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9．1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(教师独具内容)
1．倾斜角和斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度．
2．求直线斜率的方法有定义法、公式法等，用正切函数(k＝tan α)的图象来掌握倾斜角和斜率之间的关系，由两点的坐标计算直线的斜率为求直线的方程奠定了基础．重难点是直线平行和垂直的判定，注意平行和垂直的条件．判断直线的位置关系时，注意斜率不存在的情形，当直线的斜率含字母参数时，要对参数进行分类讨论．
3．明确直线的点斜式和斜截式方程的适用条件，注意斜率不存在的情形，体会截距与距离的区别和联系，体会待定系数法在求直线方程中的应用，体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．明确直线的方程和二元一次方程的区别与联系，弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．
4．重点提升数学抽象和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．考查已知直线的倾斜角(斜率)，求直线的斜率(倾斜角)的问题，过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识结合考查．两直线平行与垂直的应用是高考考查的重点，一般不单独考查，常与其他知识(直线方程等)结合考查．
2．由直线上一点和斜率求直线方程或由斜率和截距求直线方程是高考的常考点，利用两点的坐标求直线的方程或利用截距式求直线的方程也是常考知识点，一般不单独考查，常与其他知识结合考查．
(教师独具内容)
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l的倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α；当α＝时，斜率不存在．
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
(3)直线的方向向量同斜率的关系
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝．
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线
“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．
1．(2022·山西太原一中月考)若某直线经过A(，－1)，B(1，2－)两点，则此直线的倾斜角为________．
答案　120°
解析　设该直线的倾斜角为α，则tan α＝＝－，∴α＝120°.
2．(2021·浙江镇海中学期末)倾斜角为90°且与点(1，1)距离为2的直线方程为____________．
答案　x＝3或x＝－1
解析　因为所求直线的倾斜角是90°，所以所求直线和直线x＝1平行，与直线x＝1距离为2的直线方程为x＝3或x＝－1.
3．(2022·江苏星海实验中学期中)直线x sin α－y＋1＝0，α∈的倾斜角的取值范围是________．
答案　
解析　由x sin α－y＋1＝0，α∈可得y＝x sin α＋1，所以直线的斜率k＝sin α∈(0，1)，设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，则k＝tan θ∈(0，1)，所以0<θ<.
4．经过点A(－3，4)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的方程为______________________．
答案　4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0
解析　当截距为零时，直线方程为y＝－x，即4x＋3y＝0；当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，又直线过点A(－3，4)，∴＋＝1，解得a＝，∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－5＝0.综上所述，所求直线的方程为4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0.
5．求下列直线方程：
(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；
(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程；
(3)求过A(2，1)，B(m，3)两点的直线的方程．
解　(1)设所求直线的斜率为k，
依题意k＝－4×＝－，
又直线经过点A(1，3)，
所以所求直线方程为y－3＝－(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，
将(－5，2)代入可得＋＝1，
解得a＝－，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，
则－5k＝2，解得k＝－，
所以直线方程为y＝－x，
即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
(3)①当m＝2时，直线的方程为x＝2；
②当m≠2时，直线的方程为＝，
即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因为当m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，
所以所求直线的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是________．
答案　①②③
解析　－表示区间端点连线的斜率的相反数，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确；在t2时刻，甲对应图象的切线的斜率比乙的小，所以切线的斜率的相反数比乙的大，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段时间内的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，④错误．
一、基础知识巩固
考点　　直线的倾斜角和斜率
例1　(2022·南京市雨花台中学月考)一条直线过点A(－1，0)和B(2，3)，则该直线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．150°
答案　B
解析　设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝＝1.因为0°≤α<180°，所以α＝45°.故选B.
例2　已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　)
A．
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪
D．
答案　D
解析　因为直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，所以kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，所以－2≤k≤.故选D.
　1.(2022·荆门市龙泉中学月考)已知直线方程为x sin 300°＋y cos 300°－3＝0，则该直线的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　B
解析　由题意，直线方程x sin 300°＋y cos 300°－3＝0，设该直线的倾斜角为α，可得k＝tan α＝－＝－tan 300°＝tan 60°，所以该直线的倾斜角为60°.故选B.
2．(2022·广东肇庆高三月考)直线l过点P(1，5)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
答案　(－∞，－4]∪[5－，＋∞)
解析　如图所示，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝5－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝－4，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[5－，＋∞).
　
1．倾斜角α与斜率k的关系
(1)当α∈时，k∈[0，＋∞)，且倾斜角越大，斜率越大．
(2)当α＝时，斜率k不存在．
(3)当α∈时，k∈(－∞，0)，且倾斜角越大，斜率越大．
2．在某个区域摆动的直线斜率范围的求法(即取边夹中法则)
如图，设直线l1，l2，l的斜率分别为k1，k2，k，则k1k2；当直线l在非阴影区域摆动时，k1考点　　直线的方程
例3　(2021·吉林长春一中月考)过点P(，－2)且倾斜角为135°的直线方程为(　　)
A．3x－y－4＝0 B．x－y－＝0
C．x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0
答案　D
解析　因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＋2＝－(x－)，即x＋y＋＝0.故选D.
