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9．8　直线与圆锥曲线的位置关系
(教师独具内容)
1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．
2．重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
会判断直线与圆锥曲线的位置关系，解决弦长、中点弦的计算问题，会从不同角度体现判别式、根与系数的关系、点差法、圆锥曲线的性质、线段垂直平分线的性质等知识在直线与圆锥曲线的位置关系中的作用．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．判定直线与椭圆位置关系的方法
(1)判定直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线与椭圆有公共点．
2．直线与双曲线、抛物线位置关系的解题思想
(1)方程思想的应用．
(2)数形结合思想的应用．
3．弦长公式
设直线l与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法如下：
(1)交点法：将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，求出两交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式得弦长，即
|AB|＝.
(2)公式法：若直线l的斜率k存在，则
|AB|＝
＝|x2－x1|
＝；
若直线l的斜率存在且不为零，则
|AB|＝
＝|y2－y1|
＝；
若直线l的斜率不存在，则
|AB|＝|y1－y2|＝.
1．(2021·江西九江模拟)已知椭圆＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0
C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0
答案　C
解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知可得因为点A，B都在椭圆上，则两式作差可得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，即＋(y1－y2)＝0，所以直线AB的斜率kAB＝＝－.因此直线AB的方程为y－＝－，即x＋9y－5＝0.故选C.
2．已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过点M(0,1)，与椭圆C交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为(　　)
A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1
C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1
答案　B
解析　依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则由消去y，整理，得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)＞0，由此解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1.故选B.
3．(2021·三湘名校教育联盟高三联考)已知直线l被双曲线C：－y2＝1所截得的弦的中点坐标为(1,2)，则直线l的方程为(　　)
A．x＋4y－9＝0 B．x－4y＋7＝0
C．x－8y＋15＝0 D．x＋8y－17＝0
答案　C
解析　设P，Q为直线l与双曲线C的交点，P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为线段PQ的中点为(1,2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，因为－y＝1，－y＝1，所以－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，整理得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－2＝(x－1)，即x－8y＋15＝0.故选C.
4．(2021·浙江绍兴模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F引斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
答案　C
解析　由y2＝4x可得焦点F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x2－6x＋1＝0，则有x1＋x2＝6，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选C.
5．(2021·浙江宁波模拟)过点P(0，－2)的直线交抛物线y2＝16x于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y－y＝1，则△OAB(O为坐标原点)的面积是(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　将A(x1，y1)，B(x2，y2)分别代入y2＝16x，得y＝16x1，y＝16x2，所以y－y＝16(x1－x2)，所以＝，所以直线AB的方程为y＝x－2，令y＝0，得x＝，所以S△OAB＝|y1－y2|＝|y－y|＝.故选D.
1．(2020·新高考Ⅰ卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　
解析　∵抛物线的方程为y2＝4x，∴抛物线的焦点为F(1,0)，又直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程消去y并化简得3x2－10x＋3＝0，
解法一：解得x1＝，x2＝3，∴|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.
解法二：Δ＝100－36＝64>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，过A，B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示，|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝.
2．(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
答案　2
解析　解法一：由＝，得A为F1B的中点．
又O为F1F2的中点，
∴OA∥BF2.
又·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.
∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2为等边三角形．
如图1所示，不妨设B.
∵点B在直线y＝－x上，∴＝，
∴离心率e＝＝＝2.
解法二：∵·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.
在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，
∴B(a，－b)，F2(c,0)．又＝，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2.
3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
解　(1)由题意，知椭圆的半焦距c＝且e＝＝，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)，
即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立可得4x2－6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，
所以m2＝k2＋1，
联立可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|MN|＝·
＝·
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，即M，N，F三点共线，充分性成立．
所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
一、基础知识巩固
考点　　直线与椭圆的位置关系
例1　(2021·北京101中学模拟)定义曲线＋＝1为椭圆＋＝1的“倒椭圆”，已知椭圆C1：＋y2＝1，它的倒椭圆为C2：＋＝1，过C2上任意一点P作直线PA垂直x轴于点A，作直线PB垂直y轴于点B，则直线AB与椭圆C1的公共点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．与点P的位置有关
答案　B
解析　设点P(m，n)(m≠0，n≠0)，则A(m,0)，B(0，n)，＋＝1.所以直线AB的方程为＋＝1，与椭圆C1：＋y2＝1联立方程，得(4n2＋m2)x2－8mn2x＋4m2(n2－1)＝0.所以Δ＝64m2n4－16m2(4n2＋m2)(n2－1)＝－16m2(m2n2－m2－4n2)，由＋＝1可得4n2＋m2＝m2n2，从而Δ＝0，所以方程有且只有一个实数根，故直线AB与椭圆C1的公共点个数为1.故选B.
