杨辉三角前 9行共有 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9= 45(项)．
故前 47项的和为杨辉三角前 9行的和再加第 10行的前两个数 1和 9，
由二项式定理可知，第n行的所有数的和为 2n-1，
所以前 47项的和S47= 20+ 21+ 22+ +28+ 1+ 9= 29- 1+ 10= 521．
故答案为：521
29.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技
术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关．如图是一个 7阶
的杨辉三角．给出下列四个命题：
①记第 i i∈N * 行中从左到右的第 j j∈N * 个数为 aij，则数列 aij 的通项公式为 aij=C ji；
②第 k行各数的和是 2k；
n+ 1 2
③n阶杨辉三角中共有 2 个数；
④n阶杨辉三角的所有数的和是 2n+1- 1．
其中正确命题的序号为______．
【答案】②④
【解析】根据第 i行各个数是 a+ b i的展开式的二项式系数，可得数列 a 的通项公式为 a =C j-1ij ij i
可判断①错误；根据各行的所有数的和是各个二项式的二项式系数和，(a+ b)n的二项式系数和为 2k
可判断②正确；第 k行各数的和是 2k，第 k行共有 k+ 1 个数，可求n阶杨辉三角的中数的个数与n
阶杨辉三角的所有数的和.
【详解】
根据第 i行各个数是 a+ b i的展开式的二项式系数，可得数列 a 的通项公式为 a =C j-1ij ij i ，所以①
错误；
各行的所有数的和是各个二项式的二项式系数和，故第 k行各数的和是 2k，所以②正确；
n+ 1 n+ 2
第 k行共有 k+ 1 个数，从而n阶杨辉三角中共有 1+ 2+ + n+ 1 = 2 个数，所以
③错误；
n阶杨辉三角的所有数的和是 1+ 2+ 22+ +2n= 2n+1- 1，所以④正确．
故答案为：②④.
30.如图，在杨辉三角形中，斜线 l的上方从 1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,
5,10, ，记此数列的前n项之和为Sn，则S23的值为__________.
【答案】452
【解析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，
分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n项和.
【详解】
设数列为 {an}，
当n为偶数时，易知 an= n+ 42 ；
前 23项里面有偶数项 11项，奇数项 12项，
偶数项是首项为 3，公差为 1的等差数列，且 a = 22+ 422 2 = 13，
3+ 13 × 11所以偶数项之和为： 2 = 88；
当n为奇数时，1=C 0=C 2，3=C 12 2 3=C 2 23，6=C4，10=C 3 25=C5， ，
所以 an=C 2 2 2n+3，则 a23=C 23+3=C13，
2 2
所以前 23项里面奇数项和为：
C 2+C 2+C 2+C 2+ +C 22 3 4 5 13
=C 33+C 23+C 24+C 2 25+ +C13
=C 34+C 24+C 25+ +C 213
=C 314
= 364，
所以S23= 364+ 88= 452.
故答案为：452.【高中数学文化鉴赏】
杨辉三角
一、单选题
1.如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了 (a+ b)n(n为
非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．由此
可得图中第 10 行排在偶数位置的所有数字之和为
( )
A. 256
B. 512
C. 1024
D. 1023
2.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章
算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在 1654年才发
现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数
所构成的“杨辉三角”中 (如图)，记第 2行的第 3个数
字为 a1，第 3行的第 3个数字为 a2， ，第 n n≥ 2
行的第 3个数字为 a n-1则 a 1 + a 2 + a 3 + +a 9=
( )
A. 165 B. 120 C. 220 D. 96
3.我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是
数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，若去除所有为 1的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，
10，5， 则此数列的前 46项和为 ( )
A. 4080 B. 2060
C. 2048 D. 2037
4.如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为 ( )
A. 2n B. 2n- 1
C. 2n+ 2 D. 2n+ 1
5.我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是
数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 n行的所有数字之和为
2n-1，若去除所有为 1的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，
，则此数列的前 56项和为 ( )
A. 2060 B. 2038
C. 4084 D. 4108
6.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉 1261年所
著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第 n行中从左至
右只有第 12个数为该行中的最大值，则n= ( )
A. 21 B. 22
C. 23 D. 24
7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年，如图是由“杨辉
三角”拓展而成的三角形数阵，记 an为图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成的数列 an 的第 n项，则
a50的值为 ( )
A. 1225 B. 1275
C. 1326 D. 1362
8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年，如图是由“杨辉
三角”拓展而成的三角形数阵，记 an为图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成的数列 an 的第 n项，则
a10的值为 ( )
A. 45 B. 55
C. 66 D. 67
9.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中
国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第 8行，第 3
个数是 ( )
第 0行 1
第 1行 1 1
第 2行 1 2 1
第 3行 1 3 3 1
第 4行 1 4 6 4 1

A. 21 B. 28 C. 36 D. 56
10.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第 10行第 7
个数是 ( )
A. 120 B. 210
C. 84 D. 36
11.将三项式展开，得到下列等式：
(a2+ a+ 1)0= 1
(a2+ a+ 1)1= a2+ a+ 1
(a2+ a+ 1)2= a4+ 2a3+ 3a2+ 2a+ 1
(a2+ a+ 1)3= a6+ 3a5+ 6a4+ 7a3+ 6a2+ 3a+ 1

