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9．6　双曲线
(教师独具内容)
1．在学习双曲线的定义时，要注意定义中“常数要大于0且小于|F1F2|”这一限制条件，焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标准方程的形式；参数a，b确定了双曲线的形状和开口大小，是双曲线的定形条件．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，双曲线的几何性质与椭圆的几何性质在内容上是平行的，要对比椭圆的几何性质来研究双曲线的几何性质，在学习的同时要注意数形结合思想、方程思想及等价转化思想的运用．
2．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，椭圆是封闭曲线，没有渐近线，而双曲线有两条渐近线，利用渐近线来画双曲线特别方便，且较为精确，作出双曲线的渐近线就基本掌握了双曲线的变化趋势．
3．重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
(教师独具内容)
1．考查双曲线定义的应用，求双曲线的标准方程，求双曲线的离心率(或取值范围)及与双曲线的渐近线有关的问题．
2．考查题型有选择题、填空题、解答题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
续表
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
性质 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
3．几个常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
(2)离心率e＝＝＝.
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率等于.
(4)若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(5)双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
(6)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
(7)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
1．(2021·河北定兴第三中学模拟)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　)
A．1或13 B．1
C．13 D．9
答案　C
解析　根据双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，又|PF1|＝7，所以|PF2|＝1或|PF2|＝13，又c2＝a2＋b2＝25，解得c＝5，即|F1F2|＝2c＝10，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝10，所以|PF2|＝13.故选C.
2．双曲线4x2＋ky2＝4k的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k的值是(　　)
A．16 B．
C．－16 D．－
答案　C
解析　因为方程表示双曲线，所以k<0，且＋＝1，所以双曲线的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝－k，所以2a＝4,2b＝2，又虚轴长是实轴长的2倍，所以2×4＝2，解得k＝－16.故选C.
3．(2021·山西长治模拟)若双曲线－＝1(a>0)的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，则该双曲线的实轴长为(　　)
A. B．
C． D．
答案　B
解析　双曲线的渐近线方程为y＝±x，即2x±ay＝0，因为渐近线与圆相切，且a>0，则＝1，解得a＝，则该双曲线的实轴长为2a＝.故选B.
4．(2021·江西景德镇一中模拟)双曲线x2－＝1的顶点到渐近线的距离为(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　双曲线的顶点坐标为(±1,0)，渐近线方程为y＝±x，顶点(1,0)到渐近线x＋y＝0的距离d＝＝.由双曲线的对称性，知双曲线x2－＝1的顶点到渐近线的距离为.故选A.
5．(2021·浙江金华第一中学模拟)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列说法正确的是(　　)
A．若△F1PF2为直角三角形，则△F1PF2的周长是2＋4
B．若△F1PF2为直角三角形，则△F1PF2的面积是6
C．若△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(2，8)
D．若△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(8，＋∞)
答案　C
解析　因为双曲线x2－＝1，所以a＝1，b＝，c＝2，不妨设点P在第一象限，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，若△F1PF2为直角三角形，当∠F1PF2＝90°时，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16，又|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
即(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，所以|PF1|·|PF2|＝6，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝28，所以|PF1|＋|PF2|＝2，所以△F1PF2的周长是2＋4，△F1PF2的面积是|PF1|·|PF2|＝3；当∠PF2F1＝90°时，设P(2，y0)，代入方程解得y0＝3(负值舍去)，所以P(2,3)，故|PF2|＝3，所以|PF1|＝5，所以△F1PF2的周长是12，△F1PF2的面积是6.综上所述，若△F1PF2为直角三角形，则△F1PF2的周长是2＋4或12，△F1PF2的面积是3或6，故A，B错误；若△F1PF2为锐角三角形，根据上述，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(2，8)，故C正确；若△F1PF2为钝角三角形，根据上述，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是(4,2)∪(8，＋∞)，故D错误．故选C.
1．(2021·北京高考)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
答案　A
解析　∵e＝＝2，∴c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A.
2．(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　由|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cos60°，化简得4c2＝7a2，所以C的离心率e＝＝.故选A.
3．(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B．3
C． D．2
答案　B
解析　双曲线的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，因为|OP|＝2＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝16－2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝3.故选B.
