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9.7　抛物线
(教师独具内容)
1．根据抛物线的标准方程可知，p是焦点到准线的距离，从而抛物线的标准方程取决于p值的大小和焦点的位置，重视抛物线定义在解题中的应用，能够灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离的相互转化，掌握抛物线四种标准方程间的关系：将y2＝2px关于y轴、直线x＋y＝0与x－y＝0对称可得抛物线的其他三种形式；或将抛物线y2＝2px绕原点旋转±或π也可以得到抛物线的其他三种形式．注意画出草图，数形结合解题．
2．类比研究椭圆、双曲线的几何性质的方法学习抛物线的几何性质．进一步掌握抛物线的定义，利用定义及焦半径解决与抛物线的焦点弦有关的问题．
3．重点提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程(或参数p)、准线方程，解决与焦点弦有关的问题．
2．考查抛物线与向量、圆、双曲线和椭圆等的综合问题，考查题型有选择题、填空题、解答题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
3．抛物线的焦半径与焦点弦
抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
焦半径的长 ＋x0 －x0 ＋y0 －y0
焦点弦的长 p＋(x1＋x2) p－(x1＋x2) p＋(y1＋y2) p－(y1＋y2)
4．抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝＝|AB|·d＝|OF|·|y1－y2|(d为顶点到弦AB的距离)；
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
1．(2021·北京延庆区模拟)设O为坐标原点，抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|＝5，则△OPF的面积为(　　)
A．1 B．
C． D．2
答案　D
解析　由题意可得点F的坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，因为P为抛物线上一点，|PF|＝5，所以点P的横坐标为4，当x＝4时，y2＝4×4＝16，所以|y|＝4，所以△OPF的面积为×1×4＝2.故选D.
2．(2021·上海市实验学校模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为侧面BB1C1C内的一动点，若点P到直线BC与直线D1C1的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)
A．一条线段 B．一段圆弧
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
答案　C
解析　如图，因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，C1D1⊥平面BB1C1C，PC1 平面BB1C1C，所以PC1⊥C1D1，故点P到直线C1D1的距离，即为点P到点C1的距离，又由题知，点P到直线C1D1的距离等于点P到直线BC的距离，
所以点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，又点C1在直线BC外，点P在侧面BB1C1C内运动，所以点P的轨迹为抛物线的一部分．故选C.
3．(2021·陕西汉中模拟)点M到点F(－4,0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为(　　)
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝24x D．y2＝－24x
答案　B
解析　因为点M到点F(－4,0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，所以点M到直线x＝4的距离等于它到点(－4,0)的距离，根据抛物线的定义，可得点M的轨迹是以点(－4,0)为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，可得＝4，得2p＝16，所以抛物线的方程为y2＝－16x，即为点M的轨迹方程．故选B.
4．(2021·湖北永州模拟)已知曲线C上任意一点P到定点F(1,0)的距离比点P到直线x＝－2的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若|MF|＋|NF|＝6，则线段MN的中点Q到y轴的距离为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
答案　D
解析　由题意可知曲线C上任意一点P到定点F(1,0)的距离等于点P到直线x＝－1的距离，所以曲线C为抛物线，其焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.设它的方程为y2＝2px(p>0)，由＝1，得p＝2，所以曲线C的方程为y2＝4x.
过M，N，Q作准线的垂线，垂足分别为M1，N1，Q1，因为|MF|＋|NF|＝6，所以|MM1|＋|NN1|＝6，易知四边形MM1N1N为梯形，由梯形的中位线定理可知，线段MN的中点Q到C的准线x＝－1的距离为＝3，故点Q到y轴的距离为3－1＝2.故选D.
5．(2021·山西晋城模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点F的距离是它到x轴距离的5倍，到直线2y＋3＝0距离的2倍，则p等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　D
解析　设M(x0，y0)，则M到C的焦点F的距离为y0＋，M到x轴的距离为y0，M到直线2y＋3＝0的距离为y0＋，由题意有解得y0＝1，p＝8.故选D.
1．(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
答案　B
解析　抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
答案　C
解析　设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋＝12，即9＋＝12，解得p＝6.故选C.
3．(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A. B．
C．(1,0) D．(2,0)
答案　B
解析　因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，且OD⊥OE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx＝∠EOx＝，所以D(2,2)，代入y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，所以其焦点坐标为.故选B.