例4　(2021·安庆一中月考)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0或x＋y－3＝0
D．2x－y＝0或x－y＋1＝0
答案　D
解析　当直线过原点时，可得斜率为＝2，则直线方程为2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入点(1，2)可得－＝1，解得a＝－1，则方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选D.
　3.在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
答案　A
解析　根据直线方程的截距式，可得该直线的方程为＋＝1.故选A.
4．(2022·湖南郴州阶段检测)已知△ABC的三个顶点分别是A(－3，0)，B(2，－2)，C(0，1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．
解　由两点式方程得直线AB的方程为＝，即y＝－x－.
由两点式方程得直线BC的方程为＝，即y＝－x＋1.
由截距式方程得直线AC的方程为＋＝1，即y＝x＋1.
　求直线方程时的注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用：若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零．
(3)截距是数，不是距离．在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标．截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．
考点　　与直线有关的最值问题
例5　(2022·湖北黄石高三月考)已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　)
A．无最小值，且无最大值
B．无最小值，但有最大值
C．有最小值，但无最大值
D．有最小值，且有最大值
答案　D
解析　线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝－x＋4(0≤x≤3)，从而xy＝－x2＋4x＝－＋3.因为0≤x≤3，所以当x＝时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0.
例6　直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
解　依题意l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k＜0).
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，4－k).
则|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－＝5＋≥5＋4＝9，
当且仅当－k＝且k＜0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
此时l的方程为2x＋y－6＝0.
　5.已知过点P(2，1)的直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当|PA|·|PB|最小时，直线l的方程为(　　)
A．x＋2y＝4 B．x＋y＝3
C．2x＋y＝5 D．x＋3y＝5
答案　B
解析　设∠BAO＝θ(0°<θ<90°)，如图，则|PA|＝，|PB|＝，所以|PA|·|PB|＝·＝，所以当2θ＝90°，即θ＝45°时，|PA|·|PB|最小，此时直线l的倾斜角为135°，斜率k＝tan 135°＝－1，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y＝3.
6．已知直线l过点M(1，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；
(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
解　(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
(2)由题意知直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则k<0，
直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
则A，B(0，1－k)，
所以|MA|2＋|MB|2＝＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4.
当且仅当k2＝，
即k＝－1时取等号，
此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
　与直线方程有关的最值问题的解题思路
(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y，将问题转化成关于x(或y)的函数的最值问题．
(2)利用基本不等式或函数的单调性求最值．
二、核心素养提升
例1　(2021·山东潍坊市高三模拟)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值为________，最小值为________．
答案　8　
解析　如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.
例2　若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tan α＝＝，又α为钝角，所以＜0，即(a－1)(a＋3)＜0，解得－3＜a＜1.因为关于a的函数m＝3a2－4a的图象的对称轴为直线a＝－＝，所以3×－4×≤m＜3×(－3)2－4×(－3)，即－≤m＜39.所以实数m的取值范围是.
例3　(2021·吉林省高三模拟)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．
解　(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1).
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞).
当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律；若倾斜角是锐角或钝角不确定，逆时针旋转(旋转过程中不与y轴垂直)，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．
课时作业
一、单项选择题
1．(2022·广西柳州期末)直线l1经过两点A(0，0)，B(，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为(　　)
A． B．
C．1 D．
答案　D
解析　因为直线l1的斜率为＝，所以直线l1的倾斜角为，又因为直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，所以直线l2的倾斜角为，所以直线l2的斜率为tan ＝.故选D.
2．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为(　　)
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0
答案　A
解析　由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.
3．(2022·江西九江期末)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围为(　　)
A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180°
B．45°≤α≤135°
C．45°<α<135°
D．0°≤α≤45°或135°≤α<180°
答案　D
解析　由图可知，经过点P(0，－1)作直线l，当直线l过点A时斜率最小，过点B时斜率最大，因为P(0，－1)，A(1，－2)，B(2，1)，所以kPA＝＝－1，kPB＝＝1，所以－1≤tan α≤1，因为0°≤α<180°，所以0°≤α≤45°或135°≤α<180°.故选D.
4．(2021·陕西高新一中月考)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则△ABO的面积取得最小值时直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－6＝0 B．2x＋3y－12＝0
C．x＋2y－6＝0 D．x＋2y－12＝0
答案　B
解析　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，把点P(3，2)代入得＋＝1≥2，可得ab≥24，从而S△ABO＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，此时a＝6，b＝4，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.故选B.
5．(2021·云南省大姚县第一中学月考)已知直线l过点(－1，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　)
A．x＋2y－3＝0
B．x－2y＋5＝0
C．2x＋y＝0或x＋2y－3＝0
D．2x＋y＝0或x－2y＋5＝0
答案　C
解析　当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y＝kx，把点(－1，2)代入方程，得2＝－k，即k＝－2，所以直线的方程为2x＋y＝0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为＋＝1，把点(－1，2)代入方程，得＋＝1，即b＝，所以直线的方程为x＋2y－3＝0.故选C.