4．(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
答案　B
解析　∵直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，双曲线的渐近线方程是y＝±x，不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立解得故D(a，b)．联立解得故E(a，－b)．∴|ED|＝2b.∴S△ODE＝a×2b＝ab＝8.∵双曲线的焦距为2c＝2≥2＝2＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为8.故选B.
5．(2021·全国乙卷)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．
答案　
解析　由题意可知，双曲线的右焦点坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式得距离d＝＝.
一、基础知识巩固
考点　　双曲线的定义
例1　(2021·江苏苏州中学模拟)双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离为8，则点P到F2的距离为(　　)
A．2或12 B．2或18
C．18 D．2
答案　C
解析　由双曲线定义可知||PF2|－8|＝2a＝10.解得|PF2|＝18或－2(舍去)．所以点P到F2的距离为18.故选C.
例2　(2022·湖北宜昌高三月考)已知双曲线－＝1，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且|AB|＝4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m的值为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．
答案　D
解析　由题意知|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝18.又|AB|＝4，所以|AF1|＋|BF1|＝14.根据双曲线的定义可知2a＝|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，所以4a＝|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝14－4＝10，解得a＝，所以m＝a2＝.故选D.
　1.(2021·四川威远中学模拟)已知双曲线C：－＝1，F1，F2分别是双曲线C的两个焦点．点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．3或11
C．13 D．1或13
答案　D
解析　由双曲线方程可得a＝3,2a＝6.因为P是双曲线上一点，根据双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，所以|PF1|－|PF2|＝6或|PF1|－|PF2|＝－6，且|PF1|＝7，所以|PF2|＝1或13.故选D.
2．(2021·永昌县第一高级中学模拟)P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　D
解析　因为双曲线－＝1，所以a2＝9，b2＝16.则c2＝25.故双曲线的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5,0)，且F1(－5,0)，F2(5,0)也分别是两个圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝1，r2＝2.故|PM|max＝|PF1|＋1，|PN|min＝|PF2|－2，则|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋1)－(|PF2|－2)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2×3＋3＝9.故选D.
　双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时的注意点
①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；
②2a＜|F1F2|；
③焦点所在坐标轴的位置．
考点　　双曲线的标准方程
例3　(2021·天津模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，P为双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
答案　A
解析　由双曲线的定义可得c＝3,2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.
例4　(2021·重庆二模)在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4,0)，分别过点M(－5，0)，N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x>4)
B.－＝1(x<－4)
C.－＝1(x<－4或x>4)
D.－＝1
答案　C
解析　当点P位于y轴右侧时，如图，
设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则|PS|＝|PT|，|MS|＝|MA|，|NA|＝|NT|，所以|PM|－|PN|＝|MA|－|NA|＝9－1＝8，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点)，2a＝8，a＝4，c＝5，则b＝＝3，故点P的轨迹方程为－＝1(x>4)．当点P位于y轴左侧时，如图，设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则|PS|＝|PT|，|MS|＝|MA|，|NA|＝|NT|，
所以|PN|－|PM|＝|MS|－|NT|＝|MA|－|NA|＝9－1＝8，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支(除去与x轴的交点)，a＝4，c＝5，b＝3，故点P的轨迹方程为－＝1(x＜－4)．综上，点P的轨迹方程为－＝1(x＜－4或x＞4)．
　3.(2021·云南丽江第一高级中学模拟)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1
C.－＝1 D．－x2＝1
答案　C
解析　因为椭圆C：＋＝1的焦点为(0,2)，(0，－2)，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝b2＝2.所以双曲线的标准方程为－＝1.故选C.
4．(2021·山西阳泉模拟)已知曲线E：x2＋y2cosα＝1(α∈[0，π])，则下列描述正确的是(　　)
①当<α<π时，曲线E为双曲线，焦点在x轴上；②当α＝时，曲线E为以原点为圆心，半径为1的圆；③当0≤α<时，曲线E围成图形的面积的最小值为π.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
答案　B
解析　对于①，当<α<π时，－1　求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
注：求双曲线标准方程时，若焦点位置不定，要注意分类讨论．也可设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
考点　　双曲线的几何性质
例5　(2021·汕头市达濠华侨中学期末)双曲线C：－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　由双曲线C：－y2＝1可知a＝2，b＝1.所以顶点坐标为(±2,0)，渐近线方程为y＝±，即x±2y＝0.所以顶点到其渐近线的距离为＝.故选C.
