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天津市河西区2022届高三下学期数学二模试卷
一、单选题
1．（2022高三上·石景山期末）设集合，，则（　　）
A．{2} B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题设有，
故答案为：B .
【分析】由交集的定义，即可得出答案。
2．（2021高一上·邯郸期中）已知 且 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件；不等关系与不等式
【解析】【解答】因为 ，由 可得 即
所以由 可得 ，充分性成立，
若 ， ，可得 ，即 ，所以必要性成立，
所以 且 ，则“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，可以证明充分性和必要性都成立。
3．（2022·河西模拟）函数在上的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象
【解析】【解答】由题知的定义域为R，，所以是偶函数，排除A；
，排除B，D.
故答案为：C.
【分析】 根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除A，再由对数函数的单调性验证即可排除选项B、D，由此得到答案。
4．（2022·眉山模拟）某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（　　）
A．32 B．45 C．64 D．90
【答案】D
【知识点】频率分布表；频率分布直方图
【解析】【解答】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，
由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.
故答案为：D.
【分析】根据题意由频率分布直方图中的数据，结合已知条件计算出结果即可。
5．（2022·河西模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，
所以.
因为，即.
因为，.所以.
故答案为：B
【分析】由对数的运算性质整理化简，再由对数函数的单调性即可比较出大小，从而得出答案。
6．（2022·河西模拟）对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为．则上述结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：
.
，①正确；
时，②错误；
令，解得，因此减区间为，③正确；
令，解得，此时，故对称中心为，故④错误.
所以，上述结论正确的个数是2个.
故答案为：B.
【分析】首先由二倍角以及同角三角函数的基本关系式，结合两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的图象和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2022·河西模拟）如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（　　）
A．4π B．8π C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，作出轴截面，则根据题意，为正三角形，且面积为，
所以，设正三角形的边长为，则，
所以，，解得，
因为圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，
所以，，即圆柱的底面半径为2，高为，
所以，圆柱的体积为
故答案为：D
【分析】根据题意首先由截面三角形的几何性质结合已知条件计算出a的取值，由此计算出高的取值并代入到圆柱的体积公式由此计算出结果。
8．（2021高三上·和平期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，抛物线准线，
由抛物线定义知，解得，则准线，
双曲线C的两条渐近线为，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为，原点为O，
则面积，
双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有，解得．
故答案为：C
【分析】 由抛物线是点的横坐标及抛物线的性质求出参数p的值，进而求出抛物线的准线l的方程，再由双曲线的方程求出渐近线的方程，与准线l联立求出交点的纵坐标，进而求出三条直线围成的面积，由题意可得a， b的关系，求出双曲线的离心率.
9．（2022·河西模拟）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在，上的图象：
由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．
故答案为：B．
【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数g(x)，再结合余弦函数和一次函数的图象和性质即可作出函数f(x)的图象，利用数形结合法即可得出答案。
二、填空题
10．（2022·河西模拟）是虚数单位，复数　 　．
【答案】i
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：i
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
11．（2022·河西模拟）若，则　 　．
【答案】0
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，令得，
令得，
另一方面，，即，
所以.
故答案为：0
【分析】首先由已知条件结合特殊值代入法计算出各个项系数的取值，结合已知条件整理化简即可得出答案。
12．（2022·河西模拟）设与相交于两点，则　 　．
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用
【解析】【解答】将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据题意把两个圆的方程相减由此得出直线的方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理计算出弦长即可。
13．（2022·河西模拟）若函数在处取得极值，则　 　．
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，
因为函数在处取得极值，
所以，，解得，
此时，，
故当时，，单调递减；
当和时，，单调递增；
所以，函数在处取得极小值，满足题意，
所以，
所以
故答案为：1
【分析】首先对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合函数极值的定义即可得出a的取值，然后把x的取值代入计算出结果即可。
14．（2022·河西模拟）已知一箱产品中含有2件次品和3件正品，现需要通过检测将其区分．每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则第一次检测出的是次品且第二次检测出正品的概率是　 　；已知每检测一件产品需花费100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），则　 　．
【答案】；350
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则；
由题意可知，随机变量的可能取值为、、．
则，，
．
故的分布列为
200 300 400
故
故答案为：；350.
【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
15．（2022·滨海模拟）如图直角梯形中，，，，在等腰直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量的模为　 　；若，分别为线段，上的动点，且，则的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的模；平面向量数量积的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】根据题意，如图，建立平面直角坐标系，
因为，
所以，
所以，，
所以，向量在向量上的投影向量为，
故其模为.
