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9．4　直线与圆、圆与圆的位置关系
(教师独具内容)
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决一些简单问题．
2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
3．重点提升直观想象和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．计算弦长、面积，考查与圆有关的最值问题，根据条件求圆的方程．
3．题型多以选择题或填空题的形式出现．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
3．牢记三个相关结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
4．两圆公切线的条数
(1)外离时4条；
(2)外切时3条；
(3)相交时2条；
(4)内切时1条；
(5)内含时0条．
5．两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括圆C2).
6．切线长公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝.
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝ eq \r(x＋y＋Dx0＋Ey0＋F).
7．求过一定点的圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系
(1)若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；
(2)若点在圆外，切线应有两条；
(3)若点在圆内，切线为零条．
1．(2021·北京清华附中模拟)已知点P与点(3，4)的距离不大于1，则点P到直线3x＋4y＋5＝0距离的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　B
解析　设点P(x，y)，则(x－3)2＋(y－4)2≤1，(3，4)到直线3x＋4y＋5＝0的距离为d＝＝6，则点P到直线3x＋4y＋5＝0距离的最小值为6－1＝5.故选B.
2．(2021·中央民族大学附属中学模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|＋|的最小值为(　　)
A． B．3
C．4 D．3
答案　B
解析　因为C为AB的中点，所以＋＝2，从而|＋|＝|2|＝2||，可知||的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离d＝＝，所以|＋|min＝2×＝3.故选B.
3.如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为(　　)
A．2 米 B．20 米
C．4 米 D．12 米
答案　C
解析　以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y轴负半轴上，设该圆的圆心为(0，－a)，a>0，则该圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，记水面下降前与圆的两交点为A，B，
水面下降1米后与圆的两交点为C，D.由题意可得，A(－10，－4)，则(－10)2＋(－4＋a)2＝a2，解得a＝，所以圆的方程为x2＋＝，由水面下降1米，可知点C的纵坐标为y＝－5，所以x2＋＝，解得x＝－2，则此时桥在水面的跨度为|CD|＝2|x|＝4米．故选C.
4．(2021·南京市第十三中学模拟)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是(　　)
A．2 B．
C．4 D．3
答案　C
解析　由圆的几何性质知，当两圆在点A处的切线互相垂直时，两切线分别过另一圆的圆心，则在Rt△OAO1中，|OA|＝，|O1A|＝2，所以|OO1|＝5，又A，B关于OO1对称，所以|AB|为Rt△OAO1斜边上高的2倍，则S△OAO1＝|OO1|·＝|OA|·|O1A|，即×5＝×2，所以|AB|＝4.故选C.
1．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
答案　ACD
解析　圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，
所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋<5＋ ＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4< －4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D正确．综上，选ACD.
2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案　ABD
解析　圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.
3．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　由于圆上的点(2，1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a，a)，a＞0，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.由题意可得(2－a)2＋(1－a)2＝a2，可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5).点(1，1)，(5，5)到直线2x－y－3＝0的距离均为d＝＝，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.故选B.
4．(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________，b＝________．
答案　　－
解析　由题意，两圆圆心C1(0，0)，C2(4，0)到直线l的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.
一、基础知识巩固
考点　　直线与圆的位置关系的判断
例1　(2021·浙江嘉兴模拟)直线mx－y＋1＝0与圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．与m的值有关
答案　A
解析　因为直线mx－y＋1＝0过定点(0，1)，且(0－2)2＋(1－1)2＝4<5，故(0，1)在圆内，所以直线与圆相交．故选A.
例2　(2021·大连市红旗高级中学模拟)若直线l：y＝kx－1与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案　A
解析　由圆C的方程知其圆心C(2，1)，半径为，因为直线l与圆C相切，所以＝，解得k＝2±，由圆D的方程知其圆心D(2，0)，半径r＝，所以圆心D到直线l的距离d＝，当k＝2＋时，d2－r2＝－3＝－<0，即d　1.直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5的公共点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
答案　D
解析　将直线l的方程变形为k(x＋2)＋1－y＝0，由可得所以直线l过定点P(－2，1)，因为(－2)2＋12＝5，即点P在圆C上，所以直线l与圆C相交或相切．故选D.