例6　(2021·湖北黄石模拟)已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且3|AF|＝|AC|，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　设左焦点为F′，|AF|＝m，连接AF′，BF′，CF′，则|CF|＝2m，|AF′|＝2a＋m，|CF′|＝2a＋2m，|FF′|＝2c，因为BF⊥AC，且AB经过原点O，所以四边形FAF′B为矩形．在Rt△AF′C中，|AF′|2＋|AC|2＝|CF′|2，即(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，化简，得m＝.所以在Rt△AF′F中，|AF′|2＋|AF|2＝|FF′|2，即2＋2＝(2c)2，化简，得＝，即e＝.故选C.
　5.(2021·安徽合肥一中期末)直线x＋y＝0是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为(　　)
A．4 B．8
C．2 D．4
答案　A
解析　双曲线的顶点到渐近线x＋y＝0的距离为d＝＝＝，解得a＝2，又渐近线方程为x＋y＝0，所以＝，解得b＝2，所以2b＝4.故选A.
6．(多选)(2021·辽宁沈阳高三年级质量监测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－1,0)，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则下列结论正确的有(　　)
A．双曲线C的方程为4x2－＝1
B．双曲线C的两条渐近线所成的锐角为60°
C．F到双曲线C的渐近线的距离为
D．双曲线C的离心率为2
答案　ABD
解析　由题意可得c＝1，又因为过F与x轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，所以A，B，所以△AOB的面积为×1×＝，即＝，又a2＋b2＝c2＝1，解得a＝，b2＝，所以双曲线C的方程为4x2－＝1，故A正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以两渐近线所成的锐角为60°，故B正确；点F到双曲线C的渐近线的距离为b＝，故C错误；双曲线C的离心率为e＝＝＝2，故D正确．故选ABD.
　求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：
(1)根据题设条件，提取a，b或a，c或b，c的关系；
(2)列式，结合双曲线的几何性质及a2＋b2＝c2列方程或不等式；
(3)求解方程或不等式，求出a，b，c或，的值或范围得结论．
考点　　与双曲线有关的最值、范围问题
例7　(2021·四川绵阳南山中学模拟)已知双曲线x2－＝1的右焦点为F，M(4,3)，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且点P在以MN为直径的圆内，直线MP与以MN为直径的圆交于点M，Q，则|PM|·|PQ|的最大值为(　　)
A．48 B．49
C．50 D．42
答案　A
解析　由双曲线方程，知右焦点F(2,0)，M(4，3)在双曲线上，因为直线MF的方程为y＝(x－2)，令x＝0，解得y＝－3，所以N(0，－3)．所以以MN为直径的圆的圆心为F，且|MF|＝7.
连接NQ，NP，PF，因为Q在以MN为直径的圆上，所以MQ⊥NQ，|PQ|＝|PN|cos(π－∠MPN)，|PM|·|PQ|＝|PM|·|PN|cos(π－∠MPN)＝－·＝－(＋)·(＋)＝2－2＝49－2.因为P为双曲线上一点，所以|PF|min＝1.所以|PM|·|PQ|≤49－1＝48.故选A.
例8　(2021·甘肃兰州一中期末)已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P，若|FQ|＝t|QP|，则实数t的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　由题意，双曲线C：－y2＝1的左焦点为F(－2,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可得＝(x2＋2，y2)，＝(x1－x2，y1－y2)，因为|FQ|＝t|QP|，即＝t，可得(x2＋2，y2)＝t(x1－x2，y1－y2)，所以x2＝，y2＝，又由点P，Q都在双曲线上，可得整理，得x1＝，又由x1≥，可得≥，因为t>0，解得0　7.(2021·南京师范大学附属中学模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A(5,0)的最小距离为(　　)
A．1 B．
C．2 D．
答案　B
解析　由已知可得＝，c－a＝－3，解得c＝，a＝3，b2＝c2－a2＝1.所以双曲线C的方程为－y2＝1.设P(x，y)是双曲线－y2＝1上的点，则y2＝－1，且x≤－3或x≥3.则|AP|＝＝＝＝，所以当x＝时，|AP|取得最小值，|AP|min＝＝.故选B.
