资源简介

10.3　二项式定理
(教师独具内容)
1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
3．在求解与二项展开式各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法，从而去除变量的影响，得到所需的系数和；求二项展开式的特定项或系数时，可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
4．重点提升数学运算和逻辑推理素养．
(教师独具内容)
1．二项式定理在历年高考命题中考查的频率中等，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，命题的重点是二项展开式中指定项的系数的求解．
2．主要考查以下四个方面：一是求二项或三项展开式中指定项的系数；二是求两个二项式之积的展开式中指定项的系数；三是已知展开式中项的系数求参数；四是项的系数与二项式系数性质的应用．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.
注：(a＋b)n展开式的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2．二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大；当k>时，二项式系数逐渐减小
最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Ceq \o\al( eq \s\up15() ,n)；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Ceq \o\al( eq \s\up15() ,n)与Ceq \o\al( eq \s\up15() ,n)
各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n．奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1
注：(1)二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
(2)通项是对(a＋b)n这个标准形式而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是Tk＋1＝(－1)kCan－kbk(只需要把－b看成b代入二项式定理，这与Tk＋1＝Can－kbk是不同的).在这里对应项的二项式系数是相等的，都是C，但项的系数一个是(－1)kC，一个是C，可以看出，二项式系数和项的系数是不同的概念．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　　)
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　)
A．6 B．－6
C．24 D．－24
答案　A
解析　(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C＝6.故选A.
3．二项式的展开式中x3y2的系数是(　　)
A．5 B．－20
C．20 D．－5
答案　A
解析　二项式的通项Tr＋1＝C5－r(－2y)r.根据题意，得解得r＝2.所以x3y2的系数是C××(－2)2＝5.故选A.
4.(x>0)的展开式中的常数项为________．
答案　
解析　(x>0)可化为，因而Tr＋1＝C()10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为C×＝.
5．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．
答案　8
解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
1．(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
答案　C
解析　(x＋y)5展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－ryr(r∈N且r≤5)，所以与(x＋y)5展开式的乘积可表示为xTr＋1＝xCx5－ryr＝Cx6－ryr或Tr＋1＝Cx5－ryr＝Cx4－r·yr＋2.在xTr＋1＝Cx6－ryr中，令r＝3，可得xT4＝Cx3y3＝10x3y3，该项中x3y3的系数为10，在Tr＋1＝Cx4－ryr＋2中，令r＝1，可得T2＝Cx3y3＝5x3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.
2．(2021·天津高考)在的展开式中，x6的系数是________．
答案　160
解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x3)6－rr＝26－rCx18－4r，令18－4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23C＝160.
3．(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________．(用数字作答)
答案　240
解析　展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r＝C2rx12－3r.令12－3r＝0，解得r＝4，∴的展开式中常数项是C×24＝15×16＝240.
4．(2021·浙江高考)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．
答案　5　10
解析　(x－1)3的展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5，a2＝C(－1)1＋C＝3，a3＝C(－1)2＋C＝7，a4＝C(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
一、基础知识巩固
考点　　展开式中特定项或特定项的系数
例1　二项式的展开式中，项的系数是(　　)
A． B．－
C．15 D．－15
答案　B
解析　的二项展开式的通项为Tr＋1＝C＝(－1)r22r－10·Cx eq \s\up12(5－)，令5－＝，得r＝3，所以项的系数是(－1)3×2－4×C＝－.故选B.
例2　(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
答案　C
解析　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.因为C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.
例3　在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
答案　16　5
解析　该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
例4　设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于________．
答案　－240
解析　(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，其展开式中x的系数a1＝C(－1)4×C×(－2)5＋C×(－1)5C(－2)4＝－240.
　1.(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
答案　B
解析　(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x).于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C×1＋C×(－1)1×1＝－3.
2.的展开式的常数项为160，则实数a＝________．
答案　2
解析　解法一：的展开式的通项Tr＋1＝C(ax)6－r＝Ca6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ca6－3＝160，解得a＝2.
解法二：＝，要得到常数项，则需ax与的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即Ca3＝160，解得a＝2.
3.的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)
答案　－120
解析　表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数．即x3y3的系数是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.
　
1．求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．考查的核心是通项Tk＋1＝Can－kbk，求解此类问题可以分以下几步完成：
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk，常把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；
第三步，把k代入通项中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．
2．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合考虑.
3．求形如(a＋b＋c)n的三项展开式问题中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
考点　　二项展开式中的系数和问题
例5　(2022·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为(　　)
A．－1 B．1
C．32 D．64
答案　D
解析　由二项展开式的通项可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ca4b2＝135，,Ca5b＝－18，))解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64.
例6　若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)
A．0 B．1
C．32 D．－1
答案　A
解析　由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.