2．(2021·江西宜春模拟)已知动直线l：x cos α＋y sin α＝1与圆C1：x2＋y2＝2相交于A，B两点，圆C2：x2＋y2＝1.下列说法：①l与C2有且只有一个公共点；②线段AB的长度为定值；③线段AB的中点轨迹为C2.其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　原点到直线l的距离d＝＝1，因为圆C2的半径为1且原点为其圆心，所以直线l与圆C2相切，故①正确；原点为圆C1的圆心，故|AB|＝2＝2，所以线段AB的长度为定值，故②正确；设AB的中点为M，则|OM|＝d＝1，故线段AB的中点轨迹为C2，故③正确．故选D.
　解决直线与圆的位置关系问题的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考点　　圆与圆的位置关系的判断
例3　(2021·北京海淀模拟)圆C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1和圆C2：x2＋y2＝16的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
答案　C
解析　因为圆C1的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C1(3，4)，半径r1＝1，因为圆C2的方程为x2＋y2＝16，所以圆心C2(0，0)，半径r2＝4，所以|C1C2|＝＝5.因为|C1C2|＝5＝r1＋r2，所以圆C1和圆C2外切．故选C.
例4　(2021·福建厦门一中模拟)设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，如果命题“ t∈R，A∩B≠ ”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，4]
B．
C．
D．(－∞，0]∪
答案　B
解析　因为A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}表示以M(4，0)为圆心，1为半径的圆，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}表示以N(t，at－2)为圆心，1为半径的圆，且其圆心N在直线ax－y－2＝0上，如图，如果命题“ t∈R，A∩B≠ ”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax－y－2＝0的距离不大于2，即≤2，解得0≤a≤.故选B.
　3.(2021·安徽铜陵期末)已知圆A：x2＋y2－2x－4y－4＝0，圆B：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，则两圆的公切线的条数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　圆A：x2＋y2－2x－4y－4＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝9，可得圆心坐标为A(1，2)，半径为R＝3，圆B：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，可得圆心坐标为B(－1，－1)，半径为r＝2，则圆心距为|AB|＝＝，又R＋r＝5，R－r＝1，所以R－r<|AB|4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝9相交于A，B两点，点P是线段AB上的任意一点(含端点)，若存在点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆M无公共点，则r的取值范围为(　　)
A．(，3) B．(4，8)
C．(，6) D．(2，3)
答案　A
解析　圆M的圆心为M(3，4)，半径为3.圆O的圆心为O(0，0)，半径为r.两圆的圆心距|OM|＝5，则|r－3|<5　
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
(3)两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
(4)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
考点　　圆的切线问题
例5　(2021·云南曲靖模拟)过原点且与曲线x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线方程是(　　)
A．y＝0 B．x＝0
C．x＝0或y＝0 D．x±y＝0
答案　C
解析　因为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，所以(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径为1，当斜率不存在时，过原点的直线方程为x＝0，此时圆心(1，1)到它的距离为1，等于圆的半径；当斜率存在时，设过原点的切线方程为kx－y＝0，由圆心(1，1)到切线的距离等于半径，可得＝1，解得k＝0，所以切线方程为x＝0或y＝0.故选C.
例6　(2021·浙江宁波模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，点P为l上一动点，过点P作圆O的切线PA，PB(切点为A，B)，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y＋＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－＝0
答案　C
解析　如图，设四边形PAOB的面积为S，S＝2S△PAO＝|OA||PA|＝|PA|，|PA|＝＝，所以当|OP|最小，即OP⊥l时，|PA|最小，O到l的距离为＝，所以|OP|min＝，Smin＝|PA|min＝＝1.所以|OA|＝|PA|＝|PB|＝|OB|＝1，四边形PAOB是正方形，由题得直线OP的方程为y＝x，联立?y＝x，
x＋y＋2＝0，?得P(－1，－1).所以线段OP的中点坐标为，由题得直线AB的斜率为－1，所以直线AB的方程为y－＝－，化简，得x＋y＋1＝0.故选C.
