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函数图像变换
知识图谱
函数图像变换
知识精讲
根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图像．函数图像可以是一些点、一些线段、一段曲线等．作函数图像的两种方法：
（一）描点法
若函数性质知之甚少，则在考虑定义域条件下有三个步骤：列表、描点、连线．若函数是由基本初等函数一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数、、、、复合或组合而成的，则考虑结合以下四点描点：①确定函数的定义域，②化简函数解析式，③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性等主要性质可以简化画图过程），④画出函数图像（尤其注意的是特殊点、零点、最大值与最小值、与坐标轴的交点、对称轴、中心、渐近线等）．
（二）图像变换法（常用的变换）
1．平移变换
（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．
2．对称变换
（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到．
（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到．
（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到．
（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．
（5）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．
（6）函数的图像可以将函数的图像关于点对称得到．
3．翻折变换
（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到．
（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．
三点剖析
函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法．在解方程和不等式的时候，有时画出函数图像能起到十分快捷的效果．尤其是较为繁琐的问题，抽象的问题，一般性的问题，解决的时候更要充分利用图像的直观性．
描点法
例题1、 试画出下列函数图像：
（1）；
（2）．
例题2、 已知，求，并利用与的图像作出的图像．
平移变换
例题1、 函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
例题2、 说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像．
例题3、 二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图像恒在的图像上方，试确定实数的范围．
随练1、 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )．
A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
随练2、 将函数的图像上的所有点向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图像的函数解析式为___________．
对称变换
例题1、 函数的图象关于（ ）
A.y轴对称 B.直线y＝x对称 C.坐标原点对称 D.直线y＝－x对称
例题2、 函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
例题3、 已知函数则y＝f（2－x）的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
例题4、 设函数的图像为关于点的对称的图像为对应的函数为，
（1）求函数的解析式，并确定其定义域；
（2）若直线与只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标．
随练1、 函数f（x＋2）关于直线对称，则函数f（x）关于（ ）
A.原点对称 B.直线对称 C.直线对称 D.直线对称
随练2、 已知函数y＝f（x）与y＝ex互为反函数，函数y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）＝1，则实数a的值为（ ）
A.－e B. C.e D.
随练3、 ①在同一坐标系中，与的图象关于x轴对称
②是奇函数
③与的图象关于（－2，1）成中心对称
④的最大值为，
以上四个判断正确有________（写上序号）．
翻折变换
例题1、 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
例题2、 已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）
A. B. C. D.
例题3、 若函数f（x）＝ax－a－x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝loga（|x|－1）的图象可以是（ ）
A. B. C. D.
例题4、 设常数，函数．
（1）若a＝1，求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）为奇函数，且关于x的不等式对所有的恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当a＜0时，若方程f（x）＝a有三个不相等的实数根x1、x2、x3，且，求实数a的值．
例题5、 设函数．
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合，．试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方．
随练1、 已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
随练2、 函数f（x）＝xa满足f（2）＝4，那么函数g（x）＝|loga（x＋1）|的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
随练3、 已知函数．
（1）用分段函数形式表示f（x）；
（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数的草图（不用列表）；
（3）若方程有两个解，求a的取值范围．
随练4、 已知函数f（x）＝x|x－m|（x∈R），且f（1）＝0．