　4.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70
C．90 D．120
答案　C
解析　令x＝1，则＝4n，所以的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r＝C3rx eq \s\up12(5－r)，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C×32＝90，故选C.
5．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
答案　－3或1
解析　令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.
　
1．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.
(1)a0＝f(0)；
(2)展开式各项系数和为f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an；
(3)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝；
(4)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
3．求各项系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值求解．
考点　　二项式系数与项的系数的最值问题
例7　二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)
A．3 B．5
C．6 D．7
答案　D
解析　根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)20－k·＝()20－k·C·x eq \s\up12(20－)，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.
例8　若展开式中前3项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为________．
答案　5376
解析　展开式的通项为Tk＋1＝2kCx eq \s\up12()，由题意可得，20C＋2C＋22C＝163，解得n＝9.设展开式中Tk＋1项的系数最大，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2kC≥2k＋1C，,2kC≥2k－1C，))解得≤k≤，又k∈N，∴k＝6.故展开式中系数最大的项为T7＝5376.
　6.在二项式的展开式中，仅第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为(　　)
A．－360 B．－160
C．160 D．360
答案　B
解析　∵展开式中，仅第4项的二项式系数最大，∴展开式共有7项，则n＝6，则展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k＝(－2)kCx6－2k，由6－2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝(－2)3C＝－160.
7.的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．6 B．
C．4x D．或4x
答案　A
解析　令x＝1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()2＝6.
8．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________．
答案　－8064
解析　由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)·(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5·＝－8064.
　
1．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大．
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
2．求(a＋bx)n(a，b∈R)的系数最大项的方法
一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k来即得．
二、核心素养提升
例1　1.028的近似值为________(精确到小数点后三位).
答案　1.172
解析　1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.
例2　9192除以100的余数是________．
答案　81
解析　9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C＝k×100＋92×90＋1＝k×100＋82×100＋81(k为正整数)，所以9192除以100的余数是81.
(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．
课时作业
一、单项选择题
1．(x－2y)6展开式中的第4项为(　　)
A．60x4y2 B．240x4y2
C．160x3y3 D．－160x3y3
答案　D
解析　(x－2y)6展开式中的第4项为Cx3·(－2y)3＝－160x3y3.故选D.
2．(2022·广东汕头高三月考)二项式的展开式中的常数项为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　二项式的展开式的通项Tk＋1＝Cx2(9－k)·x－k＝C·x18－3k，令18－3k＝0，可得k＝6，所以常数项为C＝.故选B.
3．(x＋2y－3z)5的展开式中所有不含y的项的系数之和为(　　)
A．－32 B．－16
C．10 D．64
答案　A
解析　在(x＋2y－3z)5的展开式中，通项为Tr＋1＝C(x－3z)5－r(2y)r.若展开式中的项不含y，则r＝0，此时符合条件的项为(x－3z)5展开式中的所有项．令x＝z＝1，得这些项的系数之和为(－2)5＝－32.故选A.
4．若(n∈N*)的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n＝(　　)
A．11 B．10
C．9 D．8
答案　C
解析　因为第5项二项式系数为C，第6项的二项式系数为C，由题意知C＝C，所以n＝4＋5＝9.故选C.
5．(2022·福建泉州质量检测)(x＋2y)5的展开式中x2y4的系数为(　　)
A．24 B．36
C．48 D．72
答案　C
解析　因为(x＋2y)5＝x(x＋2y)5－(x＋2y)5，可得(x＋2y)5的展开式通项为Tr＋1＝Cx5－r(2y)r＝2rCx5－ryr，令r＝4可得x2y4的系数为24C＝80，令r＝5，可得x2y4的系数为－25C＝－32，故展开式中x2y4的系数为80－32＝48.故选C.
6．当a为常数时，展开式中常数项为15，则a＝(　　)
A．2 B．－1
C．1 D．±1
答案　D
解析　因为展开式的通项为C··(ax)r＝arCx3r－12，令3r－12＝0，所以r＝4，所以常数项为a4C＝15，所以a4＝1，所以a＝±1.故选D.
7．(x＋＋1)的展开式中x2的系数为(　　)
A．72 B．60
C．48 D．36
答案　C
解析　的展开式的通项为Tr＋1＝C()6－r·＝(－2)r·C·x3－r.令3－r＝1，得r＝2；令3－r＝，得r＝ Z，舍去；令3－r＝2，得r＝1.故(x＋＋1)的展开式中x2的系数为(－2)2×C＋(－2)1×C＝60－12＝48.故选C.