　5.(2021·通辽新城第一中学模拟)已知直线l：x＋y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＝0，若在直线l上存在一点P，使得过点P作圆的切线PA，PB(点A，B为切点)，满足∠APB＝60°，则m的取值范围为(　　)
A．[－2，2]
B．[－2，2]
C．[－1，1]
D．[－4－2，4－2]
答案　D
解析　圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆心C(2，0)，半径r＝2，连接CA，CB，CP，则CA⊥PA，CB⊥PB，因为∠APB＝60°，所以∠APC＝30°，因为r＝|CA|＝2，所以|CP|＝4，要使直线l上存在一点P，使其满足条件，只需点C到直线l的距离d≤4，所以≤4，所以－4－2≤m≤4－2.故选D.
6．过点M(0，－4)作圆C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x－y＋3＝0 B．x－7y＋18＝0
C．2x－5y＋5＝0 D．x＋5y＋5＝0
答案　B
解析　圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心为C(－1，3)，半径为2，由圆的切线的性质可得MA⊥AC，则|MA|＝＝＝，所以以点M为圆心，|MA|为半径的圆M的方程为x2＋(y＋4)2＝46，将圆M的方程与圆C的方程作差并化简可得x－7y＋18＝0.因此，直线AB的方程为x－7y＋18＝0.故选B.
　在处理直线与圆相切问题时的常用策略
(1)借助“图形特征”解题，便能高效解决问题．
(2)一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题．
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
④过圆x2＋y2＝r2内一点作直线交圆于两点，再过这两点作圆的切线，则切线的交点(x0，y0)的轨迹方程为x0x＋y0y＝r2.
考点　　圆的弦长计算问题
例7　(2021·福建泉州模拟)若圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0截直线x－y－3＝0所得弦长为6，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．－2
C．－4 D．－31
答案　C
解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，所以圆心(1，－2)，圆心在直线x－y－3＝0上，所以2＝6，解得m＝－4.故选C.
例8　(2021·湖南衡阳模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　)
A．±2 B．±
C．± D．±
答案　C
解析　由题可得圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C.
　7.(2022·福建泉州高三月考)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
答案　2
解析　设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝，∴弦长的一半为＝＝，∴最短弦的长为2.
8．(2022·湖北荆州阶段检测)从①圆经过C(3，4)，②圆心在直线x＋y－2＝0上，③圆截y轴所得的弦长为8且圆心M的坐标为整数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．
已知圆M经过点A(－1，2)，B(6，3)且____________________，
(1)求圆M的标准方程；
(2)已知直线l经过点(－2，2)，直线l与圆M相交所得的弦长为8，求直线l的方程．
解　(1)若选条件①，
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意有
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，
即圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝25.
若选条件②，
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为圆M经过点A(－1，2)，B(6，3)，且圆心在直线x＋y－2＝0上，
依题意有
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝25.
若选条件③，
设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由圆M经过点A(－1，2)，B(6，3)，
故
又因为圆截y轴所得的弦长为8，
故方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8.
所以|y1－y2|＝
＝＝8，即E2－4F＝64.
解方程组
得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，E＝－，F＝，
由于圆心M的坐标为整数，
故圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝25.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
则弦长L＝2＝8 ＝4 d＝3.
当直线l的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋2＝0，d＝＝3，
解得k＝0或k＝－，
所以直线l的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0.
　解有关弦长问题的两种方法
(1)几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝＋d2.
(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝·|y1－y2|＝·(k≠0).