4．(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
答案　5　4
解析　因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)．因为|MF|＝6，所以xM＋＝6，解得xM＝5，故yM＝±2，所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4.
5．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案　x＝－
解析　解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得P，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－.所以直线PQ的方程为y－p＝－.令y＝0，得x＝p.所以|FQ|＝p－＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－＝－.
解法二：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
一、基础知识巩固
考点　　抛物线的定义
例1　(2021·江西景德镇一中模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(1，y0)到焦点F的距离为3，则p的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　由抛物线的定义可知，|MF|＝1＋，因为|MF|＝3，所以1＋＝3，所以p＝4.故选D.
例2　(2021·江苏南通模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案　D
解析　因为抛物线方程为y2＝4x，所以抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.设线段AB的中点为M(3，y0)，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，N.则点M到准线的距离为|MN|＝3－(－1)＝4，根据梯形中位线定理，可得|AC|＋|BD|＝2|MN|＝8，再由抛物线的定义，知|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝8.故选D.
　1.(2021·福建省南安市侨光中学模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若|PT|＝|PF|，则∠PTF＝(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
答案　B
解析　过点P作抛物线准线的垂线，垂足为P′，由抛物线定义得|P′P|＝|PF|，所以|PT|＝|PF|＝|P′P|，在Rt△PP′T中，cos∠P′PT＝＝，所以∠P′PT＝30°，所以∠PTF＝∠P′PT＝30°.故选B.
2．(2021·江西南昌模拟)已知点P是抛物线C：y2＝4x上一点，点F为抛物线C的焦点，点M(2，1)，则△PMF周长的最小值为(　　)
A．3 B．1
C．＋1 D．＋3
答案　D
解析　如图所示，由题意可判断M(2,1)在抛物线内部，且易得点F(1,0)，准线方程x＝－1.根据两点间距离公式，得|MF|＝，过点P作准线的垂线，垂足为N，根据抛物线性质，得|PM|＋|PF|＋|MF|＝|PM|＋|PN|＋≥|MN|＋＝3＋，当且仅当N，P，M三点共线时等号成立，故△PMF周长的最小值为＋3.故选D.
　利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)最值问题：利用抛物线上的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相互转化，通过几何法作图象，数形结合解决或代数法转化为函数最值问题或不等式解决．
(2)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线．特别注意：一定要验证定点是否在定直线上．
(3)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．
考点　　抛物线的标准方程
例3　(2021·湖南湘潭模拟)顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝4y B．y2＝8x
C．x2＝8y D．y2＝4x
答案　D
解析　依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，又焦点到准线的距离为2，即p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.故选D.
例4　(2021·北京海淀期末)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
答案　D
解析　由题知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则由抛物线的定义知，3－＝5，解得p＝4.所以抛物线的标准方程为y2＝8x.故选D.
　3.(2021·四川成都模拟)已知直线l：y＝x－1与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得＝3(O为坐标原点)，则抛物线C的标准方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案　B
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组整理，得x2－2(1＋p)x＋1＝0.则x1＋x2＝2(1＋p)，可得y1＋y2＝x1＋x2－2＝2p，因为点N为AB的中点，所以N(1＋p，p)．设M(x0，y0)，由＝3，可得M(3＋3p,3p)，又由点M在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，可得(3p)2＝2p·3(1＋p)，即p2－2p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.故选B.
4．(2021·陕西西安中学模拟)双曲线C1：x2－y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过点A，则抛物线C2的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝3x
C．y2＝x D．y2＝4x
答案　A
解析　根据双曲线和抛物线的对称性可知，OA是△OMN的外接圆的直径，所以圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为2＋y2＝2，即x2＋y2－x＝0.
由解得或
故可设M(2，)，N(2，－)，将M或N的坐标代入抛物线的方程得3＝4p.解得p＝.所以抛物线C2的方程为y2＝x.故选A.
　求抛物线标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p＞0)和y2＝2px(p＞0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
考点　　抛物线的几何性质及应用
例5　(2021·黑龙江哈尔滨三中模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(x0,2)到焦点F的距离|MF|＝x0，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．5
答案　B
解析　由抛物线的定义可知|MF|＝x0＋，因为|MF|＝x0，所以x0＋＝x0，即x0＝p，因为点M(x0,2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，所以8＝2p2，解得p＝2或－2(舍去)．故选B.