8．(2021·山东济南模拟)若F为双曲线C：－＝1的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则－的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　由双曲线C：－＝1，得a＝2，b＝，c＝3，则左焦点F(－3，0)，设右焦点F′(3,0)．因为过原点的直线l与双曲线C的两个交点A，B关于原点对称，所以|FA|＝|F′B|.又根据双曲线的定义，得|FB|－|F′B|＝2a，所以|FA|＝|F′B|＝|FB|－2a＝|FB|－4，设|FB|＝d，所以－＝－＝－.设f(d)＝－，d≥5，则f′(d)＝－＝＝.令f′(d)＝0，解得d＝(舍去)或d＝8，所以f(d)在[5,8)上单调递减，在(8，＋∞)上单调递增，且当d→＋∞时，f(d)→0，所以f(d)max＝f(5)＝－＝，f(d)min＝f(8)＝－＝－，所以f(d)的取值范围为，则－的取值范围是.故选D.
　求解双曲线中的最值问题的关键是能够将所求式子进行转化，可采用几何法转化为关于|PF|的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于P点横(纵)坐标的函数的最值的求解．
二、核心素养提升
例1　(2021·长丰北城衡安学校模拟)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为(　　)
A．2π B．3π
C．2π D．4π
答案　C
解析　该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M，N，m＞0，代入双曲线方程可得－＝1，－＝1，即－＝，－＝1，作差可得＝.解得a2＝3，a＝，所以杯身最细处的周长为2π.故选C.
例2　已知一簇双曲线En：x2－y2＝2(n∈N*，且n≤2020)，设双曲线En的左、右焦点分别为Fn1，Fn2，Pn是双曲线En右支上一动点，△PnFn1Fn2的内切圆Gn与x轴切于点An(an,0)，则a1＋a2＋…＋a2020＝________.
答案　
解析　如图所示，设PnFn1，PnFn2与圆Gn分别切于点Bn，Cn.根据内切圆的性质可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又点Pn是双曲线En右支上一动点，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.设Fn1(－cn,0)，Fn2(cn,0)，∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝.
(1)关注双曲线的定义的使用及数形结合思想的应用．
(2)读懂题意，提炼有用信息，建立坐标系，设出点的坐标，结合双曲线的方程求解．
课时作业
一、单项选择题
1．(2021·玉林市育才中学模拟)“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c(a，b，c∈R)表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若ab<0，c＝0，则ax2＋by2＝0不是双曲线，故不是充分条件；若ax2＋by2＝c(a，b，c∈R)为双曲线，则a，b必须异号，所以ab<0，故是必要条件．所以“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c(a，b，c∈R)表示双曲线”的必要不充分条件．故选C.
2．(2021·深圳市宝安中学模拟)若方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为(　　)
A．(1,2)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
答案　D
解析　因为方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得m>2.所以实数m的取值范围为(2，＋∞)．故选D.
3．(2021·河南新乡模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且B为AF1的中点，若△ABF2的周长为6a，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　B
解析　如图所示，由对称性可知|BF2|＝|BF1|，因为△ABF2的周长为6a，所以|AF1|＋|AF2|＝6a，又|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a.
因为B为AF1的中点，所以|AB|＝|BF1|＝2a，则△ABF2为等边三角形，所以∠ABF2＝，∠F1BF2＝，∠F1BO＝.又因为|OF1|＝c，所以在Rt△F1BO中，sin∠F1BO＝＝＝.所以＝，＝，即双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选B.
4．(2021·湖南岳阳模拟)若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．m－s B．(m－s)
C．m2－s2 D．－
答案　A
解析　不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意，得解得则|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－s.故选A.
5．已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，A(0,3)，当△MAF的周长最小时，△MAF的面积为(　　)
A. B．9
C． D．4
答案　A
解析　设C的右焦点为F′，由题意可得a＝2，c＝3，因为|MF|－|MF′|＝2a＝4，所以|MF|＝|MF′|＋4，|AF|＝3.△MAF的周长为|MA|＋|MF|＋|AF|＝|MA|＋|MF′|＋7≥|AF′|＋7＝10，即当点M在线段AF′上时，△MAF的周长最小，此时直线AF′的方程为y＝－x＋3，联立方程组解得y＝或y＝－1(舍去)，即此时M的纵坐标为，故△MAF的面积为|FF′|·|OA|－·|FF′|·|yM|＝×6×＝.故选A.