二、核心素养提升
例1　(2021·江西科技学院附属中学模拟)在平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，定义dP1P2＝为点P1，P2之间的极距，已知点P是直线l：2x＋y－9＝0上的动点，点Q是圆O：x2＋y2＝5上的动点，则P，Q两点之间的距离最小时，其极距为(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　C
解析　如图所示，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，作出直角三角形P1RP2，则由极距的定义知，dP1P2就是直角三角形P1RP2中较小的直角边的大小．因为点P是直线l：2x＋y－9＝0上的动点，Q是圆O：x2＋y2＝5上的动点，要使|PQ|最小，则OP⊥l，|PQ|＝|OP|－最小，此时|PQ|＝|OP|－＝－＝.设直线l交x轴于A，交y轴于B，因为直线l的斜率为－2，所以＝.过P作PR∥x轴，过Q作QR∥y轴，则△PQR∽△BAO，所以＝＝.在直角三角形PRQ中，P，Q两点之间的极距即为|RQ|，设|RQ|＝t，则|RP|＝2t，所以t2＋(2t)2＝.解得t＝，即|RQ|＝，故P，Q两点之间距离最小时的极距为.故选C.
　
例2　为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
解　以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.
因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较
近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE距离最短．
此时|DE|＝－1＝(4－1)km.
即DE的最短距离为(4－1)km.
1．求解直线与圆的方程的新定义问题要抓住的两点
(1)紧扣新定义．分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚．
(2)用好直线与圆的几何性质．善于从试题中发现可以使用新定义的因素，利用相关性质解题．
2．求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
(1)认真审题，明确题意．
(2)建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与圆的方程．
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．
(4)把代数结果还原为实际问题的解释．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·浙江金华一中模拟)直线ax－y－2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
答案　B
解析　直线ax－y－2a＝0(a∈R)，即a(x－2)－y＝0，由得所以直线恒过定点(2，0).因为22＋02<9，所以定点(2，0)在圆内，所以直线与圆相交．故选B.
2．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)，若存在实数x0使f(x0)＝－g(－x0)成立，则称M(x0，f(x0))，N(－x0，g(－x0))是函数f(x)与g(x)的一对“望点”，若f(x)＝，g(x)＝1－x，则函数f(x)与g(x)的“望点”的对数为(　　)
A．2 B．0
C．4 D．1
答案　D
解析　令y＝，得(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)，它表示圆心为(－2，0)，半径为1的半圆(不包括x轴下方)，如图，作出这个半圆及其关于原点成中心对称的半圆，则y轴右侧半圆圆心坐标为(2，0)，半径为1.点(2，0)到直线y＝1－x，即4x＋3y－3＝0的距离d＝＝1，故该直线与半圆(x－2)2＋y2＝1(y≤0)相切，公共点只有一个，所以函数f(x)与g(x)的“望点”的对数为1.故选D.
3．(2021·黄石市有色第一中学月考)函数f(x)＝x3－2x＋3的图象在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝8的位置关系是(　　)
A.相切 B．相交且过圆心
C．相交但不过圆心 D．相离
答案　C
解析　因为函数f(x)＝x3－2x＋3，所以f′(x)＝3x2－2，所以函数f(x)＝x3－2x＋3的图象在x＝1处的切线的斜率为k＝f′(1)＝1，切点坐标为(1，2).所以切线方程为y－2＝1×(x－1)，即x－y＋1＝0.因为圆x2＋y2＝8的圆心(0，0)到该直线的距离d＝＝<2，所以直线与圆相交．而(0，0)不满足直线方程x－y＋1＝0，所以函数f(x)＝x3－2x＋3的图象在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝8的位置关系为相交但不过圆心．故选C.
4．(2021·湖北宜昌一中模拟)过点P(2，1)作圆M：(x－1)2＋y2＝4的最短弦，延长该弦，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则△ABM的面积为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　依题意，点M(1，0)，由圆的性质可知，过点P(2，1)且垂直于PM的直线l被圆截得的弦长最短．而kPM＝＝1，所以直线l的斜率为－1，方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.所以直线l与x轴、y轴分别交于A(3，0)，B(0，3)，故△ABM的底边|AM|＝2，高h＝3，即面积为×2×3＝3.故选B.