例6　(2021·江西上饶模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A(t,1)满足|AF|＝2，则抛物线的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝2y D．x2＝4y
答案　D
解析　由题意，抛物线x2＝2py(p>0)上一点A(t,1)满足|AF|＝2，根据抛物线的定义，可得|AF|＝1＋＝2，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.故选D.
　5.(2021·河北高三4月模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于点P，且＝2，|BF|＝2，则p＝(　　)
A．3 B．2
C．4 D．6
答案　A
解析　如图，设准线为l，过A作AE⊥l于E，过B作BC⊥l于C.因为＝2，所以F是PA的中点，所以|OF|＝|AE|，所以|AF|＝|AE|＝|PF|＝2p.因为|BF|＝2，所以|BC|＝2，|PB|＝2p－2，所以＝，解得p＝3.故选A.
6．(2021·河北唐山模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为(　　)
A. B．
C． D．
答案　B
解析　抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，分别过A，B，E作直线x＝－1的垂线．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝2，∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)，∴x1＝2x2＋1，∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y，∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝.∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝.故选B.
　
(1)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形“形象、直观”的特点来解题，涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标之和的和还是与交点横(纵)坐标之和的差，这是正确解题的关键．
考点　　与抛物线有关的最值问题
例7　(2021·梧州高级中学模拟)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B．
C． D．3
答案　A
解析　如图所示，设抛物线的焦点为F，连接PF，过点P作PA⊥l，垂足为A，过点P作直线3x＋4y＋7＝0的垂线段PB，垂足为B，
抛物线y2＝4x的准线为l：x＝－1，焦点为F(1,0)，点F到直线3x＋4y＋7＝0的距离为d＝＝2，由抛物线的定义可知|PA|＝|PF|，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|≥d＝2，当且仅当点P在线段BF上时，等号成立，因此，P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是2.故选A.
例8　(2021·唐山市第十一中学模拟)已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点(0，)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．1＋
答案　A
解析　如图所示，设此抛物线的焦点为F(1,0)，Q(0，)，准线l：x＝－1.过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|＝|PF|，则点P到点(0，)的距离与点P到y轴的距离之和为|PQ|＋|PM|－1＝|PQ|＋|PF|－1≥|QF|－1＝－1＝1，当且仅当点P在线段QF上时，等号成立，所以点P到点(0，)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为1.故选A.
　7.(2021·永昌县第一高级中学模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为(　　)
A．2 B．
C． D．
答案　D
解析　设抛物线y＝2x2上点P到准线的距离为d，则有|PF|＝d.抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y，其准线方程为y＝－，所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝.故选D.
8．(2021·山东威海模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是(　　)
A．2 B．
C． D．
答案　B
解析　如图所示，不妨设点P在第一象限．设直线PA的倾斜角为θ，PP′垂直准线于P′，由抛物线的性质可得|PP′|＝|PF|，所以＝＝，
则当cosθ最小时，的值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即cosθ最小，由题意可得A(－1,0)，设切线PA的方程为x＝my－1(m>0)，由整理可得y2－4my＋4＝0，Δ＝16m2－16＝0，可得m＝1或m＝－1(舍去)，将m＝1代入y2－4my＋4＝0，可得y＝2，所以x＝1，即P的坐标为(1,2)，所以|PA|＝＝2，|PP′|＝1－(－1)＝2，所以的最大值为＝.由抛物线的对称性知点P在第四象限也成立．故选B.
　与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
二、核心素养提升
例1　(2021·辽宁铁岭六校高三模拟)如图，在底圆半径和高均为2的圆锥中，AB，CD是过底圆圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于(　　)
A. B．1
C． D．
答案　A
解析　如图1所示，连接PO，过点E作EH⊥AB，垂足为H.∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为2，∴OH＝EH＝.∴OE＝2.在平面CED内建立直角坐标系如图2.设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，F为抛物线的焦点，C(2,2)，所以8＝2p×2，解得p＝2，F(1,0)，即EF＝1，PB＝4，PE＝2，该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为 ＝.故选A.