6．(2022·东海县石榴高级中学高三月考)直线l：kx＋y－k－4＝0恒过定点(m，n)，a，b>0，＋＝1，则a＋b的最小值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　D
解析　直线l：kx＋y－k－4＝0恒过定点(m，n)，a，b>0，＋＝1，则直线l可以化为y－4＝－k(x－1)，即m＝1，n＝4.故＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2a＝6时，取等号．故选D.
7．(2022·江西新余期中)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(3，2)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　)
A．3x＋2y－1＝0 B．2x＋3y＋1＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．3x＋2y＋1＝0
答案　D
解析　把A(3，2)代入直线方程a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得3a1＋2b1＋1＝0，3a2＋2b2＋1＝0，所以过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是3x＋2y＋1＝0.故选D.
8．(2021·安徽立人中学月考)若直线l将圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0或2x＋y＝0
B．x－y＋1＝0或x＋2y＝0
C．x－y＋1＝0或2x－y＝0
D．x－y－1＝0或x－2y＝0
答案　A
解析　由题意可知，直线l过圆心(1，－2).若直线l过原点，则该直线的斜率为k＝＝－2，此时直线l的方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；若直线l在两坐标轴上的截距非零且相等，可设直线l的方程为x＋y＝a(a≠0)，则有a＝1－2＝－1，此时直线l的方程为x＋y＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.故选A.
二、多项选择题
9．(2021·江苏苏州联考)下列说法正确的是(　　)
A．直线y＝ax－2a＋1必过定点(2，1)
B．直线3x－2y＋4＝0在y轴上的截距为－2
C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为120°
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为－
答案　ACD
解析　由y＝a(x－2)＋1知点(2，1)在直线上，A正确；对3x－2y＋4＝0，令x＝0，得y＝2，所以直线3x－2y＋4＝0在y轴上的截距为2，B错误；直线x＋y＋1＝0的斜率为－，所以倾斜角为120°，C正确；设直线l的方程为ax＋by＋c＝0，沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得a(x＋3)＋b(y－2)＋c＝0，即ax＋by＋c＋3a－2b＝0，所以3a－2b＝0，所以直线l的斜率k＝－＝－，D正确．故选ACD.
10．过点A(3，5)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程可能为(　　)
A．x－y＋2＝0 B．x＋y－8＝0
C．5x－3y＝0 D．x－y－2＝0
答案　AC
解析　当直线过坐标原点时，设直线y＝kx，将A(3，5)代入，得k＝，所以直线方程为5x－3y＝0；当直线不过坐标原点时，设直线＋＝1，将A(3，5)代入，得a＝－2，所以直线方程为x－y＋2＝0.故选AC.
三、填空题
11．(2021·新高考八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．
答案　　－3
解析　如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，
则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan (θ－45°)＝＝＝，kOC＝tan (θ＋45°)＝＝＝－3.
12．(2021·江苏常州一中模拟)已知直线x＋m2y－2＝0(m∈R)的倾斜角为α，则α的取值范围是________．
答案　
解析　当m＝0时，直线为x＝2，斜率不存在，倾斜角α＝；当m≠0时，直线x＋m2y－2＝0可化为y＝－x＋，斜率k＝－<0，即tan α<0，∴<α<π.综上可知，倾斜角α的取值范围是.
13．给出下列命题：
①当直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2时，直线l的斜率为；
②直线y＝kx＋b与y轴交于一点B，则直线在y轴上的截距为|OB|；
③在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y＝a；
④方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线．
其中正确命题的序号是________．
答案　①④
解析　对于①，因为直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，所以直线l的斜率为，故①正确；对于②，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负可为零，故②不正确；对于③，经过原点的直线(不包括x＋y＝0)在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x＋y＝a，故③不正确；对于④，当x1≠x2时，直线方程为y－y1＝(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)；当x1＝x2时，直线方程为x＝x1，也符合(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1).综上，直线方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，故④正确．
14．(2021·贵州毕节模拟)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(8，0)，C(0，6)，则其“欧拉线”的方程为____________．
答案　3x－4y＝0
解析　由题设，知△ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A(0，0)，外心为斜边BC的中点M(4，3)，所以“欧拉线”的方程为3x－4y＝0.
四、解答题
15．过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2，3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值．
解　依题意可得，直线的斜率为tan 135°＝－1，
又直线过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2，3－m2)，
所以＝－1，
整理，得＝0.
所以解得m＝－2.
16.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解　如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，
∴直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30).
易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，草坪面积可取最大值，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n).
又＋＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－m.
∴S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30).
∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP|∶|PF|＝5∶1.
∴当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．
17．(2022·宁夏银川二中期末)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)证明不论m为何实数，直线l恒过一定点，并求出定点坐标；
(2)过直线l所过的定点作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被定点平分，求直线l1的方程．
解　(1)直线l的方程(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(2x＋y＋4)＋m(x－2y－3)＝0，
由得
故不论m为何实数，直线l恒过定点，且定点坐标为(－1，－2).
(2)由题设可得直线l1的横截距和纵截距均存在且不为零，
设直线l1：＋＝1，
则该直线与x轴交点的坐标为(a，0)，与y轴交点的坐标为(0，b)，
故即
故直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.

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