5．(2021·江西省万载中学模拟)直线x＋y＋3＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P在圆(x－3)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[6，12] B．[6，12]
C．[12，20] D．[12，20]
答案　A
解析　直线x＋y＋3＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，所以令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝－3，所以A(－3，0)，B(0，－3)，|AB|＝＝3，圆(x－3)2＋y2＝2的圆心坐标为C(3，0)，半径r＝，则圆心C(3，0)到直线x＋y＋3＝0的距离d＝＝3，点P在圆(x－3)2＋y2＝2上，所以△ABP的边AB上的高h∈[d－r，d＋r]，即h∈[2，4]，所以S△ABP＝|AB|·h∈[6，12].故选A.
6．(2021·宜宾市翠屏区天立学校模拟)已知直线l：y＝x＋2与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则·的值为(　　)
A．8 B．4
C．4 D．2
答案　C
解析　由题意，联立解得
或不妨设A(0，2)，B(－2，0)，则·＝(－2，－2)·(0，－2)＝－2×0＋(－2)×(－2)＝4.故选C.
7．(2021·江苏镇江模拟)已知圆O1：x2＋y2＋ty－2＝0与y轴交于A，B两点，点C的坐标为(1，2).圆O2过A，B，C三点，当实数t变化时，存在一条定直线l被圆O2截得的弦长为定值，则此定直线l的方程为(　　)
A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＝0
答案　B
解析　令x＝0代入圆O1，得y2＋ty－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝－t，y1y2＝－2，设圆O2的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由A，B，C都在圆O2上，所以易知E＝t，F＝－2，D＝－2t－3.所以圆O2：x2＋y2－(2t＋3)x＋ty－2＝0，整理，得t(y－2x)＋x2＋y2－3x－2＝0.因为当实数t变化时，存在一条定直线l被圆O2截得的弦长为定值，所以直线l一定过圆O2上的两个定点，由
解得或
即圆O2过定点，(1，2)，所以所得两点一定在直线l上，故直线l的方程为＝，即2x－y＝0.故选B.
8．(2021·衡水第一中学月考)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点(　　)
A． B．(0，2)
C．(2，1) D．
答案　A
解析　因为P为直线l上的动点，所以可设P(2，t)，由题意可得圆心C的坐标为(0，0)，以线段PC为直径的圆N的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即x2＋y2－2x－ty＝0.两圆方程作差，得两圆公共弦AB的方程为2x＋ty－1＝0，即(2x－1)＋ty＝0，所以直线AB过定点.故选A.
二、多项选择题
9．(2022·山东肥城市月考)已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．圆A的半径为4
B．圆A截y轴所得的弦长为2
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
答案　BC
解析　把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A错误；圆A截y轴所得的弦长为2×＝2，B正确；圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4，4)，半径为3，则点A与点B之间的距离为＝5，故圆A与圆B外切，D错误．故选BC.
