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9.2　两条直线的位置关系
(教师独具内容)
1．体会用代数的方法求两条直线的交点坐标，通过平面内两点间的距离公式解决一些实际中的最值问题，并掌握用坐标法证明一些几何问题的步骤，对于点到直线的距离公式，应注意其只适用于直线的一般式方程，用待定系数法求直线的方程时，注意讨论斜率的存在性．
2．应用两条平行直线间的距离公式时，两条直线的方程应化成一般式且x，y的系数分别对应相等．
3．重点提升直观想象和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．利用代数的方法求两条直线的交点坐标是常考知识点，利用公式求两点间的距离、处理简单的几何问题是常考知识点．
2．高考较少单独考查点到直线的距离、两条平行直线间的距离．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2．
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1k2＝－1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线相交
(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
(2)相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解．
(3)平行 方程组无解．
(4)重合 方程组有无数个解．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ .
(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
1．直线l经过点A(1，1)，且与直线2x－y－3＝0平行，则直线l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝x＋1
C．y＝－x－1 D．y＝2x－1
答案　D
解析　∵直线l与直线2x－y－3＝0平行，∴直线l的斜率为2，又经过点A(1，1)，∴直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.故选D.
2．与直线3x＋2y－4＝0和3x＋2y＋8＝0距离相等的点的轨迹是(　　)
A．直线3x＋2y＋2＝0
B．直线3x＋2y－2＝0
C．直线3x＋2y±2＝0
D．以上都不对
答案　A
解析　直线3x＋2y－4＝0平行于直线3x＋2y＋8＝0，到两平行直线距离相等的点的轨迹是与两直线平行的直线，所以可设该直线方程为3x＋2y＋n＝0，利用到两平行线的距离相等，即＝，解得n＝2，所以直线方程为3x＋2y＋2＝0.故选A.
3．(2021·江西南昌模拟)已知定点A(0，1)，点B在直线x＋y＋1＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是(　　)
A．(－，) B．(－1，1)
C．(0，－1) D．(－1，0)
答案　D
解析　当直线AB和直线x＋y＋1＝0垂直时，线段AB最短．即直线AB的斜率为k＝1，所以直线AB的方程为y＝x＋1.联立解得即B(－1，0).故选D.
4．(2021·山西太原模拟)已知两点A(1，2)，B(3，6)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为(　　)
A．2 B．
C．4 D．5
答案　B
解析　根据题意画出图形，如图所示，则点A关于直线y＝x的对称点为A′(2，1)，连接A′B，则|A′B|即为|MA|＋|MB|的最小值，且|A′B|＝＝.故选B.
5．已知三条直线l1：mx＋ny＝0，l2：nx－my＋3m－n＝0，l3：ax＋by＋c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a＋c＝2b，设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3距离的最大值是(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
答案　D
解析　因为l1：mx＋ny＝0，l2：nx－my＋3m－n＝0，且mn＋n·(－m)＝0，所以l1⊥l2，易知直线l1过原点，将直线l2的方程化为n(x－1)－m(y－3)＝0，由解得所以直线l2过定点M(1，3)，所以|OM|＝.因为a＋c＝2b，则b＝，直线l3的方程为ax＋y＋c＝0，可化为a＋c＝0，由解得所以直线l3过定点N(1，－2).
如图所示，设线段OM的中点为点E，则E，若点P不与O或M重合，由于OP⊥PM，由直角三角形的性质可得|EP|＝|EO|＝|EM|；若点P与O或M重合，
满足l1⊥l2.由上可知，点P的轨迹是以OM为直径的圆E，该圆圆心为E，半径为.设点E到直线l3的距离为d，则d≤|EN|＝＝.所以点P到直线l3距离的最大值为＋|EN|＝＋.
1．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
答案　B
解析　由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，为|AP|＝.故选B.
2．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P为单位圆上一点，而直线x－my－2＝0过点A(2，0)，所以d的最大值为|OA|＋1＝2＋1＝3.故选C.