例2　(2021·江苏盐城中学模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的面积为(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　直线AB的方程为y＝x－1，与椭圆方程＋＝1联立，整理可得7x2－8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
x1x2＝－，故弦长|AB|＝·
＝.点F1(－1,0)到直线AB的距离h＝，故S△F1AB＝×|AB|×h＝.故选C.
　1. (2021·浙江杭州模拟)如图，已知椭圆C：x2＋4y2＝4，过椭圆C上第一象限的点M作椭圆的切线与y轴相交于点P，O是坐标原点，作PN⊥OM于点N.则|OM|·|ON|(　　)
A．恒为定值
B．有最小值没最大值
C．有最大值没最小值
D．既没最大值也没最小值
答案　A
解析　不妨设切线PM的方程为y＝kx＋m(k<0)，联立切线方程与椭圆方程得消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，所以Δ＝16(－m2＋4k2＋1)＝0，得4k2＋1＝m2，即k＝－，由根与系数的关系可得解得xM＝，所以yM＝，得M，P(0，m)，所以·＝|ON|·|OM|＝1为定值．故选A.
2．(2021·河北石家庄模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个顶点在直线x－y－＝0上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线l与直线x＝－2交于点M，设直线PF1，MF2的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
答案　A
解析　因为椭圆C的两顶点在直线x－y－＝0上，所以a＝，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.所以F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得，过点P的直线斜率一定存在，所以设过点P的切线方程为y＝kx＋m，P(x0，y0)，联立消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝0，即(4km)2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，所以m2＝2k2＋1，x0＝－，所以y0＝kx0＋m＝k·＋m＝，所以点P，又m2＝2k2＋1，所以P，所以k1＝＝，设点M(－2，y1)，又M在切线y＝kx＋m上，所以M(－2，m－2k)，所以k2＝＝，所以k1k2＝·＝－.故选A.
　
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
考点　　直线与双曲线的位置关系
例3　(2021·安徽黄山模拟)直线l过点(2,1)，且与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx－(2k－1)，由得(1－4k2)x2＋8k(2k－1)x－4[(2k－1)2＋1]＝0，当k＝时，－4＝0不成立，方程组无解，当k＝－时，解得x＝，y＝，方程组有唯一解，即直线l与双曲线有唯一公共点，当1－4k2≠0时，Δ＝64k2(2k－1)2－16(4k2－1)[(2k－1)2＋1]＝－16(4k－2)≠0，即直线l的斜率存在时，符合条件的直线只有一条；当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝2，代入双曲线方程，得y＝0，即直线l与双曲线也有唯一公共点，所以符合条件的直线有2条．故选B.
例4　(多选)(2021·山东菏泽模拟)圆x2＋(y－5)2＝25上有且仅有三点到双曲线E：－＝1(a>0，b>0)一条渐近线的距离为2，双曲线的焦距为10，则下列说法正确的是(　　)
A．双曲线E的离心率为
B．直线l：y＝x＋1与双曲线E的两支各有一个公共点
C．双曲线E与双曲线－＝1有相同的渐近线
D．过点P(1,2)至少能作两条直线与双曲线E仅有一个公共点
答案　ACD
解析　圆C的标准方程为x2＋(y－5)2＝25，圆心坐标为(0,5)，半径为5.因为圆C上有且仅有三点到双曲线E：－＝1(a>0，b>0)一条渐近线的距离为2，设圆心C到直线y＝x的距离为d，则d＝5－2＝3，由点到直线的距离公式可得d＝＝3，解得＝，由已知条件可得解得对于A，双曲线E的离心率为＝，故A正确；对于B，直线l与双曲线E的一条渐近线平行，所以直线l与双曲线E只有一个公共点，故B错误；对于C，双曲线E与双曲线－＝1的渐近线方程均为y＝±x，故C正确；对于D，双曲线E的标准方程为－＝1，过点P作与双曲线E的两条渐近线都平行的直线，这两条直线都与双曲线只有一个公共点，故D正确．故选ACD.