10．(2021·辽宁大连八中模拟)以下四个命题表述正确的是(　　)
A．圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线x－y＋1＝0的距离都等于
B．曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为m>4
C．已知圆C：x2＋y2＝2，Q为直线x＋y＋2＝0上一动点，过点Q向圆C引一条切线QA，其中A为切点，则|QA|的最小值为2
D．已知圆C：x2＋y2＝4，点P为直线2x＋y－8＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点
答案　ACD
解析　圆x2＋y2＝2的圆心为O(0，0)，半径r＝.圆心O(0，0)到直线x－y＋1＝0的距离dO＝＝r，所以圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离都等于，故A正确；方程x2＋y2＋2x＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，故曲线C1表示圆心为C1(－1，0)，半径r1＝1的圆．方程x2＋y2－4x－8y＋m＝0可化为(x－2)2＋(y－4)2＝20－m，因为圆C1与曲线C2有四条公切线，所以曲线C2也为圆，且圆心为C2(2，4)，半径r2＝(m<20)，|C1C2|＝＝5，同时两圆的位置关系为外离，有|C1C2|>r1＋r2，即5>1＋，解得4r，所以直线与圆相离．由切线的性质知，△QAC为直角三角形，|QA|＝≥ eq \r(d－2)＝2，当且仅当QC与直线x＋y＋2＝0垂直时等号成立，所以|QA|的最小值为2，故C正确；设点P(x0，y0)，因为点P在直线2x＋y－8＝0上，所以2x0＋y0－8＝0，y0＝8－2x0，由圆的切线性质知，直线AB的方程为x0x＋y0y＝4，即x0x＋(8－2x0)y＝4，整理，得(x－2y)x0＋8y－4＝0，解方程组得所以直线AB过定点，故D正确．故选ACD.
11．(2021·山东泰安与济南章丘区高三5月联合模拟)已知曲线C的方程为＝|x＋2y|，圆M：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)，则(　　)
A．C表示一条直线
B．当r＝4时，C与圆M有3个公共点
C．当r＝2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点
D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是(4，＋∞)
答案　BC
解析　由＝|x＋2y|，得x2＋y2＝|x＋2y|2＝x2＋4xy＋4y2，即y(4x＋3y)＝0，则C表示两条直线，其方程分别为y＝0与4x＋3y＝0.因为M(5，0)到直线4x＋3y＝0的距离d＝＝4，所以当r＝4时，直线4x＋3y＝0与圆M相切，易知直线y＝0与圆M相交，C与圆M有3个公共点．当r＝2时，由图易知，存在圆N，使得圆M与圆N相切，且圆N与这两条直线都相交，即与C有4个公共点．C与圆M的公共点的个数的最大值为4，当r＝5时，圆M过两直线的交点O(0，0)，所以公共点的个数为3.故选BC.
12．(2022·湖南岳阳模拟)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)，则(　　)
A．若圆C1与圆C2无公共点，则0B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0
C．当r＝2时，P，Q分别是圆C1与圆C2上的点，则|PQ|的取值范围为[2，8]
D．当0答案　BCD
解析　由题意，圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)的圆心为C2(3，－4)，半径为r，则圆心距为|C1C2|＝＝5.对于A，若圆C1与圆C2无公共点，则只需|C1C2|<|r－1|或|C1C2|>r＋1，解得r>6或02＋1＝3，所以圆C1与圆C2外离，又P，Q分别是圆C1与圆C2上的点，所以|C1C2|－(1＋2)≤|PQ|≤|C1C2|＋1＋2，即2≤|PQ|≤8，故C正确；对于D，当0三、填空题
13．(2021·福建省南安市侨光中学月考)已知点A(－2，0)，B(2，0)，如果直线3x－4y＋m＝0(m>0)上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m的值为________．
答案　10
解析　由题意知，点P在以AB为直径的圆上(不与A，B重合)，圆的方程为x2＋y2＝4.所以要使直线3x－4y＋m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆x2＋y2＝4相切，圆心(0，0)，半径为2，所以＝2，解得m＝10或－10(舍去).所以m＝10.
14．(2021·广东茂名期末)过圆O：x2＋y2＝5外一点P(2，)作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝________．
答案　
解析　圆O：x2＋y2＝5的圆心为(0，0)，半径r＝，P(2，)，则|PO|＝＝3，过圆O：x2＋y2＝5外一点P(2，)作圆O的切线，切点分别为A，B，则|PA|＝|PB|＝＝2，故点A，B在以P为圆心，半径为2的圆上，该圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝4，两个圆的方程作差可得2x＋y－5＝0，则直线AB的方程为2x＋y－5＝0，圆心O到直线AB的距离d＝＝，则|AB|＝2＝2＝.