例2　(2021·山西大学附属中学第二次模块诊断)已知A(0,3)，若点P是抛物线x2＝8y上任意一点，点Q是圆x2＋(y－2)2＝1上任意一点，则的最小值为(　　)
A．4－4 B．2－1
C．2－2 D．4＋1
答案　A
解析　∵抛物线x2＝8y的焦点为F(0,2)，圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0,2)，∴圆心为抛物线的焦点，如图所示，
易知|PF|－1≤|PQ|≤|PF|＋1，
当|PQ|最长时，最小，
∴的最小值为的最小值，
设P，由抛物线的定义知，|PF|＝yP＋＝＋2，则＝＝，
令＋3＝t(t＞3)，则x2＝8t－24，
∴＝＝＝t＋－4≥2－4＝4－4，
当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”，
∴的最小值为4－4，
∴的最小值为4－4.故选A.
例3　(2021·四川成都七中模拟)抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧A上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN周长的取值范围是(　　)
A．(6,12) B．(8,10)
C．(6,10) D．(8,12)
答案　B
解析　如图，可得圆心M(0,1)是抛物线的焦点，设直线PN交抛物线的准线于点H，根据抛物线的定义，可得|MN|＝|NH|，故△PMN的周长l＝|NH|＋|NP|＋|MP|＝|PH|＋4，由可得B(2，3)．故|PH|的取值范围为(4,6)，所以△PMN的周长l的取值范围为(8,10)．故选B.
1．涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．
2．应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·福建三明模拟)若抛物线y＝mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，则m＝(　　)
A. B．
C．2 D．4
答案　A
解析　因为点(t,2)是抛物线y＝mx2上一点，所以m>0，所以抛物线的准线方程为y＝－.由抛物线y＝mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，故根据抛物线的定义，得2＋＝3，解得m＝.故选A.
2．(2021·四川射洪中学模拟)已知F是抛物线x2＝－y的焦点，M，N是该抛物线上的两点，且|MF|＋|NF|＝3，则线段MN的中点到x轴的距离为(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　抛物线x2＝－y的准线方程为y＝，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以|MF|＋|NF|＝＋＝3，解得y1＋y2＝－.所以线段MN的中点的纵坐标为－.所以线段MN的中点到x轴的距离为.故选C.
3．(2021·辽宁营口模拟)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(3，y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则y0等于(　　)
A．±6 B．±6
C．±12 D．±12
答案　A
解析　由题意，抛物线y2＝2px上的点A(3，y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，可得3＋＝9，解得p＝12，所以y2＝24x，又由点A(3，y0)在抛物线y2＝24x上，代入得y＝72，解得y0＝±6.故选A.
4．(2021·湖北咸宁模拟)到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　)
A．y＝16x2 B．y＝－16x2
C．x2＝16y D．x2＝－16y
答案　C
解析　由题意可知，动点M到点F(0,4)的距离等于到直线y＝－4的距离，故点M的轨迹为以点F(0,4)为焦点，以直线y＝－4为准线的抛物线，其轨迹方程为x2＝16y.故选C.
5．(2021·河南洛阳二模)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0,8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是(　　)
A. B．2
C．6 D．
答案　D
解析　由题意，知|MA|＝|OA|，∴点A的纵坐标为4，∵△ABO为等边三角形，∴点A的横坐标为±，∵点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，∴＝2p×4，∴p＝.故选D.
6．(2021·海南琼中中学模拟)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　由题意可得F(1,0)，故直线AB的方程为y＝(x－1)，联立方程组可得3x2－10x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知x1＋x2＝，x1x2＝1.由抛物线的定义可知|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1，所以||FA|－|FB||＝|x1－x2|＝＝＝.故选A.
7．(2021·云南曲靖一中模拟)已知直线l1是抛物线C：y2＝8x的准线，P是C上的一动点，则点P到直线l1与直线l2：3x－4y＋24＝0的距离之和的最小值为(　　)
A. B．
C．6 D．
答案　C
解析　由抛物线的定义可知点P到准线l1：x＝－2的距离等于|PF|＝d1，点P到直线l2：3x－4y＋24＝0的距离为d2，结合图形可知当且仅当PF与直线l2垂直时，距离之和d＝d1＋d2最小，其最小值为点F(2,0)到直线3x－4y＋24＝0的距离，即dmin＝＝6.故选C.