3．(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是(　　)
A．[，2] B．[，2]
C．[，4] D．[2，4]
答案　B
解析　易知直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且两条直线互相垂直，故点P在以AB为直径的圆上(不包含点(1，0)).
当点P与点A或点B重合时，|PA|＋|PB|有最小值.当点P不与点A，点B重合时，△PAB为直角三角形，且|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.则|PA|＋|PB|≤2＝2，所以|PA|＋|PB|∈[，2].
4．(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件是a(a＋1)＝2，且4a≠－1，解得a＝1或a＝－2，所以是充分不必要条件．
5．(2016·上海高考)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________．
答案　
解析　利用两平行线间的距离公式得d＝＝.
一、基础知识巩固
考点　　两条直线的平行与垂直
例1　(2022·广西百色一中月考)已知直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p等于(　　)
A．24 B．20
C．4 D．0
答案　D
解析　由两直线垂直得m×2＋4×(－5)＝0，解得m＝10，所以直线mx＋4y－2＝0即5x＋2y－1＝0，又因为垂足(1，p)同时满足两直线方程，所以代入得?5×1＋2p－1＝0，
2×1－5p＋n＝0，?解得所以m＋n－p＝10－12＋2＝0，故选D.
例2　(2021·山西晋城模拟)设直线l：3x－4y＋2m＝0与直线6x－my＋1＝0平行，则点A(a2，3a)到l的距离的最小值为(　　)
A． B．1
C． D．
答案　A
解析　由两直线平行得＝，所以m＝8，所以直线l：3x－4y＋16＝0，所以A(a2，3a)到l的距离d＝＝≥，当a＝2时d取到最小值.故选A.
　1.(2021·四川成都模拟)直线2x－y＋1＝0和直线4x－2y－1＝0的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
答案　B
解析　直线2x－y＋1＝0可化为y＝2x＋1，故k1＝2，b1＝1.直线4x－2y－1＝0可化为y＝2x－，故k2＝2，b2＝－.因为k1＝k2，b1≠b2，所以直线2x－y＋1＝0和直线4x－2y－1＝0的位置关系是平行．故选B.
2．(2022·贵州贵阳质检)已知直线mx＋y＝0与直线x＋(m＋1)y＋2＝0垂直，则m＝(　　)
A．2 B．－2
C．－ D．
答案　C
解析　由两直线垂直，可知m×1＋1×(m＋1)＝0，解得m＝－.故选C.
　两直线位置关系的判定方法
(1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行 两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；
②两直线垂直 两直线的斜率之积为－1.
(2)已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．
(3)已知两直线的一般方程
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的情况，也要考虑到斜率不存在的情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
考点　　两条直线的相交
例3　设直线y＝x＋2与直线y＝3x－2的交点为P，则点P的坐标为(　　)
A．(1，5) B．(2，4)
C．(3，1) D．(0，0)
答案　B
解析　解方程组得所以点P的坐标为(2，4)，故选B.
例4　(2021·广西玉林模拟)若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
答案　B
解析　解法一：联立直线方程解得因为直线的交点在第一象限，所以解得－1解法二：直线l1恒过定点P(0，1)，直线l2与两坐标轴的交点分别为A(0，－1)，B(1，0)，
∴作出两直线的图象，由图象可知，当l1在阴影部分(不含边界)中时，l1与l2的交点在第一象限．易知kPB＝－1，kl2＝1，∴k的取值范围是－1＜k＜1.故选B.
　3.(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的值可以为(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　ABC
解析　若三条直线不能构成三角形，则三条直线要么相交于一点，要么存在平行直线．
①若三条直线交于一点，则由
得代入mx－y－1＝0，得－m＋－1＝0，所以m＝－.②若存在平行直线，则3m＝2或3m＝－4，解得m＝或－.综上可知，实数m的可能取值为－，－，.故选ABC.
4．(2021·湖北武汉模拟)若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　解法一：联立两直线方程，
得解得所以两直线的交点坐标为.因为两直线的交点在第一象限，所以解得k>，设直线l的倾斜角为θ，则tan θ>，又θ∈[0，π)，所以θ∈.故选D.