因为，分别为线段，上的动点，
所以，设，，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立。
故答案为：；。
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求投影向量的方法和向量求模公式，进而得出向量在向量上的投影向量的模； 利用，分别为线段，上的动点，再结合向量的坐标表示和向量共线的坐标表示，设出，，，再利用三角形法则和向量的坐标运算以及数量积的坐标表示，进而得出的值，再利用三角形法则和向量的坐标运算以及均值不等式求最值的方法，进而得出 的最小值。
三、解答题
16．（2019高一下·南海月考）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（I）求 的值；
（II）求 的值.
【答案】（Ⅰ）解：由 ，及 ，得 .
由 ，及余弦定理，得 .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入 ，得 .
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以 .于是 ，
，故
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）根据直线定理，确定a和b的关系结合余弦定理即可求出cosA；
（2）根据直正弦定理，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，即可求出相应的值.
17．（2022·滨海模拟）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线BE与直线DF所成角的余弦值；
（3）求点D到直线BF的距离．
【答案】（1）证明：∵AE∥CF，AE 平面BFC，CF 平面BFC，
∴AE∥平面BCF，
∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，
又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE，
∵BF 平面BFC，∴BF∥平面ADE
（2）解：以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1），
则=（-2，0，2），=（2，-1，1），
∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为
（3）解：根据（2）可知=（0，2，1），=（2，-1，1），
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面内点到直线的距离公式；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1） 利用AE∥CF结合线线平行证出线面平行，所以AE∥平面BCF，再利用AD∥BC结合线线平行证出线面平行，可得AD∥平面BFC，再结合线面平行证出面面平行，所以平面BCF∥平面ADE，再利用线面平行的性质定理证出线面平行，从而证出直线BF∥平面ADE。
（2） 以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式得出直线BE与直线DF所成角的余弦值。
（3） 根据（2）结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，得出 的值， 从而得出点D到直线BF的距离。
18．（2022·河西模拟）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且与轴垂直．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为A，为坐标原点，过作斜率大于0直线交椭圆于、两点，直线与坐标轴不重合，若与的面积比为，求直线的方程．
【答案】（1）解：由题意得，，，
则，即，
∴，
故的方程为
（2）解：设直线的方程为，，，不妨设M在第一象限．
与椭圆方程联立，，
消去，得，
，，
∵，，与的面积比为，
∴，整理得，
∴，，
即，解得，
∵，∴，
直线的方程为，即
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件即可得出c的取值，再由椭圆的定义以及两点间的距离公式计算出a的取值，利用椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，从而得出椭圆的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标以及由斜截式设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后代入到弦长公式和三角形的面积公式结合题意，计算出m的取值，从而得出直线的方程。
19．（2022·河西模拟）已知数列的首项，且满足．
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值．
【答案】（1）证明：因为，
所以，等式两边同除以得，
又因为，
所以，数列是等差数列，公差为1，首项为3.
所以，，即.
（2）解：设，
则，
所以，两式作差得：，
整理得：，即.
所以，
（3）解：由（1）知
，
所以，，
所以，当为奇数时，，随着的增大而增大，故当时，有最小值；
当为偶数时，，随着的增大而减小，故当时，有最大值；
综上所述，有最小值，最大值
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，由此即可得出数列为等差数列，解已知条件计算出首项和公差，由此得出数列的通项公式。
(2)利用错位相减法整理化简即可得出答案。
(3)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得出数列前n项和，再对n分情况讨论由二次函数的性质即可求出函数的最值。
20．（2022·河西模拟）已知函数，，，．
（1）若直线与的图象相切，求实数的值；
（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数．
（3）设，比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：设直线与相切与点，，
则有
解得，
（2）解：当， 时，曲线与曲线的公共点个数即方程
根的个数．
由，
令，
则当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增．
故（2）是的极小值同时也为最小值．
所以对曲线与曲线公共点的个数，
讨论如下：
当时，有0个公共点；
当，有1个公共点；
当有2个公共点．
（3）解：设
令，．
则的导函数
，
所以在上单调递增，且．
因此，，故在上单调递增，
而，所以在上，．
因为当时，且，
故，
所以当时，
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的综合
【解析】【分析】(1)根据题意设出直线的方程以及切点的坐标，结合题意对函数求导求出直线的斜率，由此计算出k的取值。
(2)由方程根与图象交点的关系，把问题转化为方程根的个数，构造函数g(x)然后对其求导结合导函数的性质即可得出函数h(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最小值，结合题意由公共点的个数即可得出m的取值范围。
(3)由作差法整理化简代数式，然后构造函数g(x)对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，然后由a与b的大小关系即可得出答案。
1 / 1天津市河西区2022届高三下学期数学二模试卷
一、单选题
1．（2022高三上·石景山期末）设集合，，则（　　）
A．{2} B． C． D．
2．（2021高一上·邯郸期中）已知 且 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2022·河西模拟）函数在上的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·眉山模拟）某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（　　）
A．32 B．45 C．64 D．90
5．（2022·河西模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·河西模拟）对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为．则上述结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022·河西模拟）如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（　　）
A．4π B．8π C． D．
8．（2021高三上·和平期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（　　）
A．3 B． C． D．
9．（2022·河西模拟）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
10．（2022·河西模拟）是虚数单位，复数　 　．
11．（2022·河西模拟）若，则　 　．
12．（2022·河西模拟）设与相交于两点，则　 　．
13．（2022·河西模拟）若函数在处取得极值，则　 　．
14．（2022·河西模拟）已知一箱产品中含有2件次品和3件正品，现需要通过检测将其区分．每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则第一次检测出的是次品且第二次检测出正品的概率是　 　；已知每检测一件产品需花费100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），则　 　．
15．（2022·滨海模拟）如图直角梯形中，，，，在等腰直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量的模为　 　；若，分别为线段，上的动点，且，则的最小值为　 　．
三、解答题
16．（2019高一下·南海月考）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（I）求 的值；
（II）求 的值.
