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9．5　椭圆
(教师独具内容)
1．通过对椭圆的标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法，掌握数形结合和等价转化的思想方法，注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别与联系．
2．由椭圆的方程讨论椭圆的几何性质，经历由形到数、由数到形的思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的数学真谛，进一步体会数形结合思想在数学中的重要地位．
3．结合图形理解并熟记椭圆的几何性质，本节的重点是椭圆离心率的求解及应用．
4．重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．椭圆的定义及其标准方程是高考的常考点．
2．考查椭圆的几何性质，尤其是求离心率．
3．考查题型有选择题、填空题、解答题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
注：当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
注：焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大．
3．椭圆的几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标 (a,0)，(－a,0) (b,0)，(－b,0)
(0，b)，(0，－b) (0，a)，(0，－a)
焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)
焦距 2c
轴 长轴长为2a，短轴长为2b
半轴长 长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率 e＝
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
4．几个常用结论
(1)设P为椭圆上不同于长轴两端点的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则
①b≤|OP|②a－c<|PF1|(2)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是过焦点最短的弦，长为，过焦点最长的弦为长轴．
(3)过原点最长的弦为长轴，最短的弦为短轴．
(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
(5)离心率e越接近1，椭圆越扁平；离心率e越接近0，椭圆越接近于圆．
(6)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．
若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)；
④S△PF1F2＝b2tan.
1．(2021·南京市第十三中学开学考试)椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
答案　D
解析　椭圆＋＝1的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点分别为(－4,0)，(4,0)，椭圆＋＝1(02．(2021·重庆八中模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引△F1PF2中∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
答案　D
解析　因为PQ为△F1PF2中∠F1PF2的外角平分线，QF1⊥PQ，设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，所以|PM|＝|PF1|，因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝|PM|＋|PF2|＝2a＝10，连接OQ，由题意知OQ是△F1F2M的中位线，
所以|OQ|＝|MF2|＝5，Q点的轨迹是以O为圆心，5为半径的圆(不包含(5,0)，(－5,0))，所以当点Q在y轴上时，Q与短轴端点取最近距离d＝5－4＝1.故选D.
3．(2021·重庆酉阳土家族苗族自治县第三中学模拟)已知椭圆C的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，若椭圆C上存在点M，使得∠F1MF2＝90°，则椭圆C短轴长的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．(2,2]
C．[2，＋∞) D．(0,2]
答案　D
解析　不妨设椭圆C的焦点在x轴上，则c＝1，a2＝b2＋1，椭圆C的标准方程为＋＝1，由∠F1MF2＝90°，得点M在以F1F2为直径的圆上，该圆的方程为x2＋y2＝1，联立可得y2＝b4，所以b4＝y2＝1－x2≤1.因为b>0，所以04．(2021·湖南长沙模拟)如图为学生做手工时画的椭圆C1，C2，C3(其中网格由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　)
A．e1＝e2C．e1＝e2>e3 D．e2＝e3>e1
答案　D
解析　由图知椭圆C1中a1＝2，b1∈(1,2)，椭圆C2中a2＝4，b2＝2，椭圆C3中a3＝6，b3＝3，又椭圆离心率e＝＝，则e2＝e3＝>e1.故选D.
5. (2021·山西长治模拟)如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　B
解析　如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，所以AC＝22，过C作CE∥BD，交l1于点E，则CE＝BD，在Rt△ACE中，CE＝＝22×＝，所以a＝，b＝11，所以e＝＝＝.故选B.
1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B．12
C．9 D．6
答案　C
解析　由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤2＝2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C.
2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A. B．
C． D．2
答案　A
解析　由P在C上，设P(x0，y0)，则＋y＝1，又B(0,1)，所以|PB|2＝x＋(y0－1)2，由＋y＝1，得x＝5－5y，y0∈[－1,1]，代入上式，得|PB|2＝5－5y＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－42＋，y0∈[－1,1]．因此当且仅当y0＝－时，|PB|取得最大值.故选A.