　3.(2021·赤峰二中模拟)直线y＝k(x＋1)与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则k的不同取值的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　直线y＝k(x＋1)恒过点(－1,0)，双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，左顶点(－，0)，直线y＝k(x＋1)与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，有两条与渐近线平行，另外两条与左支相切．所以k的不同取值的个数为4.故选D.
4．(2021·广东珠海模拟)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1，故切线l的斜率k＝.因为k·kOP＝，则·＝，则＝，即双曲线C的离心率e＝＝.故选C.
　直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线l的方程与双曲线C的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)的形式．
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系可确定其位置关系；
②直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
考点　　直线与抛物线的位置关系
例5　(2021·广东汕头模拟)已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，且|AB|，|AF|，|BF|成等差数列，则直线l的斜率k＝(　　)
A．±1 B．±
C．±2 D．±2
答案　D
解析　根据题意可得直线l的斜率存在．因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，所以直线l的方程可设为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y并整理，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因此x1＋x2＝，x1x2＝1，因为|AB|，|AF|，|BF|成等差数列，所以2|AF|＝|AB|＋|BF|，于是有2(x1＋1)＝x1＋1＋x2＋1＋x2＋1，化简，得x1＝2x2＋1，而x1x2＝1，解得或(舍去)，因为x1＋x2＝，所以＝.解得k2＝8，即k＝±2.故选D.
例6　(2021·新安县第一高级中学模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为的直线l过点F且与抛物线交于A，B两点，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，若M为线段AB的中点，S△CDM＝2，则p＝(　　)
A. B．1
C． D．2
答案　C
解析　如图所示，易知点F，直线l的方程为y＝，联立消去y并整理，得3x2－5px＋＝0，
解得x＝或x＝.不妨设点A在第一象限，则点A，B，则M，|CD|＝p－＝，所以S△CDM＝|CD|·＝××＝＝2，因为p>0，所以p＝.故选C.
　5.(2021·辽宁锦州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，M为弦AB的中点，O为坐标原点，直线OM与抛物线的另一个交点为N，则的取值范围是(　　)
A．[2p，＋∞) B．(2p，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　D
解析　由题意知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，有y1＋y2＝2mp，所以yM＝＝mp.所以xM＝pm2＋，所以kOM＝.所以直线OM：y＝x，代入y2＝2px，得yN＝.所以＝＝＝＋2>2.故选D.
6．(多选)(2021·湖南衡阳毕业班联考)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过其准线上的点T(1，－1)作C的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是(　　)
A．p＝1
B．TA⊥TB
C．直线AB的斜率为
D．线段AB中点的横坐标为1
答案　BCD
解析　易知准线方程为y＝－1，∴p＝2，C：x2＝4y.设过点T(1，－1)的抛物线C的切线方程为y＋1＝k(x－1)，代入y＝，得－kx＋k＋1＝0，∵直线与C相切，∴Δ＝0，即k2－k－1＝0，设TA，TB的斜率分别为k1，k2，易知k1，k2是上述方程的两根，故k1k2＝－1，故TA⊥TB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1＝，y2＝.由y＝得y′＝.则TA：y－＝(x－x1)，即y＝x－y1，代入点(1，－1)，得x1－2y1＋2＝0，同理可得x2－2y2＋2＝0，故AB：x－2y＋2＝0，故kAB＝.由kAB＝＝＝＝，得＝1，即线段AB中点的横坐标为1.故选BCD.
　
1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般借助根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
二、核心素养提升
例1　(2021·上海市复兴高级中学模拟)若曲线|y|＝x＋2与曲线C：＋＝1恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，1]
C．(－∞，－1]∪(1，＋∞)
D．[－1,0)∪(1，＋∞)
答案　C
解析　如图所示，|y|＝x＋2表示起点为A(－2，0)的两条斜率分别为1和－1的射线．当曲线C：＋＝1为椭圆，即λ>0时，只需点A(－2,0)落在椭圆内，即＋<1，解得λ>1.当曲线C：＋＝1为双曲线，即λ<0时，渐近线方程为y＝±x.要使曲线|y|＝x＋2与曲线C：＋＝1恰有两个不同的交点，只需≤1，解得λ≤－1.所以实数λ的取值范围是(－∞，－1]∪(1，＋∞)．故选C.