6．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案　A
解析　因为a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，所以椭圆C1的离心率为.因为双曲线C2的方程为－＝1，所以双曲线C2的离心率为.因为C1与C2的离心率之积为，所以＝，解得2＝，所以＝.所以C2的渐近线方程为x±y＝0.故选A.
7．(2021·黑龙江铁人中学模拟)已知双曲线－＝1(b>0)的一条渐近线方程为x－y＝0，右焦点为F，点M在双曲线左支上运动，点N在圆x2＋(y＋3)2＝1上运动，则|MN|＋|MF|的最小值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　C
解析　由双曲线方程－＝1(b>0)，得a＝2，所以渐近线方程为y＝±x，比较方程x－y＝0，得b＝2，所以双曲线方程为－＝1，点F(4,0)．记双曲线的左焦点为F′(－4,0)，且点M在双曲线左支上，所以|MF|＝4＋|MF′|.所以|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MF′|＋4.由两点之间线段最短，得|MN|＋|MF′|＋4最小为|F′N|＋4.因为点N在圆x2＋(y＋3)2＝1上运动，所以|F′N|最小为点F′到圆心(0，－3)的距离减去半径1.所以|F′N|min＝5－1＝4.所以|MN|＋|MF|的最小值为8.故选C.
8．(2021·湖南第三次模拟)P为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点，若|OP|＝b，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则C的离心率为(　　)
A. B．
C．2 D．
答案　B
解析　由sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2及正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|.因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a.因为|OF2|＝c，|OP|＝b，所以∠OPF2＝，所以cos∠OF2P＝.在△F1F2P中，cos∠F1F2P＝＝cos∠OF2P＝，化简得c＝a，所以C的离心率e＝＝.故选B.
二、多项选择题
9．(2021·河北张家口第三次模拟)已知方程＋＝1表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则(　　)
A．－＜m＜
B．点(2,0)是该双曲线的一个焦点
C．1＜e≤
D．该双曲线的渐近线方程可能为x±2y＝0
答案　AC
解析　因为方程＋＝1表示的曲线是双曲线，所以(m2－2)(m2＋2)＜0，解得－＜m＜，故A正确；将＋＝1化为－＝1，得焦点在y轴上，故B错误；因为2≤m2＋2＜4，所以e2＝∈(1,2]，故C正确；因为双曲线的渐近线斜率的平方k2＝≥1，故D错误．故选AC.
10．(2021·广东六校联考)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
答案　ACD
解析　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以由解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选ACD.
11．(2021·山东威海模拟)已知F1，F2为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P，使得PF1⊥PF2，直线PF2与y轴交于点Q，连接QF1，△PQF1的内切圆圆心为I，则下列结论正确的有(　　)
A．F1，F2，P，I四点共圆
B．△PQF1的内切圆半径为1
C．I为线段OQ的三等分点
D．PF1与其中一条渐近线垂直
答案　ABD
解析　由勾股定理及双曲线的定义可得|PF1|＝4，|PF2|＝2.对于A，易知I在y轴上，连接IF1，IF2，由对称性可得∠QF1I＝∠PF1I＝∠IF2Q，则∠F1IF2＝90°，可知F1，F2，P，I四点共于以F1F2为直径的圆上，A正确；对于B，
r＝＝＝＝a＝1，B正确；对于C，Rt△F1PF2∽Rt△QOF2 ＝ |OQ|＝2＝2|OI|，故I为OQ的中点，C错误；直线PF1的斜率为k＝tan(π－∠PF1F2)＝－tan∠PF1F2＝－＝－，双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故PF1与其中一条渐近线垂直，D正确．故选ABD.
12．(2021·辽宁沈阳郊联体第三次模拟)已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为l1，l2，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交l1于O，A两点，点B在l2上，且＝2，则有(　　)
A．双曲线C的实轴长为1
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的方程为x2－＝1
D．sin∠OBA＝
答案　BCD
解析　过(1,0)，(0，b)的直线斜率为－b，则－b＝－，a＝1，∴2a＝2，故A错误；不妨记l1：y＝x，l2：y＝－x.依题知OA⊥AF，且|FA|＝b，|OA|＝a＝1，则A，即A，根据＝2，得B，代入y＝－x，得c＝，∴＝，故B正确；b2＝c2－a2＝2，∴双曲线方程为x2－＝1，故C正确；渐近线方程为y＝±x，设∠FOA＝θ，tanθ＝，sin∠OBA＝cos∠AOB＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝，故D正确．故选BCD.