解法二：由题意得直线l过定点P(0，－)，设直线2x＋3y－6＝0与x轴、y轴的交点分别为B(3，0)，A(0，2).如图，当直线l在阴影部分(不含边界)运动时，两直线的交点在第一象限．易知kPB＝，∴lPB的倾斜角为，lPA的倾斜角为.∴直线l的倾斜角的取值范围是.故选D.
　求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
考点　　距离问题
例5　(2022·海口摸底)直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则k的取值范围是(　　)
A．(－2，2) B．(－，)
C．(－1，1) D．
答案　D
解析　直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则原点到直线l的距离小于1，所以<1，解得－例6　(2022·乌鲁木齐市第二十中学期末)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．－1
答案　A
解析　由两直线平行得＝，所以n＝－2.又d＝＝，而m>0，所以m＝2.所以m＋n＝0.故选A.
　5.设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上的动点，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　(m－1)2＋n2表示点P(m，n)到点A(1，0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1，0)到直线l的距离，即＝，则(m－1)2＋n2的最小值为.故选A.
6．(2021·河南三门峡一中月考)已知直线l1与l2：2x－y－3＝0平行，且l1与l2之间的距离为，则直线l1的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0或2x＋y－9＝0
B．2x－y－6＝0或2x－y－12＝0
C．2x－y＋2＝0或2x－y－8＝0
D．3x－2y＋5＝0或3x－2y－7＝0
答案　C
解析　设l1：2x－y＋c＝0.∵l1与l2之间的距离为，∴d＝＝＝，即|c＋3|＝5，得c＝2或c＝－8，即直线l1的方程为2x－y＋2＝0或2x－y－8＝0.故选C.
　利用距离公式的注意点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
考点　　对称问题
例7　(2022·包头市第九中学期末)与直线3x－4y＋5＝0关于坐标原点对称的直线方程为(　　)
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0
答案　D
解析　设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则关于原点对称的点的坐标为(－x，－y)，该点在已知的直线上，则－3x＋4y＋5＝0，即3x－4y－5＝0.故选D.
　7.(2021·四川自贡一中月考)直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
答案　A
解析　在直线x－2y－1＝0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y－x＝0的对称点为Q(x，y)，则解得代入直线x－2y－1＝0，得2x－y＋1＝0.故选A.
　
1．线关于点对称的三种求解方法
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(3)设所求直线上的点为(x，y)，将其对称点代入已知直线中整理得要求直线．
线关于点对称的实质：“线关于点的对称”的实质就是“点关于点的对称”，可统称为“中心对称”．
2．线关于线对称的求解方法
(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
二、核心素养提升
例1　已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，则过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为(　　)
A．4x－3y＋6＝0 B．4x＋3y－6＝0
C．3x－4y＋6＝0 D．3x＋4y－6＝0
答案　B
解析　解法一：解方程组得故点P的坐标为(0，2)，因为直线l与l3：3x－4y＋5＝0垂直，所以直线l的斜率为－.故直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.故选B.
解法二：设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.故选B.
例2　(2021·福建三明一中模拟)已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x轴上找一点P使|AP|－|BP|最大，则点P的坐标为(　　)
A．(1，0) B．
C．(5，0) D．(13，0)
答案　D
解析　如图所示，作点B关于x轴的对称点B′(5，2)，由对称性可知|BP|＝|B′P|，则|AP|－|BP|＝|AP|－|B′P|.当A，B′，P三点不共线时，由三角形三边关系得|AP|－|B′P|<|AB′|；当A，B′，P三点共线时，|AP|－|B′P|＝|AB′|.所以|AP|－|B′P|≤|AB′|，当且仅当A，B′，P三点共线时，等号成立，此时直线AB′的斜率为k＝＝－，直线AB′的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋4y－13＝0，令y＝0，解得x＝13，即点P(13，0).故选D.
