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第一章　集合与常用逻辑用语与不等式
第五节　基本不等式
【复习要点】1、了解基本不等式的证明过程
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
会利用基本不等式证明不等式。
阅读材料：对勾函数图像及性质
函数y＝ax＋(a>0，b>0)叫“对勾函数”，其图象如下：
【基 础 自 测】
1、下列函数中最小值为4的是 (　C　)
A．y＝x2＋2x＋4　　B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋
2、(－6≤a≤3)的最大值为 (　B　)
A．9 B． C．3 D．
3、已知正实数a，b，满足a＋b＝1，则的最小值为 (　A　)
A．14＋4 B．25 C．24 D．12
4、设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是 (　D　)
A．40 B．10 C．4 D．2
5、如果实数x，y满足x＋y＝4，则x2＋y2＋2的最小值是 (D　　)
A．4　　　　B．6 C．8 D．10
6、已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为 (　B　)
A．3 B．4 C. D．
7．若对于任意x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为 (　A　)
A. B． C. D．
8、已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　B　)
A．2 B．4 C．6 D．8
9、已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则 (　ABD　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
已知a是实数，x∈[0，4]，则“a≤”是“x＋－a≥0恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10、已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
11、若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为__2______．
12、函数y＝sin x＋，x∈的最小值为____5____．
13、已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为____4____．
【题型解析】
题型一：利用基本不等式求最值
一、拼凑法求最值
例1　(1)在下列条件下，求y＝4x－2＋的最值．
①当x>时，求最小值；②当x<时，求最大值；③当x≥2时，求最小值．
（2）已知a>0，b>0，求＋的最小值为____3____．
（3）已知0（4）若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，求a＝3
二、换元法求最值
例2、（1）已知x＞，求函数y＝的最小值．
（2）已知，求函数的最值
（3）已知函数f(x)＝，求f(x)的最大值________．
阅读材料：求分式型函数的最值
三、常数代换法求最值
例3(1)已知正数x，y满足x＋2y＝4，求①xy的最大值 ②＋的最小值
(2)已知正数x，y满足＋＝1，求①xy的最小值 ②x＋2y的最小值
(3)已知实数a，b满足a·b>0且a＋2b＝－8，求＋的最大值
(4)若θ∈，求y＝＋的取值范围
题型二　求数、式的范围
例4　(1)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求：①ab的取值范围；②a＋b的取值范围．
①[9，＋∞)　②[6，＋∞)
(2)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值4
题型三　证明不等式
例5　(1)设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
（2）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：①＋＋≥8；②≥9.
利用基本不等式求解恒成立问题
例6(1)若对任意x>0，≤a恒成立，求实数a的取值范围是________．
(2)设x>0，y>0，不等式＋＋≥0恒成立，求实数m的最小值是___-4_____．
(3)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围是(　A　)
A．[－2，＋∞)　　　　　　B．(－∞，－2)
C．[－2，2] D．[0，＋∞)
(4)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝_____36___.
3．[2019天津改编]若a，b∈R，ab>0，求的最小值．
[解]　∵ab>0，
∴≥＝
≥＝4，
当且仅当
即a2＝2b2，ab＝时，等号成立，
∴的最小值为4.

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