3．(2019·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则点M的坐标为________．
答案　(3，)
解析　设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．
因为点M在椭圆＋＝1上，
所以联立方程可得
解得
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．
一、基础知识巩固
考点　　椭圆的定义及其应用
例1　(2021·湖北黄石模拟)已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
答案　D
解析　因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.故选D.
例2　(2021·新高考八省联考)椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
答案　C
解析　在椭圆＋＝1(m>0)中，a＝，b＝m，c＝＝1，如图所示，因为椭圆＋＝1(m>0)的上顶点为点A，焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a，因为∠F1AF2＝，所以△F1AF2为等边三角形，则|AF1|＝|F1F2|，即＝a＝2c＝2，因此，m＝.故选C.
　1. (2021·广东中山检测)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
答案　D
解析　由椭圆方程知2a＝2，又|AB|＋|BF2|＝|AC|＋|CF2|＝2a，|BC|＝|BF2|＋|CF2|，所以△ABC的周长为4a＝4.故选D.
2．椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　解法一：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则cos60°＝＝＝，化简，得3mn＝4(a2－c2)＝4b2，因为b2＝4，所以mn＝，所以S△PF1F2＝mnsin60°＝.
解法二：由椭圆方程可得b2＝4，根据焦点三角形面积公式，得S△PF1F2＝b2tan＝4tan30°＝.
　椭圆定义的应用
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积，弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.
考点　　椭圆的标准方程
例3　(2021·南京市第二中学模拟)已知中心在坐标原点的椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)
A．x2＋＝1
B．x2＋＝1或＋y2＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
答案　A
解析　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，因为点P和点Q在椭圆上，所以解得m＝1，n＝.所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.故选A.
例4　已知圆O：x2＋y2＝4，从圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，点M在直线PP1上，且向量＝2，则动点M的轨迹方程是(　　)
A．4x2＋16y2＝1 B．16x2＋4y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
答案　D
解析　由题意可知P是MP1的中点，设点M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则又x＋y＝4，故2＋y2＝4，即＋＝1.故选D.
　3.(2021·河北邯郸模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋y2＝1
答案　C
解析　由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝，则M(－，0)，N(，0)，设点A(x0，y0)，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得·＝－，即y＝－(x－3)．①
又＋＝1，所以y＝b2，②
由①②解得b2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.故选C.
4．(2021·四川绵阳模拟)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为4π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B，且△F2AB的周长为16，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
答案　A
解析　依题意，得4×＝(2a)(2b)，则ab＝4，由△F2AB的周长为16，结合椭圆的定义可得4a＝16，所以a＝4，b＝，又椭圆的焦点在y轴上，故椭圆C的方程为＋＝1.故选A.
　
1．求椭圆的标准方程的方法
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法或待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
2．利用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤
考点　　椭圆的离心率
例5　(2021·湖北武汉模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax＋by－2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为a，所以圆的方程为x2＋y2＝a2，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝a，整理可得a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)，即2a2＝3c2，从而e2＝＝，所以e＝＝＝.故选A.
例6　(2021·江西九江模拟)设F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且2||＝3||，则椭圆的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　B
解析　设PF2的中点为Q，连接OQ，由(＋)·＝0，即2·＝0，所以OQ⊥PF2，连接PF1，可得OQ∥PF1，所以PF1⊥PF2，可得||＝2a－||，又因为2||＝3||，所以||＝a，||＝a，在Rt△PF1F2中，||2＋||2＝||2，即＋＝4c2，可得13a2＝25c2，所以e＝＝.故选B.
　5.(2021·陕西西安模拟)已知F1，F2分别是双曲线C1：－y2＝1与椭圆C2的左、右公共焦点，A是C1，C2在第一象限的公共点，若AF1⊥AF2，则椭圆C2的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　设椭圆C2的长轴长为2a，焦距为2c，由题意得c＝＝，在Rt△AF1F2中，由勾股定理得|AF1|2＋|AF2|2＝4c2＝12，在双曲线C1中，由定义得|AF1|－|AF2|＝2，所以|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝8，故|AF1|·|AF2|＝2.在椭圆C2中，由定义得|AF1|＋|AF2|＝2a，所以4a2＝|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1|·|AF2|＝12＋4＝16，解得a＝2，所以椭圆C2的离心率为e＝＝.故选D.