例3　(2021·大庆模拟)已知点A(－3，8)和B(2，2)，在x轴上求一点M，使得|AM|＋|BM|最小，则点M的坐标为(　　)
A．(－1，0) B．
C． D．(1，0)
答案　D
解析　找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴交于M点，连接BM，此时|AM|＋|BM|最小，由B与B′关于x轴对称，B(2，2)，得B′(2，－2)，又A(－3，8)，则直线AB′的方程为y＋2＝(x－2)，化简得y＝－2x＋2，令y＝0，解得x＝1，所以M(1，0).故选D.
直线系方程是指具有某种共同性质的所有直线的集合，其方程叫直线系方程．常见的直线系方程有平行直线系、垂直直线系和过直线交点的直线系．求解直线方程时，采用设直线系方程的方法可简化运算．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·焦作市第一中学月考)若坐标原点O到直线x＋y＝b的距离小于，则实数b的取值范围为(　　)
A．[－，] B．(－，)
C．[－2，2] D．(－2，2)
答案　D
解析　由原点O到直线x＋y＝b的距离小于，得<，即|b|<2，解得－22．(2021·浙江金华第一中学月考)“点A(－3，－4)，B(1，6)到直线l：x＋my＋1＝0的距离相等”是“m＝－”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为点A(－3，－4)，B(1，6)到直线l：x＋my＋1＝0的距离相等，所以＝，所以m＝0或m＝－.因为“m＝0或m＝－”是“m＝－”的必要不充分条件，所以“点A(－3，－4)，B(1，6)到直线l：x＋my＋1＝0的距离相等”是“m＝－”的必要不充分条件．故选B.
3．(2021·黑龙江嫩江市第一中学期末)直线l0：4x－y－4＝0与l1：x－2y－2＝0及l2：4x＋3y－12＝0所得两交点间的距离为(　　)
A． B．
C． D．3
答案　C
解析　由得即直线l0与l1的交点坐标为A.由
得即直线l0与l2的交点坐标为B.所以|AB|＝＝.故选C.
4．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为(　　)
A．－1 B．19
C．－1或19 D．1或－19
答案　C
解析　由两平行线间的距离公式，得d＝＝，所以|c－9|＝10，解得c＝－1或c＝19.故选C.
5．(2021·江苏省运河中学模拟)平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－2或1
C．－1 D．－1或2
答案　C
解析　因为l1∥l2，所以a(a－1)＝2，且2a≠1，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，d＝＝，不符合题意，舍去．当a＝－1时，d＝＝.故选C.
6．(2021·浙江宁波一中期末)直线y＝2x＋1关于原点对称的直线方程是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋1 D．y＝2x
答案　A
解析　点(0，1)，(1，3)在直线y＝2x＋1上，则点(0，－1)，(－1，－3)在所求直线上．故所求直线的斜率k＝＝2，则所求直线方程为y＝2x－1.故选A.
7．(2022·四川省内江市第六中学模拟)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．x－2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0
答案　C
解析　若直线l2与l1关于l对称，则直线l1与l的交点在直线l2上，联立解得即直线l1与l的交点为A(1，0).在直线l1上任取一点(2，2)，关于直线l对称的点为B(3，1)，则点B在直线l2上，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0.故选C.
8．(2022·重庆巴蜀中学模拟)已知直线l1：ax－y＋3＝0与直线l2关于直线l：x＋y－1＝0对称，直线l2与直线l3：x＋3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A．－ B．
C．3 D．－3
答案　B
解析　直线l2与直线l3：x＋3y－1＝0垂直，则kl2·kl3＝－1，即kl2＝3，因为直线l1：ax－y＋3＝0与直线l2关于直线l：x＋y－1＝0对称，又由得得交点坐标为，在直线l1上取点(0，3)，设该点关于直线l对称的点为P(m，n)，则解得m＝－2，n＝1.故kl2＝＝3，解得a＝.故选B.
二、多项选择题
9．若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为(　　)
A．3x－4y－5＝0 B．3x－4y－35＝0
C．3x－4y－23＝0 D．3x－4y－17＝0
答案　AB
解析　设l1的方程为3x－4y＋m＝0.由题意，得＝3，解得m＝－5或m＝－35，所以直线l1的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.故选AB.