例2　(2021·吉安县立中学模拟)已知P(x0，y0)是椭圆＋＝1与抛物线y2＝8x的一个交点，定义f(x)＝设定点N(2,0)，若直线y＝m与曲线y＝f(x)恰有两个交点A与B，且xAA．(2，4) B．
C. D．(8,4＋4)
答案　C
解析　由解得x0＝，y0＝± ，所以f(x)＝直线y＝m，作出函数y＝f(x)和y＝m的图象，由图象可得点A在抛物线上，点B在椭圆上，点N(2,0)为抛物线y2＝8x的焦点，所以|AN|＝xA＋，点N(2,0)为椭圆＋＝1的右焦点，椭圆的离心率为e＝，由焦半径公式可得，|BN|＝a－exB，所以△ABN的周长为|AN|＋|BN|＋|AB|＝xA＋＋a－exB＋xB－xA＝2＋4－xB＋xB＝6＋xB，由xB∈，得到6＋xB∈，所以△ABN周长的取值范围为.故选C.
例3　(2021·河北张家口第一次模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上一动点P，左、右焦点分别为F1，F2，且F2(2,0)，定直线l：x＝，PM⊥l，点M在直线l上，且满足＝.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l0的斜率k＝1，且l0过双曲线右焦点与双曲线右支交于A，B两点，求△ABF1的外接圆方程．
解　(1)由题意，可知＝，
设点P(x，y)，
则＝，
得(x－2)2＋y2＝2，
得x2－4x＋4＋y2＝x2－4x＋3，
得1＋y2＝x2，
即双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)由题意，可知直线l0：y＝x－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得2x2－12x＋15＝0，
所以x1＋x2＝6，x1x2＝.
则AB的中点为(3,1)，△ABF1外接圆的圆心在AB的垂直平分线上，设为l1，故l1的方程为y＝－x＋4，
又由焦点弦长公式，可知|AB|＝2.
设圆心坐标为(x0，y0)，则
故
所以半径R＝＝，
所以△ABF1的外接圆方程为2＋2＝.
解析几何的综合问题，常常涉及到直线与曲线相交，当两个交点坐标未知时，用“设而不求”避免求交点，从而简化计算．常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．而当其中一个交点坐标是已知的或除根与系数的关系外，还有坐标等量关系，则常用到“设而要求”．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·安徽省怀远县第一中学模拟)已知P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：x2＋(y＋1)2＝1的任意一条直径，则·的取值范围是(　　)
A．[0,24] B．[8,24]
C．(0,24) D．(8,24)
答案　B
解析　由题意N(0，－1)为椭圆的下焦点，EF是圆N的直径，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－1，在椭圆＋＝1中，因为a＝4，c＝1，所以椭圆上的点P到焦点N的距离的最大值为a＋c＝5，最小值为a－c＝3，所以||2－1的最大值为24，最小值为8.所以·的取值范围是[8,24]．故选B.
2．(2021·安徽桐城市第八中学模拟)已知F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为(　　)
A. B．
C． D．－1
答案　B
解析　由题意得a＝，b＝1，c＝＝1，F1(－1，0)，F2(1,0)，直线AB的方程为y＝x＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3y2－2y－1＝0，解得y1＝－，y2＝1.所以S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|＝×2×＝.故选B.
3．(2021·威远中学校模拟)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为其左、右焦点，A，B两点在椭圆上，且满足＋＝，若直线AB的倾斜角为120°，且四边形AF1BF2的面积为c2，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B．
C． D．－1
答案　D
解析　连接AF2，因为＋＝，所以四边形AF1BF2为平行四边形，所以直线AB经过坐标原点O，因为四边形AF1BF2的面积为c2，且直线AB的倾斜角为120°，所以由四边形的面积公式，可得|F1F2|·|AB|sin120°＝c2，化简可得|AB|＝2c，所以|OF1|＝|OF2|＝|OA|＝c，所以∠F1AF2＝90°，不妨令A在x轴上方，故∠F2OA＝120°，所以|AF1|＝c，|AF2|＝c，由椭圆的定义可得(1＋)c＝2a，所以e＝＝－1.故选D.