6．(2021·山东青岛模拟)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　设内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，因为内外椭圆离心率相同，故外层椭圆方程可设为＋＝1(m>1)，设切线AC的方程为y＝k1(x＋ma)，与＋＝1联立得(b2＋a2k)x2＋2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0，由Δ＝0，得k＝·，同理可得k＝(m2－1)，所以kk＝＝2，得＝，因此e＝＝＝＝.故选D.
　求椭圆离心率的一般方法
(1)根据已知条件或借助图形构造关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，求解a，b，c的值或范围．
(2)代入离心率公式e＝＝求出离心率的值或范围．
考点　　与椭圆有关的最值、范围问题
例7　(2021·陕西西安模拟)已知点A(m，n)在椭圆＋＝1上，则m2＋n2的最大值是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
答案　B
解析　由题意可得＋＝1，则m2＝4－2n2，故m2＋n2＝4－n2.因为－≤n≤，所以0≤n2≤2，所以2≤4－n2≤4，即2≤m2＋n2≤4.因此m2＋n2的最大值是4.故选B.
例8　(2021·江苏金陵中学模拟)设椭圆C：＋y2＝1(a>1)，已知点A(0,1)，点P为椭圆C上的点，若|AP|的最大值为2，则a的取值范围为(　　)
A．(1，] B．(1,2]
C．[，2) D．(，2]
答案　A
解析　设点P(x，y)，则＋y2＝1，可得x2＝a2(1－y2)，|AP|＝＝＝，因为|AP|的最大值为2，则关于y的二次函数f(y)＝(1－a2)y2－2y＋a2＋1在[－1,1]上的最大值为4.因为a>1，则二次函数f(y)的图象开口向下．当≤－1，即1时，f(y)max＝f＝(1－a2)2－2×＋a2＋1＝4，解得a＝±(舍去)．综上所述，1　7.(2021·“江南十校”联考)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为(　　)
A. B．
C．2 D．3
答案　B
解析　由椭圆的定义可得△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，∴a＝2，则c＝＝，则△MF1F2面积的最大值为·2c·b＝bc＝.故选B.
8．(2021·河南郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点P，使得＝，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B．(0，－1)
C．(－1,1) D．
答案　C
解析　在△PF1F2中，由正弦定理知＝，又＝，所以＝＝e，即|PF1|＝e|PF2|，　①
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，　②
联立①②得|PF2|＝，又|PF2|∈(a－c，a＋c)，所以a－c<　求解椭圆范围、最值问题的常用思路
(1)充分利用椭圆的几何性质，结合图形进行分析．
(2)注意利用椭圆的范围如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1构造不等式．
(3)列出所求目标的表达式，构造函数利用单调性，或者利用基本不等式求最值或范围．
二、核心素养提升
例1　(多选) (2021·江苏省西亭高级中学模拟)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则下列结论中正确的是(　　)
A．a－c＝m＋R
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝
答案　ABD
解析　由题意，近地点A距地面m千米，远地点B距地面n千米，可得m＝a－c－R，n＝a＋c－R，即a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，所以A，B正确；由可得2a＝2R＋m＋n，所以C错误；又b＝＝＝，所以D正确．故选ABD.
例2　(2021·江西上饶铅山县第一中学模拟)如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个命题中不正确的是(　　)
A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和必为定值
B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C．曲线C所围区域的面积必小于36
D．曲线C的总长度必大于6π
答案　A
解析　由题意F1，F2是前一个椭圆的焦点，E1，E2是后一个椭圆的焦点，当|PF1|＋|PF2|＝10时，|PE1|＋|PE2|不是定值，A不正确；用(y，x)替换椭圆＋＝1中的(x，y)得＋＝1，反之亦然，因此两个椭圆关于直线y＝x对称，同理它们也关于直线y＝－x对称，所以曲线C关于直线y＝x，y＝－x对称，B正确；由椭圆方程知曲线C在直线x＝±3，y＝±3围成的正方形内部，因此其面积必小于62＝36，C正确；曲线C在以原点O为圆心，3为半径的圆外部，因此曲线C的总长度必大于2π×3＝6π，D正确．故选A.
