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数列求和(2)错位相减
例题1．（2022·江西·二模（理））已知正项数列的前n项和为，，且.
(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)令m=n=1，得，又，
解得：或（负值舍去），
令m=1，得，所以，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以.(2)由（1）可得，，
所以，
所以，
两式相减得，
，所以.
例题2．（2022·广东·华南师大附中三模）已知等差数列中，，，且.
(1)求数列的通项公式及前2n项和；
(2)若，记数列的前n项和为，求.
【答案】(1)，数列的前2n项和为(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为d，则，
所以，从而．
.
(2)∵，
∴，
，
相减得，，
，即.
例题3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析
【解析】(1)当时，；当时，，
所以，整理得．
所以，又，故．
所以，即为等比数列．所以
(2)由题意得，所以与同号，
又因为，所以，即，即．
所以数列为递增数列，所以，
即，累加得．
令，，所以，
两式相减得：，
所以，所以，所以．
例题4．（2022·山东烟台·三模）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)当时，，
所以，，
整理得：，即.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，即.
(2)由（1）知，，
所以，①
所以，②
①-②得，，
所以，，
所以，，
所以，即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以.
练习
1．（2022·河南许昌·三模）已知等差数列的前n项和为，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，，解得，所以；又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即．(2)因为，
所以，①
②.
①－②得，
，.
2．（2022·湖南·模拟预测）设数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)，①
当时，，②
①-②得，∴，∴，
∵，∴，∴也满足上式，
∴为等比数列且首项为2，公比为3，∴.
即的通项公式为.
(2)由（1）知，所以，
令，①
得，②
①-②得，
所以.
3．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等差数列的公差为，由题意可知.
即，又，得，
因为，所以，.
故通项公式.
(2)，
，
，
，
所以.
4．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)由题：，
∵，即
得：，即当时，，
当时，，，两式相减整理得，
即数列是以首项，公比的等比数列
∴
(2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
，
两式相减得：
得：
5．（2022·河北邯郸·二模）已知等比数列{}的公比，且，．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为，求数列{}的前n项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由，或（舍去），
所以；
(2)由（1）可知，所以，
所以，设数列{}的前n项和为，
，
，
，得，
即.
6．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知数列，的前n项和分别为，，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：当时，．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)因为，所以，则，
当时，，
所以，化简得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，因此
(2)，，
则，
所以，
两式相减得，
即，
故.
所以当时，，
所以．
7．（2022·江西·二模）已知正项数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题，令，得，又，
解得或（舍去），，
令，得，所以，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以.
(2)由（1）可得，，
所以，
所以，
两式相减得，
即，
所以，
所以.
8．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．
(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，(2)
【解析】
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意得：，解得：，
所以，
由得：，所以，
所以
(2)，
则①，
②，
两式相减得：
，
所以
9．（2022·全国·模拟预测）若数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为数列满足，，，所以.
所以数列为等比数列，设其公比为q（）.
所以，解得：.
所以.即的通项公式为.
(2)由（1）可知：，所以，
所以 ①
得： ②
①-②得：
所以
10．（2022·福建·三明一中模拟预测）设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因为．
所以，解得．
当时，，
所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
(2)由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．
11．（2022·全国·模拟预测（理））已知等比数列满足，，其前n项和为．数列满足．
(1)求．(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)设等比数列首项为，公比为q，
则，解之得，
则，，，
则
(2)由，可得
则数列的前n项和
则
则
12．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：等差数列{}中，设公差为d，
则
数列{}中的前n项和为，且①
当时，
当时，②
②－①得：
故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
(2)解：数列{}中，.
则
所以
故
所以
∵对恒成立．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为．
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