4．(2021·陕西咸阳二模)抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线C2：－＝1(a>0，b＞0)的右焦点相同，抛物线C1与双曲线C2的两条渐近线分别交于A，B两点，且直线AB恰好过点F，则双曲线C2的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，双曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，代入抛物线C1的方程，可得A，B，由A，B，F三点共线，可得＝，即b2＝4a2，则双曲线C2的离心率为e＝＝＝＝.故选D.
5．(2021·南京市中华中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线x－y＋＝0与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
答案　D
解析　因为直线x－y＋＝0过点F，所以令y＝0，则x＝－.所以F(－，0)，即c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并化简，得－＝·，所以－＝×1.所以＝，即a2＝2b2.所以c2＝a2－b2＝b2＝3，b＝，a＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选D.
6．(2021·江西景德镇一中模拟)以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点A(1,0)和定直线l：x＝2的距离之比为的点的轨迹方程是＋＝1；②点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A(3,6)，则|PA|＋|PM|的最小值是6；③平面内到两定点距离之比等于常数λ(λ>0)的点的轨迹是圆；④若动点M(x，y)满足＝|2x－y－4|，则动点M的轨迹是双曲线；⑤若过点C(1,1)的直线l交椭圆＋＝1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x＋4y－7＝0.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　对于①，设动点P(x，y)，由题意可得＝，整理，得3x2－4x＋4y2＝0，即所求的轨迹方程为3x2－4x＋4y2＝0，故①错误；对于②，设P到抛物线的准线的距离为d，则d＝|PM|＋，由抛物线的定义，
得d＝|PF|，所以|PM|＝d－＝|PF|－，所以|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，如图所示，当P运动到Q点时，P，A，F三点共线，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－最小，此时|PA|＋|PM|＝|FA|－＝－＝－＝6，故②正确；对于③，当λ＝1时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；对于④，显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故④错误；对于⑤，当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1，AB的中点为(1,0)，不符合题意，设直线l的斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k＝.因为A，B在椭圆＋＝1上，所以两式相减，得＝－，所以k＝＝－.因为C(1,1)是AB的中点，所以＝1，＝1，所以k＝－＝－，所以直线l的方程是3x＋4y－7＝0.故⑤正确．故真命题的个数为2.故选B.
7．(2021·四川成都七中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点．设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当＋取最小值时，椭圆C的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　设P(x，y)，mn＝·＝＝＝－，所以＋＝－＋，令＝t，t>1，构造函数y＝t3－3t2＋4t，则y′＝2t2－6t＋4，当t∈(1,2)时，y′<0，y＝t3－3t2＋4t单调递减，当t∈(2，＋∞)时，y′>0，y＝t3－3t2＋4t单调递增，所以当t＝2时取最小值，此时＝2，e＝.故选C.
8．(2021·安徽淮南模拟)不垂直于坐标轴的直线l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线交于A，B两点，若线段AB的中点为M，AB和OM的斜率满足kAB·kOM＝2，则顶点在坐标原点O，焦点在x轴上，且经过点P(a，)的抛物线方程是(　　)
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．y2＝x D．y2＝x
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得－＝0.所以·＝，即·＝，所以kAB·kOM＝＝2，＝.由题意设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则()2＝2pa，p＝.于是所求抛物线方程是y2＝x.故选C.
二、多项选择题
9．(2022·江苏镇江扬中第二高级中学高三上期末)已知椭圆＋＝1(0A．|AB|的最小值为3
B．当|AF2|＋|BF2|最大时，|AF2|＝|BF2|
C．椭圆的短轴长为2
D．椭圆的离心率为
答案　ABC
解析　由题意可得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|AF2|＋|BF2|的最大值为5，则|AB|的最小值为3，A正确；当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，|AF2|＝|BF2|，B正确；当AB⊥x轴时，A，B，代入椭圆方程可得＋＝1，又c2＝4－b2，所以解得b＝，c＝1，所以椭圆的短轴长为2b＝2，C正确；离心率为＝，D错误．故选ABC.