例3　在棱长为2的正四面体ABCD中，点P为△ABC所在平面内一动点，且满足||＋||＝，则|PD|的最大值为(　　)
A．3 B．
C． D．2
答案　B
解析　如图所示，在平面ABC内，||＋||＝>2，所以点P在平面ABC内的轨迹为椭圆，取AB的中点为点O，连接CO，以O为坐标原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
易知椭圆的半焦距c＝1，长半轴长a＝，则椭圆的短半轴长为b＝＝，所以椭圆方程为x2＋3y2＝1(z＝0)．设点D在底面的投影为点E，则点E为△ABC的中心，|OE|＝|OC|＝×＝，故点E正好为椭圆短轴的一个端点，因为|CE|＝|OC|＝，则
|DE|＝＝，因为|PD|2＝|DE|2＋|EP|2，故只需计算|EP|的最大值．设P(x，y,0)，则E，则|EP|2＝x2＋2＝－4y2＋y2－y＋＝－3y2－y＋，当y＝－∈时，|EP|2取最大值，|EP|＝－3×2－×＋＝，因此可得|PD|2≤＋＝，故|PD|的最大值为.故选B.
(1)椭圆的定义的使用，建立函数模型，结合函数的基本性质求解，是解决最值问题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用．
(2)注意数形结合思想的使用．
课时作业
一、单项选择题
1．(2022·江苏省灌南高级中学模拟)已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，该椭圆的一焦点坐标为(－2,0)且过点(1,4)，则该椭圆的长轴长为(　　)
A. B．3＋
C．5＋ D．4＋
答案　C
解析　由椭圆的一焦点坐标为(－2,0)，可得椭圆的另一焦点为(2,0)，又椭圆过点(1,4)，由椭圆的定义可得2a＝＋＝5＋.故选C.
2．(2022·江苏仪征市第二中学模拟)已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|等于(　　)
A．2 B．4
C．7 D．14
答案　C
解析　如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|OM|＝·|PF2|，而由椭圆的方程得a＝10，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝20－6＝14，所以|OM|＝7.故选C.
3．(2021·陕西汉中模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF1⊥F1F2，∠PF2F1＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　设|PF1|＝t>0，因为PF1⊥F1F2，∠PF2F1＝30°，所以|PF2|＝2t，|F1F2|＝t，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝3t,2c＝|F1F2|＝t，故e＝＝＝.故选D.
4．(2021·福建三明模拟)已知椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于(　　)
A. B．
C． D．4
答案　A
解析　如图所示，由题意得c＝＝，即|F1F2|＝2，由PF1⊥F1F2，设P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|＝.故选A.
5．(2021·玉林市育才中学模拟)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1，F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若·＝0，则＋＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
答案　C
解析　设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，焦距为2c，设m＝||，n＝||，所以m＋n＝2a1，|m－n|＝2a2，平方和相加可得m2＋n2＝2(a＋a)，由·＝0，得∠F1PF2＝90°，所以m2＋n2＝(2c)2＝4c2，所以2(a＋a)＝4c2，即a＋a＝2c2，＝2，即＋＝2.故选C.
6．(2021·奉新县第一中学模拟)已知椭圆＋＝1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的焦点，若AF2⊥BF2，则△AF2B的面积是(　　)
A．15 B．9
C．18 D．3
答案　B
解析　如图所示，因为A，B关于原点对称，F1，F2关于原点对称，所以四边形AF1BF2是平行四边形，且AF2⊥BF2，所以四边形AF1BF2为矩形，则AF1⊥AF2，由椭圆方程可得a＝5，b＝3，c＝4.设|AF1|＝m，|AF2|＝n，有解得mn＝18.所以S△AF2B＝S△AF1F2＝mn＝9.故选B.