17．（2022·滨海模拟）如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线BE与直线DF所成角的余弦值；
（3）求点D到直线BF的距离．
18．（2022·河西模拟）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且与轴垂直．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为A，为坐标原点，过作斜率大于0直线交椭圆于、两点，直线与坐标轴不重合，若与的面积比为，求直线的方程．
19．（2022·河西模拟）已知数列的首项，且满足．
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值．
20．（2022·河西模拟）已知函数，，，．
（1）若直线与的图象相切，求实数的值；
（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数．
（3）设，比较与的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题设有，
故答案为：B .
【分析】由交集的定义，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】充要条件；不等关系与不等式
【解析】【解答】因为 ，由 可得 即
所以由 可得 ，充分性成立，
若 ， ，可得 ，即 ，所以必要性成立，
所以 且 ，则“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，可以证明充分性和必要性都成立。
3．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象
【解析】【解答】由题知的定义域为R，，所以是偶函数，排除A；
，排除B，D.
故答案为：C.
【分析】 根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除A，再由对数函数的单调性验证即可排除选项B、D，由此得到答案。
4．【答案】D
【知识点】频率分布表；频率分布直方图
【解析】【解答】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，
由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.
故答案为：D.
【分析】根据题意由频率分布直方图中的数据，结合已知条件计算出结果即可。
5．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，，
所以.
因为，即.
因为，.所以.
故答案为：B
【分析】由对数的运算性质整理化简，再由对数函数的单调性即可比较出大小，从而得出答案。
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：
.
，①正确；
时，②错误；
令，解得，因此减区间为，③正确；
令，解得，此时，故对称中心为，故④错误.
所以，上述结论正确的个数是2个.
故答案为：B.
【分析】首先由二倍角以及同角三角函数的基本关系式，结合两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的图象和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，作出轴截面，则根据题意，为正三角形，且面积为，
所以，设正三角形的边长为，则，
所以，，解得，
因为圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，
所以，，即圆柱的底面半径为2，高为，
所以，圆柱的体积为
故答案为：D
【分析】根据题意首先由截面三角形的几何性质结合已知条件计算出a的取值，由此计算出高的取值并代入到圆柱的体积公式由此计算出结果。
8．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，抛物线准线，
由抛物线定义知，解得，则准线，
双曲线C的两条渐近线为，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为，原点为O，
则面积，
双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有，解得．
故答案为：C
【分析】 由抛物线是点的横坐标及抛物线的性质求出参数p的值，进而求出抛物线的准线l的方程，再由双曲线的方程求出渐近线的方程，与准线l联立求出交点的纵坐标，进而求出三条直线围成的面积，由题意可得a， b的关系，求出双曲线的离心率.
9．【答案】B
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在，上的图象：
由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．
故答案为：B．
【分析】根据题意结合绝对值的几何意义整理化简函数g(x)，再结合余弦函数和一次函数的图象和性质即可作出函数f(x)的图象，利用数形结合法即可得出答案。
10．【答案】i
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：i
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
11．【答案】0
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，令得，
令得，
另一方面，，即，
所以.
故答案为：0
【分析】首先由已知条件结合特殊值代入法计算出各个项系数的取值，结合已知条件整理化简即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用
【解析】【解答】将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据题意把两个圆的方程相减由此得出直线的方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理计算出弦长即可。
13．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，
因为函数在处取得极值，
所以，，解得，
此时，，
故当时，，单调递减；
当和时，，单调递增；
所以，函数在处取得极小值，满足题意，
所以，
所以
故答案为：1
【分析】首先对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合函数极值的定义即可得出a的取值，然后把x的取值代入计算出结果即可。
14．【答案】；350
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则；
由题意可知，随机变量的可能取值为、、．
则，，
．
故的分布列为
200 300 400
故
故答案为：；350.