10．(2021·湖南雅礼中学模拟)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．5
答案　CD
解析　由题意可得直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3都不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1.故选CD.
三、填空题
11．(2022·新源县第二中学模拟)直线l过点M0(1，5)，倾斜角是60°，且与直线2x－y＋5＝0交于点M，则|M0M|＝________．
答案　4
解析　直线l过点M0(1，5)，倾斜角是60°，则该直线方程为y－5＝(x－1)，即y＝x＋5－，联立方程解得即M(－1，5－2).所以|M0M|＝ ＝＝4.
12．过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程是________________．
答案　3x－2y＋19＝0
解析　解方程组得即交点为P(－5，2).因为直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－，所以所求直线的斜率是.故所求直线的方程是y－2＝(x＋5)，即3x－2y＋19＝0.
13．以点A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．
答案　25
解析　因为kAB＝＝－，
kDC＝＝－，
kAD＝＝，kBC＝＝，
则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．
又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，故四边形ABCD为矩形．
故S四边形ABCD＝|AB|·|AD|
＝×＝25.
14．(2021·甘肃天水模拟)已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是________．
答案　(5，0)
解析　A(1，4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)，因为|AP|＋|BP|＝|A′P|＋|BP|≥|A′B|，当A′，P，B三点共线时取等号，所以点P为直线A′B与x轴的交点，直线A′B的方程为y＝x－5.令y＝0，得x＝5，所以点P的坐标是(5，0).
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的顶点B(4，5)和D(－2，－12)，AB所在直线的方程为2x－3y＋7＝0，AB⊥AC.
(1)求对角线AC所在直线的方程；
(2)求BC所在直线的方程．
解　(1)因为B(4，5)，D(－2，－12)，所以BD的中点坐标为M，
因为AC⊥AB，直线AB的斜率为，
故直线AC的斜率为－，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AC过点M，
所以对角线AC所在直线的方程为y＋＝－(x－1)，即3x＋2y＋4＝0.
(2)联立直线AB，AC的方程，得
解得
即点A的坐标为(－2，1).
所以直线AD的斜率不存在，
又BC∥AD，所以直线BC的斜率不存在，
又B(4，5)，所以BC所在直线的方程为x＝4.
16．(2021·荆门市龙泉中学月考)已知直线l经过直线l1：3x＋2y－5＝0，l2：2x＋3y－5＝0的交点M.
(1)若l⊥l1，求直线l的方程；
(2)求点(2，1)到直线l的距离的最大值．
解　(1)由得
所以点M的坐标为(1，1).
因为l1：3x＋2y－5＝0，l⊥l1，所以设直线l的方程为2x－3y＋b＝0，
又直线l过点(1，1)，代入得b＝1，
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
(2)因为直线l过定点(1，1)，当直线l的斜率不存在时，点(2，1)到直线l：x＝1的距离为d＝1；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0，
点(2，1)到直线l的距离d＝＝＝<1，
所以当直线l的方程为x＝1时，点(2，1)到直线l的距离取得最大值1.
17．(2021·江西省万载中学期末)已知直线l经过点P(－2，－3).
(1)若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；
(2)若直线l被两条相交直线2x－y－2＝0和x＋y－1＝0所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
解　(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，满足原点到直线l的距离为2；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－3＝0，
于是得＝2，解得k＝，
所以直线l的方程为y＋3＝(x＋2)，
即y＝x－.综上，直线l的方程为x＝－2或y＝x－.
(2)设直线l与直线2x－y－2＝0交于点A(x1，y1)，与直线x＋y－1＝0交于点B(x2，y2).
因为AB被点P平分，
即x1＋x2＝－4，y1＋y2＝－6，
则x2＝－4－x1，y2＝－6－y1，
因为
则
解得x1＝－3，y1＝－8，
即A(－3，－8)，所以直线l的斜率是k＝＝5，
故直线l的方程为y－(－3)＝5[x－(－2)]，即y＝5x＋7.

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