10．(2021·湖北天门一中、宜城一中、南漳一中高三模拟)已知双曲线C：－＝1(m∈R)的一条渐近线方程为4x－3y＝0，则(　　)
A．(，0)为C的一个焦点
B．双曲线C的离心率为
C．过点(5,0)作直线与C交于A，B两点，则满足|AB|＝15的直线有且只有两条
D．设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB的斜率存在时，其乘积为
答案　BD
解析　因为双曲线C：－＝1(m∈R)的一条渐近线方程为4x－3y＝0，所以＝2，解得m＝9，所以双曲线C：－＝1，所以a＝3，b＝4，c＝＝5，则其焦点为(－5,0)，(5,0)，离心率e＝＝，故A错误，B正确；过点(5,0)作直线与C交于A，B两点，因为(5,0)为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时，|AB|＝＝<15，当直线的斜率为0时，|AB|＝2a＝6<15，所以由双曲线的对称性，得满足|AB|＝15的直线有4条，故C错误；设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，M(x0，y0)，所以kMA＝，kMB＝＝，因为A，M在双曲线上，所以－＝1，－＝1，两式相减得－＝0，所以＝＝＝kMA·kMB，故D正确．故选BD.
11．(2021·江苏南京市第二十九中学模拟)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与C相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点．若|PQ|的最小值为6，则(　　)
A．抛物线C的方程为y2＝6x
B．y1y2＝－36
C．PQ的中点到准线的距离的最小值为3
D．当直线PQ的倾斜角为60°时，F为PQ的一个四等分点
答案　ACD
解析　由题意，要使过焦点的直线与抛物线相交弦最短，则直线垂直于x轴，故抛物线过点，所以p2＝9，又p>0，得p＝3，则y2＝6x，故A正确；由A项知，抛物线的焦点为，则直线方程可设为x＝ky＋，与抛物线方程联立并整理，得y2－6ky－9＝0，则y1y2＝－9，故B错误；由|PQ|的最小值为6，由抛物线定义易知，此时PQ的中点到准线的距离最小，为3，故C正确；当PQ的倾斜角为60°时，则直线PQ为y＝，与抛物线方程联立，得4x2－20x＋9＝0.所以若P，Q，而F，即＝，则F为PQ的一个四等分点，故D正确．故选ACD.
12．(2021·江苏扬州中学模拟)已知双曲线C：－＝1与双曲线Ω：－＝1有相同的渐近线，且过点P(6,4)，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有(　　)
A．若双曲线C上一点M到它的焦点F1的距离等于16，则点M到另一个焦点F2的距离为10
B．若N是双曲线C左支上的点，且|NF1|·|NF2|＝32，则△F1NF2的面积为16
C．过点(3,0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0
D．过点Q(2,2)的直线与双曲线－＝1相交于A，B两点，且Q(2,2)为弦AB的中点，则直线AB的方程为4x－y－6＝0
答案　BD
解析　对于A，设双曲线C：－＝k(k>0)，把点P(6,4)的坐标代入，得k＝，则双曲线C：－＝1，则a＝3，b＝4，c＝5.所以|16－|MF2||＝6，所以|MF2|＝22或10，故A错误；对于B，由题意，得|NF2|－|NF1|＝6，|NF1|·|NF2|＝32，所以|NF2|2＋|NF1|2＝100＝|F1F2|2，所以△F1NF2是直角三角形，所以S△F1NF2＝×32＝16，故B正确；对于C，点(3,0)为双曲线的右顶点，当直线l垂直x轴时，满足题意，此时直线方程为x＝3，当直线有斜率时，此时直线与渐近线平行，则直线方程为y＝±(x－3)，即直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0，所以直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0或x＝3，故C错误；对于D，由题意得双曲线方程为－＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，－＝1，两式相减，得－＝0，又＝2，＝2，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝4.所以直线AB的方程为4x－y－6＝0，故D正确．故选BD.
三、填空题
13．(2021·湖北宜昌模拟)已知直线l1，l2是双曲线C：－y2＝1的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1的距离的取值范围是，则点P到渐近线l2的距离的取值范围是________．
答案　
解析　设点P(x0，y0)，由题可设渐近线l1：x－2y＝0，渐近线l2：x＋2y＝0，由点P到直线l1的距离d1＝，点P到直线l2的距离d2＝，有d1d2＝·＝，又－y＝1，即x－4y＝4，则d1d2＝，则d2＝，由d2与d1成反比，且d1∈，所以d2∈.
14．(2021·永昌县第一高级中学模拟)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________.