【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
15．【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的模；平面向量数量积的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】根据题意，如图，建立平面直角坐标系，
因为，
所以，
所以，，
所以，向量在向量上的投影向量为，
故其模为.
因为，分别为线段，上的动点，
所以，设，，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立。
故答案为：；。
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求投影向量的方法和向量求模公式，进而得出向量在向量上的投影向量的模； 利用，分别为线段，上的动点，再结合向量的坐标表示和向量共线的坐标表示，设出，，，再利用三角形法则和向量的坐标运算以及数量积的坐标表示，进而得出的值，再利用三角形法则和向量的坐标运算以及均值不等式求最值的方法，进而得出 的最小值。
16．【答案】（Ⅰ）解：由 ，及 ，得 .
由 ，及余弦定理，得 .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入 ，得 .
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以 .于是 ，
，故
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）根据直线定理，确定a和b的关系结合余弦定理即可求出cosA；
（2）根据直正弦定理，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公式，即可求出相应的值.
17．【答案】（1）证明：∵AE∥CF，AE 平面BFC，CF 平面BFC，
∴AE∥平面BCF，
∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，
又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE，
∵BF 平面BFC，∴BF∥平面ADE
（2）解：以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1），
则=（-2，0，2），=（2，-1，1），
∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为
（3）解：根据（2）可知=（0，2，1），=（2，-1，1），
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面内点到直线的距离公式；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1） 利用AE∥CF结合线线平行证出线面平行，所以AE∥平面BCF，再利用AD∥BC结合线线平行证出线面平行，可得AD∥平面BFC，再结合线面平行证出面面平行，所以平面BCF∥平面ADE，再利用线面平行的性质定理证出线面平行，从而证出直线BF∥平面ADE。
（2） 以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式得出直线BE与直线DF所成角的余弦值。
（3） 根据（2）结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，得出 的值， 从而得出点D到直线BF的距离。
18．【答案】（1）解：由题意得，，，
则，即，
∴，
故的方程为
（2）解：设直线的方程为，，，不妨设M在第一象限．
与椭圆方程联立，，
消去，得，
，，
∵，，与的面积比为，
∴，整理得，
∴，，
即，解得，
∵，∴，
直线的方程为，即
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件即可得出c的取值，再由椭圆的定义以及两点间的距离公式计算出a的取值，利用椭圆里a、b、c的关系计算出b的取值，从而得出椭圆的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标以及由斜截式设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后代入到弦长公式和三角形的面积公式结合题意，计算出m的取值，从而得出直线的方程。
19．【答案】（1）证明：因为，
所以，等式两边同除以得，
又因为，
所以，数列是等差数列，公差为1，首项为3.
所以，，即.
（2）解：设，
则，
所以，两式作差得：，
整理得：，即.
所以，
（3）解：由（1）知
，
所以，，
所以，当为奇数时，，随着的增大而增大，故当时，有最小值；
当为偶数时，，随着的增大而减小，故当时，有最大值；
综上所述，有最小值，最大值
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，由此即可得出数列为等差数列，解已知条件计算出首项和公差，由此得出数列的通项公式。
(2)利用错位相减法整理化简即可得出答案。
(3)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得出数列前n项和，再对n分情况讨论由二次函数的性质即可求出函数的最值。
20．【答案】（1）解：设直线与相切与点，，
则有
解得，
（2）解：当， 时，曲线与曲线的公共点个数即方程
根的个数．
由，
令，
则当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增．
故（2）是的极小值同时也为最小值．
所以对曲线与曲线公共点的个数，
讨论如下：
当时，有0个公共点；
当，有1个公共点；
当有2个公共点．
（3）解：设
令，．
则的导函数
，
所以在上单调递增，且．
因此，，故在上单调递增，
而，所以在上，．
因为当时，且，
故，
所以当时，
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的综合
【解析】【分析】(1)根据题意设出直线的方程以及切点的坐标，结合题意对函数求导求出直线的斜率，由此计算出k的取值。
(2)由方程根与图象交点的关系，把问题转化为方程根的个数，构造函数g(x)然后对其求导结合导函数的性质即可得出函数h(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最小值，结合题意由公共点的个数即可得出m的取值范围。
(3)由作差法整理化简代数式，然后构造函数g(x)对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，然后由a与b的大小关系即可得出答案。
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