8．已知A，B是圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，∠APB取得最大值，即A，B是圆C的切点，设∠APB＝2α，P.因为圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0，所以圆心C(4,1)，半径为1，从而sinα＝，因为|PC|2＝(x0－4)2＋2＝－8x0＋17，令f(x)＝－8x＋17，则f′(x)＝x3－8.所以当x<2时，f′(x)<0，即函数f(x)在(－∞，2)上为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数．所以f(x)min＝f(2)＝5，即|PC|min＝.所以(sinα)max＝，此时∠APB最大．所以|AB|＝2|AC|cosα＝2cosα＝.故选A.
二、多项选择题
9. (2021·湖北孝感模拟)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上的一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为16，则(　　)
A．点D，F，A三点共线
B．△ABF是等边三角形
C．|FB|＝4
D．抛物线C的方程为y2＝8x
答案　ABD
解析　设圆的半径为R，因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|＝|FD|＝R.因为∠ABD＝90°，所以|AD|为圆的直径，所以A，F，D三点共线，A正确；又|AB|＝|FA|＝|FB|，所以△ABF为等边三角形，B正确；因为△ABF的面积为16，所以|FA|·|FB|·＝|FB|2＝16，所以|FB|＝8，C错误；易知|AB|＝2p，又|AB|＝|FB|＝8，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，D正确．故选ABD.
10．(2022·江苏省姜堰第二中学高二月考)设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点．则下列结论正确的是(　　)
A．若P(1,2)，则|PF|＝2
B．若点P到焦点的距离为3，则点P的坐标为(2,2)
C．若A(2,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为
D．过焦点F作斜率为2的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝6
答案　AC
解析　抛物线y2＝4x，F(1,0)．对于A，P(1,2)，|PF|＝＝2，A正确；对于B，设P(x0，y0)，则x0＋1＝3，x0＝2，代入y2＝4x，得y0＝±2，所以点P的坐标为(2，2)或(2，－2)，B错误；对于C，(|PA|＋|PF|)min＝|AF|＝＝，C正确；对于D，直线方程为y＝2x－2，与y2＝4x联立，得x2－3x＋1＝0，故xA＋xB＝3，|AB|＝xA＋xB＋2＝5，D错误．故选AC.
11．(2021·重庆市凤鸣山中学模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
答案　ACD
解析　因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故抛物线方程为y2＝8x，焦点F(2,0)，则y＝8x1，y＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，所以y－y＝8x1－8x2，即＝＝＝2，所以直线l的方程为y＝2x－4，又由可得x2－6x＋4＝0，所以x1＋x2＝6.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10.故选ACD.
12．(2021·湖北武汉模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则(　　)
A．抛物线的准线方程为x＝－1
B．若＋＋＝0，则||，||，||成等差数列
C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1
D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2
答案　ABD
解析　把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；因为A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差数列，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化简得y1y2＝－4，故C错误；设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确．故选ABD.
三、填空题
13．(2021·湖南长沙模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l于A，若直线AF的倾斜角为120°，那么|PA|＝________.
答案　4
解析　如图，设抛物线准线l交x轴于点E，连接PF.因为点F(1,0)，直线l：x＝－1，直线AF的倾斜角为120°，所以有∠AFE＝60°，又PA⊥l于A，即PA∥x轴，得∠PAF＝60°，由抛物线定义，知|PF|＝|PA|，于是得△PAF为正三角形，即|PA|＝|AF|＝2|EF|＝4，所以|PA|＝4.
14．(2021·陕西榆林模拟)一个动圆与定圆F：(x－3)2＋y2＝4相外切，且与直线l：x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
答案　y2＝12x
解析　由题意可知，圆F的圆心为F(3,0)，半径为2，由于动圆与定圆F：(x－3)2＋y2＝4相外切，且与直线l：x＝－1相切，所以动圆圆心到点F的距离比它到直线l的距离大2，所以动圆圆心到点F的距离等于它到直线x＝－3的距离，所以动圆圆心的轨迹是以点F(3，0)为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线，设动圆圆心的轨迹方程为y2＝2px(p>0)，则＝3，可得p＝6，所以动圆圆心的轨迹方程为y2＝12x.