7．(2021·辽宁丹东模拟)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　依题意有|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.又⊥，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝9，所以|PF1|·|PF2|＝18，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，则b＝3.故选B.
8．已知两定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P(x，y)满足tan∠PAB·tan∠PBA＝2，则点P的轨迹方程是(　　)
A．x2－＝1 B．x2－＝1(y≠0)
C．x2＋＝1 D．x2＋＝1(y≠0)
答案　D
解析　因为tan∠PAB·tan∠PBA＝2，所以kPA·(－kPB)＝·＝2(y＞0)，－kPA·kPB＝·＝2(y＜0)，所以x2＋＝1(y≠0)．故选D.
二、多项选择题
9．(2021·福建泉州模拟)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)
A．C的焦距为
B．C的离心率为
C．圆D在C的内部
D．|PQ|的最小值为
答案　BC
解析　依题意可知c＝＝，则椭圆C的焦距为2，离心率e＝＝.设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋≥＞，所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为－＝.故选BC.
10．(2021·广东江门模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P(m，n)在椭圆C上，点Q(m，－n)．若直线MP，NQ的交点为R，则|OR|的值不可能为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　AB
解析　依题意，得－211．(2021·广东韶关第一次综合测试)设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c(c>0)，若∠F1PF2是直角，则(　　)
A．|OP|＝c(O为原点)
B．S△F1PF2＝b2
C．△F1PF2的内切圆半径r＝a－c
D．|PF1|max＝a＋c
答案　ABC
解析　在Rt△F1PF2中，O为斜边F1F2的中点，所以|OP|＝|F1F2|＝c，故A正确；设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则有m2＋n2＝(2c)2，m＋n＝2a，所以mn＝[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝2b2，所以S△F1PF2＝mn＝b2，故B正确；因为S△F1PF2＝(m＋n＋2c)·r＝b2，所以r＝＝＝＝a－c，故C正确；|PF1|＝a＋c，当且仅当P为椭圆右顶点时成立，此时P，F1，F2不构成三角形，故D错误．
12．(2021·河北石家庄模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　)
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋
答案　AD
解析　由|F1F2|＝2可得F2(1,0)，因为P(1,1)，所以PF2⊥x轴，对于A，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|＝2a－(|QF2|－|QP|)≥2a－|PF2|＝2a－1，当且仅当Q，P，F2三点共线时取到最小值为2a－1，故A正确；对于B，因为P(1,1)在椭圆内，所以b>1，所以短轴长2b>2，故B不正确；对于C，因为P在椭圆内，所以长轴长2a>|PF1|＋|PF2|＝1＋，所以离心率e＝<＝，所以e∈，故C不正确；对于D，因为＝，所以F1为PQ的中点，而F1(－1,0)，F2(1,0)，P(1,1)，所以Q(－3，－1)，所以长轴长2a＝|QF1|＋|QF2|＝＋＝＋，故D正确．故选AD.
三、填空题
13．方程＋＝1表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是________．
答案　(4，＋∞)
解析　由题意，得且m－3≠m－4，解得m>4.故实数m的取值范围是(4，＋∞)．
14．(2021·江苏省溧水高级中学模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝|AF2|，cosA＝，则椭圆C的离心率为________．
答案　
解析　如图，设|AB|＝|AF2|＝m，又cosA＝，所以|BF2|＝＝＝m，由椭圆定义知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，可得2m＋m＝m＝4a，即m＝a，
所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2a－a＝，在△AF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cosA，即4c2＝＋a2－2×××＝a2，即＝，所以＝.故椭圆C的离心率为.