15．(2021·福建南平模拟)过点P(0，1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是____________．
答案　x＋y－1＝0
解析　由x2＋y2－2x－3＝0可得圆心为(1，0)，由圆的性质可知圆的所有弦中直径最长，所以所求直线过点P(0，1)和圆心(1，0)，所求直线的斜率为k＝＝－1，根据斜截式方程可得y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.
16．(2022·江苏省高邮中学月考)圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－9＝0和圆C2：x2＋y2－4by－1＋4b2＝0只有一条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为________．
答案　4
解析　因为圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－9＝0和圆C2：x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，所以圆C1：(x＋a)2＋y2＝9和圆C2：x2＋(y－2b)2＝1，圆心分别为C1(－a，0)，C2(0，2b)，半径分别为3和1，依题意可知两圆内切，所以＝3－1，所以a2＋4b2＝4.因为a∈R，b∈R，且ab≠0，所以＋＝(a2＋4b2)＝≥＝4，当且仅当＝时，等号成立，所以＋的最小值为4.
三、解答题
17．(2021·江西景德镇一中月考)已知点N(0，1)，直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，并交圆x2＋y2＝4于A，B两点．
(1)求直线m的方程；
(2)求弦AB的长．
解　(1)直线l的斜率为k＝，
则直线m的斜率为k′＝－，
又过点N(0，1)，
由斜截式方程可知，直线m的方程为y＝－x＋1，即4x＋3y－3＝0.
(2)直线m与圆相交，
则圆心到直线m的距离为d＝＝，
又圆的半径为r＝2，
所以弦AB的长为2＝2＝.
18．(2021·江西宜春一中月考)已知圆C：(x－3)2＋y2＝1与直线m：3x－y＋6＝0，动直线l过定点A(0，1).
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆C相交于P，Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N.探索·是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解　(1)①当直线l的斜率不存在时，
l的方程为x＝0，与圆C不相切；
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝mx＋1，
即mx－y＋1＝0，所以＝1，
解得m＝0或m＝－，
所以直线l的方程为y＝1或y＝－x＋1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，
设l的方程为y＝kx＋1，M(x0，y0)，
由
消去y，得(1＋k2)x2－(6－2k)x＋9＝0，
所以x0＝，y0＝kx0＋1＝，
所以M.
所以＝.
由得
所以N，
所以＝.
所以·＝＋＝－5，
所以·为定值－5.
19．在平面直角坐标系xOy中，点D(－2，4)，E(－2，－2)，F(5，5)都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)直线x－y＋m＝0与圆C交于A，B两点，当OA⊥OB时，求m的值．
解　(1)由点D(－2，4)，F(5，5)，
设圆C的圆心为(a，1)，
则有(a＋2)2＋(1－4)2＝(a－5)2＋(1－5)2，
解得a＝2.
则圆C的半径为r＝＝5.
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y，得2x2＋2(m－3)x＋m2－2m－20＝0，
由已知可得，判别式Δ＝4(m－3)2－8(m2－2m－20)＝－4m2－8m＋196>0，
从而x1＋x2＝3－m，x1x2＝.
由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋m，y2＝x2＋m，
所以2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，
即m2－2m－20＋m(3－m)＋m2＝0，m2＋m－20＝0.
解得m＝－5或m＝4，均满足Δ>0，
故m＝－5或m＝4.
20. (2022·江苏常州高三月考)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
解　设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，
即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，
则A(0，－6)，B(－8，－12)，D(－8，0).
(1)设点P(x1，0)，PB⊥AB，
则kPB·kAB＝－1，
即·＝－1，
解得x1＝－17，
所以P(－17，0)，
PB＝＝15.
(2)当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆O的半径，设此时Q(x2，0)，
则kQA·kAB＝－1，
即·＝－1，
解得x2＝－，Q，
由－17<－8<－，
若P，Q的横坐标至少有一个在范围内，则不能满足PB，QA上所有点到O的距离均不小于圆O的半径，所以P，Q中不能有点选在D处．

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