广义杨辉三角形
第 0行 1
第 1行 1 1 1
第 2行 1 2 3 2 1
第 3行 1 3 6 7 6 3 1
第 4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第
0行为 1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的 3个数 (不足 3个数时，缺少的数以 0计)之和，
第 k行共有 2k+ 1个数.则关于 x的多项式 (a2+ ax- 3) (x2+ x+ 1)5的展开式中，x8项的系数
( )
A. 15(a2+ a- 1) B. 15(a2+ a+ 1) C. 15(a2+ 2a+ 3) D. 15(a2+ 2a- 3)
12.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，
，记这个数列的前n项和为S n ，则S 16 等于 ( )
A. 144 B. 146
C. 164 D. 461
13.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章
算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在 1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式
系数所构成的“杨辉三角”中 (如图)，记第 2行的第 3个数字为 a1，第 3行的第 3个数字为 a2， ，第
n n≥ 2 行的第 3个数字为 an-1，则 a1+ a2+ a3+ +a10= ( )
第 0行 1
第 1行 1 1
第 2行 1 2 1
第 3行 1 3 3 1
第 4行 1 4 6 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1

A. 220 B. 186 C. 120 D. 96
14.南宋数学家杨辉在 1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，这是数学史上的一个伟大
的成就，如图所示，在“杨辉三角”中，前 n行的数字总和记作 Sn．设 an= 3log2 Sn+ 1 + 1，将数列
T
an 中的整数项依次组成新的数列 bn ，设数列 bn 的前 n 项和记作 T ，则
2022
n 2022 的值为
( )
A. 6067
B. 5052
C. 3048
D. 1518
15.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于 1261年所著的《详
解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在 1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在
三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示 . 则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是
( )
A. C 2 2 23+C4+C5+ +C 210= 165
B. 在第 2022行中第 1011个数最大
C. 第 6行的第 7个数、第 7行的第 7个数及第 8行的第
7个数之和等于 9行的第 8个数
D.第 34行中第 15个数与第 16个数之比为 2：3
16.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年.如图所示的是由
“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数 1，3，6，10， 构成数列 an ，记 an为该数列的
第n项，则 a63= ( )
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

A. 2016 B. 4032 C. 2020 D. 4040
17. 1将杨辉三角中的每一个数C rn都换成分数 + r ，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨 n 1 Cn
1 1 1
三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在 x使得
n+ 1 C r
+
n n+ x
= r ，则 x的值是1 Cn nCn-1
( )
A. r B. r- 1 C. r+ 1 D. r+ 2
18.我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是
数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 n行的所有数字之和为 2n-1，若去除所有为 1的项，依
次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5， ，则此数列的前 35项和为 ( )
A. 994
B. 995
C. 1003
D. 1004
19.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一
组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为 1，1，
2，3，5，8，13， ，则下列选项不正确的是
( )
A.在第 9条斜线上，各数之和为 55
B. 在第n n≥ 5 条斜线上，各数自左往右先增大后
减小
2n+ 1- -1 n
C. 在第n条斜线上，共有 4 个数
D.在第 11条斜线上，最大的数是C 37
20.南宋数学家杨辉在 1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上
的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前 n
项和为 Sn，设 bn= 5log2(Sn+ 1) - 1，将数列 {bn}中的整数项
组成新的数列 cn ，则 c2021的值为 ( )
A. 5043
B. 5047
C. 5048
D. 5052
二、填空题
21.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图
所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第 1行开始的每一个数 C rn都换成分数
1
+ r ，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微 n 1 Cn
积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第 9行第 4个数是______．
22.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一
组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13， ，则第 10条斜线上，各数之和
为______.
23.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数
都是 1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4行的 6为第 3行中两个 3的和．若在“杨
辉三角”中从第二行右边的 1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，
4，10，5， ，则在该数列中，第 35项是______．
24.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开
后的系数构成的三角图形 ，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下图是
a+ b n n∈N * ，当 n= 1,2,3,4,5时展开式的二项式系数表示形式．按这个规律，第 9行第 8个数
为________．
25.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三
角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的
《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在 1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．
“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所
示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角中，第 10行第 8个数是______．
26.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体
现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第 3行开始，每一行除 1以外，其
他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个
相邻的数字之比为 4 ∶ 5 ∶ 6，则这一行是第__________行.
第 0行 1
第 1行 1 1
第 2行 1 2 1
第 3行 1 3 3 1
第 4行 1 4 6 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1
第 6行 1 6 15 20 15 6 1
27. 1将杨辉三角中的每一个数C rn都换成 + ，就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨 n 1 C rn
1 1 1
三角形，从莱布尼茨三角形可看出 + r + + r+1 = r ，令 a =
1
n 2 +
1
6 +
1 + 112 20 + n 1 Cn n 1 Cn nCn-1
+ 1 + 1 ，则 a =_______.
nC 1 1 nn-1 n+ 1 Cn
28.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著
的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把
杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1， ，
记作数列 an ．若数列 an 的前n项和为Sn，则S47=______．
29.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技
术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关．如图是一个 7阶
的杨辉三角．给出下列四个命题：
①记第 i i∈N * 行中从左到右的第 j j∈N * 个数为 aij，则数列 aij 的通项公式为 aij=C ji；
②第 k行各数的和是 2k；
n+ 1 2
③n阶杨辉三角中共有 2 个数；
④n阶杨辉三角的所有数的和是 2n+1- 1．
其中正确命题的序号为______．
30.如图，在杨辉三角形中，斜线 l的上方从 1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,
5,10, ，记此数列的前n项之和为Sn，则S23的值为__________.

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