15. (2021·江苏泰州姜堰中学模拟)油液在运输过程中不仅会对底部产生压力，同时会对侧壁产生压力，因为弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大，所以油罐车的油罐截面是椭圆．已知解放J6油罐车罐体长9米，长轴长2.4米，短轴长1.6米，当静止状态下所装汽油的高(到油罐底部平面的垂直距离)为1.2米时，此时的油面面积为________平方米(保留根式)．
答案　
解析　依题意画出油罐的截面，建立如图所示的平面直角坐标系，则椭圆的a＝1.2，b＝0.8，所以椭圆方程为＋＝1，则A(0，－0.8)，设油面与椭圆在第一象限交于B(xB，yB)，所以yB＝0.4，所以＋＝1，解得xB＝，所以油面的面积为2××9＝(平方米)．
16．(2021·贵州省思南中学模拟)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，椭圆上的动点P(x0，y0)在第一象限，且∠F1PF2为锐角，则x0的取值范围为________．
答案　
解析　由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，c＝＝，所以该圆的方程为x2＋y2＝5，由消去y，得5x2＝9.解得x1＝－，x2＝.又因为P在椭圆上，且由∠F1PF2为锐角，可知P不在x轴上，由于椭圆＋＝1的左、右顶点横坐标分别为－3和3，所以为使∠F1PF2为锐角，x0的取值范围是∪.又动点P(x0，y0)在第一象限，故x0的取值范围为.
四、解答题
17．已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
(1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积；
(2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．
解　(1)因为点M(1，m)在椭圆上，
所以＋m2＝1，
因为m>0，所以m＝，
因为a＝2，b＝1，所以c＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)，所以S△F1MF2＝|F1F2|m＝×2×＝.
(2)因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，
由余弦定理得
cos∠F1MF2＝＝，
因为∠F1MF2是钝角，所以(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y－12<0，
又因为y＝1－，所以x<，
解得－故横坐标x0的范围为.
18．(2021·安徽合肥模拟)已知⊙M过点Q(，0)，且与⊙N：(x＋)2＋y2＝16内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若x轴上有两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，点P在曲线C上(不在x轴上)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，直线PA，PB分别与直线x＝4交于C，D两点．若k1k2是定值，求t的值，并求出此时|CD|的最小值．
解　(1)设⊙M的半径为R，
因为⊙M过点Q(，0)，且与⊙N内切，
所以即|MN|＋|MQ|＝4.
因为|NQ|＝2<4，所以点M的轨迹是以N，Q为焦点的椭圆．
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝4，且c＝＝，
所以a＝2，b＝1.
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，
则y＝1－，k1＝，k2＝，
于是k1k2＝＝＝，
显然，只有t2＝4即t＝2时，k1k2取定值－，
此时直线PA的方程为y＝k1(x＋2)，
直线PB的方程为y＝k2(x－2)．
联立及
得yC＝6k1，yD＝2k2，
由k1k2＝－，知k1，k2异号．
所以|CD|＝|yC－yD|＝|6k1－2k2|＝|6k1|＋|2k2|≥2＝2.
当且仅当6k1＝－2k2时，|CD|取最小值为2.
19．(2021·湖北荆门模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会．其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情．这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积、体积等．对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式，直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式．原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
(1)利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M，几何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面α内．设与平面α平行且距离为d的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；
(2) 现将椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A，B(如图)，类比(1)中的方法，探究椭球A的体积公式，并写出椭球A，B的体积之比．
解　(1)由图可知，图①几何体为半径为R的半球，图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分所示)．
证明：在图①中，设截面圆的圆心为O1，易得截面圆O1的面积为π(R2－d2)，
在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d，所以圆环的面积为π(R2－d2)，
所以截得的截面的面积相等．
(2)类比(1)可知，椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，构造一个底面半径为b，高为a的圆柱，把半椭球与圆柱放在平面α上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b，高为a；在半椭球内截面圆的面积为π(a2－d2)，在圆柱内圆环的面积为πb2－πd2＝π(a2－d2)，
所以距离平面α为d的平面截取两个几何体的平面面积相等，
根据祖暅原理得出椭球A的体积为VA＝2(V圆柱－V圆锥)＝2＝ab2，
同理可得，椭球B的体积为VB＝a2b.
所以两个椭球A，B的体积之比为.

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