三、填空题
13．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案　
解析　双曲线C：x2－y2＝2，即－＝1，其实半轴长a＝，半焦距c＝＝2，由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，而|PF1|＝2|PF2|，则|PF1|＝4，|PF2|＝2，而|F1F2|＝4，则cos∠F1PF2＝
＝＝.
14．(2021·河北唐山模拟)若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交右支于A，B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．
答案　18
解析　由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|，|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|.所以|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13.所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18.
15．(2021·贵州贵阳模拟)F1，F2是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则·＝________.
答案　6－2
解析　如图所示，在双曲线C中，a＝1，b＝，c＝，则F1(－，0)，F2(，0)，因为l⊥F2B，所以△F1BF2为直角三角形，所以|BF1|2＋|BF2|2＝(2)2＝12，又因为|BF1|－|BF2|＝2，可得(|BF2|＋2)2＋|BF2|2＝12，整理可得|BF2|2＋2|BF2|－4＝0，因为|BF2|>0，解得|BF2|＝－1，所以·＝(＋)·＝2＝(－1)2＝6－2.
16．(2021·江苏扬州模拟)F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于M，N.当|F1M|＋|F1N|取最小值时，△F1MN的周长为________．
答案　6
解析　由条件可知，a＝，|F1M|＝2a＋|F2M|，|F1N|＝2a＋|F2N|，所以|F1M|＋|F1N|＝4a＋|F2M|＋|F2N|＝4＋|MN|，当|MN|最小时，|F1M|＋|F1N|取得最小值，由条件可知当直线l⊥x轴时，|MN|最小，此时|MN|＝＝＝，所以|F1M|＋|F1N|的最小值是5，此时△F1MN的周长为|F1M|＋|F1N|＋|MN|＝6.
四、解答题
17．(2021·大埔县田家炳实验中学模拟)求下列双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
解　(1)由题意设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
因为双曲线过点(－3,2)，
所以－＝λ，解得λ＝，
所以－＝，即－＝1.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由题意设所求双曲线方程为－＝1(－4因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
整理，得k2＋10k－56＝0，
即(k＋14)(k－4)＝0，解得k＝4或k＝－14(舍去)，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
18．(2021·定远县育才学校模拟)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点．
(1)若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2的面积；
(2)若该双曲线与椭圆＋y2＝1有共同的焦点且过点Q(2,1)，求△F1PF2内切圆圆心的轨迹方程．
解　(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义可得m－n＝2a，
由余弦定理，得4c2＝m2＋n2－2mncosθ＝(m－n)2＋2mn－2mncosθ＝4a2＋2mn(1－cosθ)，
所以mn＝，
故△F1PF2的面积为
S＝mnsinθ＝.
(2)如图所示，F1(－c,0)，F2(c,0)，
设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，PF1，PF2与内切圆的切点分别为A，B，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
即|PA|＋|AF1|－(|PB|＋|BF2|)＝2a，
又|PA|＝|PB|，|AF1|＝|HF1|，|BF2|＝|HF2|，
所以|AF1|－|BF2|＝2a，
即|HF1|－|HF2|＝2a.
设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，
所以(x＋c)－(c－x)＝2a，即x＝a.
因为双曲线与椭圆＋y2＝1有共同的焦点且过点Q(2,1)，
所以a2＋b2＝3，－＝1，
所以a＝，b＝1，
故△F1PF2内切圆圆心的轨迹方程为x＝(y≠0)．
19．(2021·新高考八省联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解　(1)设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，
当BF⊥AF时，B，
因为|AF|＝|BF|，
所以＝a＋c，
故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，又e>0，故e＝2.
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，所以c＝2a，b＝a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈.
当∠BFA＝时，由题意易得∠BAF＝，此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠时，
因为tan∠BFA＝－＝－，
tan∠BAF＝，
所以tan2∠BAF＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝－＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈，
故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.

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