答案　2
解析　因为S△ABF2＝4，所以×|F1F2|×|yA－yB|＝4，又|F1F2|＝2，所以|yA－yB|＝4，因为直线过椭圆左焦点且斜率为2，所以|AB|＝|yA－yB|＝×4＝2.
15．设F1，F2为双曲线－＝1的两焦点，P为双曲线上的一点，且∠F1PF2＝120°，则△F1PF2的面积为________．
答案　3
解析　由题意可得双曲线－＝1，a＝5，b＝3，c＝，得F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|2＝136，不妨设P在第一象限，则|PF1|－|PF2|＝10，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°＝(|PF1|－|PF2|)2＋3|PF1|·|PF2|＝100＋3|PF1|·|PF2|＝136，所以|PF1|·|PF2|＝12.所以△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin120°＝×12×＝3.
16．(2021·湖南长沙一中模拟)点M是抛物线C：x2＝2py(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上．在△FPM中，sin∠PFM＝λsin∠PMF，则λ的最大值为________．
答案　
解析　如图，过点P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义可得|PF|＝|PB|，由sin∠PFM＝λsin∠PMF，在△FPM中由正弦定理可知|PM|＝λ|PF|，所以|PM|＝λ|PB|，所以＝，设PM的倾斜角为α，则sinα＝，当λ取得最大值时，
sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y＝kx－，由得x2－2pkx＋p2＝0，所以Δ＝4p2k2－4p2＝0，所以k＝±1，即tanα＝±1，则sinα＝，则λ的最大值为＝.
四、解答题
17．(2021·江苏省涟水中学模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，求△AOB的面积．
解　(1)抛物线y2＝2px的焦点为，
所以直线AB的方程为y＝2，
由
消去y，得4x2－5px＋p2＝0.
所以x1＋x2＝，
由抛物线定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
即＋p＝9，所以p＝4.
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，
故y1＝－2，y2＝4.
所以A(1，－2)，B(4,4)．
则△AOB的面积S＝|OF|·|y1－y2|＝×2×6＝6.
18．(2021·河北保定模拟)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，右焦点F(c,0)到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值．
解　(1)设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ>0)，
由题意知c＝2，所以＋λ＝4，
所以λ＝3.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝k(x－2)，
代入x2－＝1消去y并整理，
得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式，得
|AB|＝·
＝.
设AB的中点为P(x0，y0)，则x0＝
＝－.代入l的方程，得y0＝－.
当k≠0时，AB的垂直平分线方程为
y＝－－.
令y＝0，得xD＝－，
即|FD|＝＝.
所以＝1.
当k＝0时，|AB|＝2，|FD|＝2，则＝1.
所以＝1为定值．
19．(2021·浙江绍兴模拟)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为且经过点，P为椭圆上的一动点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设圆O：x2＋y2＝，过点P作圆O的两条切线l1，l2，两切线的斜率分别为k1，k2.
①求k1k2的值；
②若l1与椭圆C交于P，Q两点，与圆O切于点A，与x轴正半轴交于点B，且满足S△OPA＝S△OQB，求l1的方程．
解　(1)因为e2＝＝＝，
所以a＝2b，
因为点在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1，解得b＝1，a＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①设P(x0，y0)，则切线l：y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.
圆心O(0,0)到切线的距离
d＝＝r＝.
整理，得k2－2x0y0k＋y－＝0.
所以k1k2＝＝＝－.
②因为S△OPA＝S△OQB，所以|PA|＝|BQ|.
所以xA－xP＝xQ－xB.
所以xA＋xB＝xP＋xQ，
设切线l1：y＝k1x＋m(m≠0)，
由
可得(4k＋1)x2＋8k1mx＋4m2－4＝0.
所以xP＋xQ＝，
令y＝0可得xB＝－.
设A(xA，k1xA＋m)，
则kOA＝＝－.
所以xA＝.
所以xP＋xQ＝＝－＋.
整理可得，8k(k＋1)＝(4k＋1)(2k＋1)，
所以2k＝1，解得k1＝±.
因为圆心O(0,0)到l1：y＝k1x＋m的距离d＝＝.
所以|m|＝×＝.
所以m＝±.
因为xB＝－>0，
所以当k1＝时，m＝－；
当k1＝－时，m＝.
所以l1的方程为y＝x－或y＝－x＋.

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