（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示f（x）；
（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数f（x）的草图（不用列表描点）；
（3）由图象指出函数f（x）的单调区间．
答案解析
函数图像变换
描点法
例题1、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 由描点法分别得图像图和图．
函数的图像为函数的图像上的一段，其中，点在图像上，用实心点表示，而点不在图像上，用空心点表示．
例题2、
【答案】
【解析】 的定义域的定义域，则，即．过轴上不同于原点的任意点，作垂直于轴的直线，交的图像于点，交的图像于点，则在上取点，则点为图像上的点．随着点的位置不同，可以得到图像上不同的点，取一定量的点，就可以得到一定数量的点，可以用描点法得到的图像，如图所示．
同理可得全部图像．如图所示．
平移变换
例题1、
【答案】 C
【解析】 将函数f（x）＝ln（1－x）向右平移1个单位，得到函数为y＝ln[（1－（x－1）]＝ln（2－x），再向上平移2个单位可得函数为y＝ln（2－x）＋2．
根据复合函数的单调性可知y＝ln（2－x）＋2在（－∞，2）上为单调减函数，且恒过点（1，2）．
例题2、
【答案】 见解析
【解析】 （方法一）
（1）将函数的图像向右平移3个单位，得到函数的图像，
（2）作出函数的图像关于y轴对称的图像，得到函数的图像，
（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像；
（方法二）
（1）作出函数的图像关于y轴的对称图像，得到的图像，
（2）把函数的图像向左平移3个单位，得到的图像，
（3）把函数的图像向上平移个1单位，得到函数的图像。
例题3、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）设，由得，故．
因为，所以．
即，所以
，所以；
（2）由题意得在上恒成立．即在上恒成立．
设，其图像的对称轴为直线，所以在上递减．
故只需，即，解得．
随练1、
【答案】 C
【解析】 可由的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．
随练2、
【答案】
【解析】 将函数的图像上的所有点向右平移个单位，得到函数，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
则所得的图像的函数解析式为．
对称变换
例题1、
【答案】 C
【解析】 若函数满足，则函数为奇函数，图象关于坐标原点对称．
例题2、
【答案】 A
【解析】 函数f（x）的定义域为R，所以排除B；
又，所以函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除C；
又因为，所以排除D．故A正确．
例题3、
【答案】 A
【解析】 函数，
则，
当x≥1时，函数是减函数，x＜1时，函数是增函数，
函数的图象为：
．
例题4、
【答案】 （1）
（2）当时得交点；当时得交点
【解析】 （1）设是上任意一点，
设关于对称的点为，
代入①得
．
；
（2）联立
或，
当时得交点；当时得交点．
随练1、
【答案】 D
【解析】 将函数f（x）的图象向左平移2个单位长度即可得到函数f（x＋2）的图象，结合函数f（x＋2）关于直线x＝2对称，可知函数f（x）关于直线x＝4对称．
随练2、
【答案】 D
【解析】 ∵函数y＝f（x）与y＝ex互为反函数，
∴函数f（x）＝lnx，
∵函数y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于x轴对称，
∴函数g（x）＝－lnx
∵g（a）＝1，即－lna＝1
∴．
随练3、
【答案】 ①②③
【解析】 对于①由于，则在同一坐标系中，与的图象关于x轴对称，故①正确；
对于②，函数的定义域为{x|－1＜x＜1}，因为，所以函数是奇函数，②正确；
对于③，因为的对称中心（0，0），函数向左平移2单位，向上平移1单位，得到的图象的对称中心（－2，1），
所以函数的图象关于（－2，1）成中心对称，所以③正确．
对于④，因为，函数是偶函数，x＜0时，函数是减函数，x＞0时，函数是增函数，
所以x＝0时函数取得的最小值为，④不正确．
翻折变换
例题1、
【答案】 B
【解析】 ∵函数，∴f（3）＝9－8＝1＞0，故排除C，D，
∵f（0）＝－1，，故排除A．
例题2、
【答案】 D
【解析】 对于A，函数，当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0，所以不满足题意．
对于B，当x≥0时，f（x）单调递增，不满足题意．
对于C，当x≥0时，f（x）＞0，不满足题意．
对于D，函数为偶函数，且当x≥0时，函数有两个零点，满足题意．
例题3、
【答案】 C
【解析】 由函数在R上为减函数，
故0＜a＜1．函数是偶函数，定义域为，
函数的图象，x＞1时是把函数的图象向右平移1个单位得到的．
例题4、
【答案】 （1）和
（2）
（3）
【解析】 （1）当a＝1时，.如图知，f（x）的单调递减区间为和．
（2）由f（x）为奇函数，得f（－x）＝－f（x），解得a＝0．
当x∈[1，2]时，f（x）＝－x2．
从而mx－x2≥1，．
又在x∈[1，2]上递增，故当x＝2时，．故．
（3）当a＜0时，．
如图，要有三个不相等的实根，则，解得．
不妨设，当x＜0时，由，即，得．
当时，由，即，得．
由，解得．
因，得a的值为．
例题5、
【答案】 （1）
（2）；证明见解析
（3）见解析
【解析】 （1）见图
（2）方程的解分别是，0，4和，由于在和上单调递减，在和上单调递增．因此
．
由于，，．
（3）当时，．
＝
＝，
，．又，
①当，即时，取，
．
，，则．
②当，即时，取出，．
由①、②可知，当时，，．
因此，在区间上．的图像位于函数图像的上方．
随练1、
【答案】 B
【解析】
由函数f（x）＝logax是增函数知，a＞1．
随练2、
【答案】 C
【解析】 函数g（x）＝|loga（x＋1）|的定义域为：，从而排除D．
由g（x）＝|loga（x＋1）|≥0，排除B．
x＝0时，g（x）＝0，排除A．
随练3、
【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）函数
（2）由分段函数的图象画法可得图象：
（3）f（x）－a＝0有两个解等价于y＝f（x）与y＝a有两个交点，由图可知a＞2．
随练4、
【答案】 （1）1；
（2）
（3）递增区间：，；递减区间：
【解析】 （1）∵f（1）＝0，
∴|m－1|＝0，即m＝1；
∴f（x）＝x|x－1|＝．
（2）函数图象如图：
（3）函数单调区间：
递增区间：，，
递减区间：

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