15．(2021·江西抚州模拟)已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M(－4,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是________．
答案　5
解析　由抛物线的方程可得抛物线的焦点F(0,2)，由题意可得M在抛物线的内部，过P作准线y＝－2的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，所以|PF|＋|PM|＝|PM|＋|PN|≥|MN|＝3＋2＝5，当且仅当M，P，N三点共线时等号成立．
16．(2021·广东湛江模拟)焦点为F的抛物线C：x2＝3y的准线与y轴交于点A，点M在抛物线C上，则的取值范围是________．
答案　
解析　作MN垂直准线于N，＝＝sin∠MAN，不妨在第一象限取点M，当MA与抛物线相切时，∠MAN最小，设切点为M(x0，y0)，
由y＝x2得y′＝x，可知kAM＝x0，又A，得＝x0，整理得y0＋＝x，又x＝3y0，所以y0＝，x0＝，所以kAM＝1，∠MAN＝45°，所以∠MAN∈[45°，90°]，所以＝sin∠MAN∈.
四、解答题
17．(2021·陕西安康模拟)过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为2的直线交E于A，B两点，|AB|＝5.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝r2交抛物线E于M，N两点，若MN是圆C的直径，求圆C的面积．
解　(1)F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为y＝2，代入E的方程并整理，得4x2－6px＋p2＝0，
∴x1＋x2＝p，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝p＝5，p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝6.
∵y＝4x3，y＝4x4，∴y－y＝4(x3－x4)，
∴＝＝，
∴直线MN的方程为y－3＝(x－3)，
与y2＝4x联立解得两点坐标为，，
不妨设N，r＝|CN|＝＝，
∴圆C的面积为πr2＝.
18．已知定点F(0,1)，P为x轴上方的动点，线段PF的中点为M，点P，M在x轴上的射影分别为A，B，PB是∠APF的平分线，动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)设E上点Q满足PQ⊥PB，Q在x轴上的射影为C，求|AC|的最小值．
解　解法一：(1)设坐标原点为O，
因为PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM，
因为PB是∠APF的平分线，
所以∠APB＝∠MPB，
所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|，
因为M为线段PF的中点，
所以|BM|＝，
所以2|BM|＝|PA|＋1，
因为|PF|＝2|PM|＝2|BM|，
所以|PF|＝|PA|＋1，
因为P为x轴上方的动点，所以点P到点F的距离等于点P到直线y＝－1的距离，
所以动点P的轨迹E是顶点在原点，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1的抛物线(原点除外)，
设E的方程为x2＝2py(p>0，x≠0)，则＝1，所以p＝2，
所以E的方程为x2＝4y(x≠0)．
(2)设点P，Q，
所以点B，＝，＝，
所以·＝－(x2－x1)－
＝－(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0，
因为x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，
所以x2＝－－x1，
所以|AC|＝|x1－x2|＝＝|2x1|＋≥2＝8，
当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8.
解法二：(1)设点P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以点B，
所以|AB|＝，
因为PB是∠APF的平分线，所以点B到直线PF的距离d＝|AB|，
因为直线PF的方程为y－1＝x，
整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0，
所以d＝，
所以＝，
整理，得x＝4y0(x0≠0)，所以动点P的轨迹E的方程为x2＝4y(x≠0)．
(2)设点P，Q，
所以点B，所以kPB＝＝，
因为PQ⊥PB，所以直线PQ的方程为
y－＝－(x－x1)，
即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0，
所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1，
所以|AC|＝|x1－x2|＝＝|2x1|＋≥2 ＝8，
当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8.
19．(2021·广东广州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(n,2)为抛物线C上的一点，且|MF|＝2.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点P在抛物线C上，记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，试判断是否存在点P，使得k1＋k2＝2？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意，抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，M(n,2)为抛物线C上的一点，
且|MF|＝2，则|MF|＝n＋＝2，
且2pn＝4，解得p＝2，n＝1，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)由(1)知抛物线y2＝4x，可得F(1,0)，
直线m的斜率不为0，
可设直线m的方程为x＝ty＋1，
联立方程，得
消去x并化简，得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
因为A，P两点在抛物线C上，
所以
所以k1＝＝，
同理可得k2＝.
则k1＋k2＝＋
＝
＝
＝＝2，
所以8t＋4y0＝－4＋4ty0＋y，
即y＋(4t－4)y0－8t－4＝0(*)，
因为Δ＝(4t－4)2＋4(8t＋4)＝16(t2＋2)>0，
所以方程(*)有两个不同的解，故满足k1＋k2＝2的点P的个数为2.

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