8．(2022·山东聊城高三摸底)已知(2－x)2021＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2021(x＋1)2021，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2021|＝(　　)
A．24042 B．1
C．22021 D．0
答案　A
解析　令t＝x＋1，可得x＝t－1，则[2－(t－1)]2021＝(3－t)2021＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a2021t2021，二项式(3－t)2021的展开式的通项为Tr＋1＝C·32021－r·(－t)r，则ar＝C·32021－r·(－1)r.当r为奇数时，ar<0，当r为偶数时，ar>0，因此令t＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2021|＝a0－a1＋a2－…－a2021＝(3＋1)2021＝24042.故选A.
三、多项选择题
9．若(x＋3)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8，x∈R，则下列结论中正确的有(　　)
A．a0＝28
B．a3＝8C
C．a1＋a2＋…＋a8＝38
D．(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝38
答案　AD
解析　(x＋3)8＝[2＋(x＋1)]8＝28＋27C·(x＋1)＋26C(x＋1)2＋25C(x＋1)3＋…＋(x＋1)8.对于A，令x＝－1，则(－1＋3)8＝28＝a0，故A正确；对于B，a3＝25C＝1792，而8C＝960，故B错误；对于C，令x＝0，则38＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，于是a1＋a2＋…＋a8＝38－a0＝38－28，C错误；对于D，令x＝－2，则1＝a0－a1＋a2－…＋a8.因为a0＋a1＋a2＋…＋a8＝38，所以(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)(a0－a1＋a2－…＋a8)＝38，故D正确．故选AD.
10．已知(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列结论正确的是(　　)
A．a3＝－360
B．(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝1
C．a1＋a2＋…＋a6＝(2－)6
D．展开式中最大的系数为a2
答案　BD
解析　(2－x)6展开式的通项为Tr＋1＝C·26－r·(－x)r.对于A，令r＝3，则a3＝C×23×(－)3＝－480，A错误；对于B，令x＝1，则a0＋a1＋…＋a6＝(2－)6；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a6＝(2＋)6，∴(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6)(a0－a1＋a2－…＋a6)＝[(2－)(2＋)]6＝1，B正确；对于C，令x＝0得a0＝26，∴a1＋a2＋…＋a6＝(2－)6－26，C错误；对于D，∵a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，又a0＝26＝64，a2＝C×24×3＝720，a4＝C×22×32＝540，a6＝33＝27，∴展开式中最大的系数为a2，D正确．故选BD.
三、填空题
11．5355＋9除以9的余数为________．
答案　8
解析　5355＋9＝(54－1)55＋9＝C5455－C5454＋C5453－…＋C×54－1＋9，因为C5455－C5454＋C5453－…＋C×54都能被9整除，所以5355＋9除以9的余数即为8除以9的余数，即为8.
12．记(1－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5＋a6(1＋x)6，则a4＝________．
答案　60
解析　(1－x)6＝(－1＋x)6＝[－2＋(1＋x)]6，展开式的通项为Tr＋1＝C·(－2)6－r·(1＋x)r，令r＝4即可，a4＝C(－2)2＝4C＝60.
13．1－90C＋902C－903C＋…＋9010C除以88的余数是________．
答案　1
解析　由题意得1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C＝(1－90)10＝(1＋88)10＝C＋C×881＋C×882＋…＋C×8810，故它除以88的余数为C＝1.
14．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则Ca1＋Ca2＋Ca3＋Ca4＋Ca5＋Ca6＝________．
答案　454
解析　因为an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1，则Ca1＋Ca2＋Ca3＋Ca4＋Ca5＋Ca6＝C×2＋C×22＋C×23＋C×24＋C×25＋C×26－(C＋C＋C＋C＋C＋C)，又C×2＋C×22＋C×23＋C×24＋C×25＋C×26＝2×(C×20＋C×21＋C×22＋C×23＋C×24＋C×25)＝2×(1＋2)5＝486，C＋C＋C＋C＋C＋C＝25＝32，所以原式＝486－32＝454.
四、解答题
15．求的展开式中的常数项，其中n是7777－10除以19的余数．
解　7777－10＝(76＋1)77－10＝76m－9(m为正整数)除以19的余数是10，所以n＝10.
设Tr＋1是展开式中的常数项，
则Tr＋1＝C
＝Cx eq \s\up15(－10) ，
令r－10＝0得r＝6，
所以T7＝C＝.
所以展开式中的常数项为.
16．(2022·河北承德月考)已知的展开式中各项的二项式系数之和为32.
(1)求n的值及展开式中x2项的系数；
(2)求展开式中的常数项．
解　(1)由已知可得C＋C＋C＋…＋C＝2n＝32 n＝5，
因为Tr＋1＝C(2x)5－r＝25－rC·x eq \s\up15(5－r) ，令5－r＝2 r＝2，
所以x2项的系数为23C＝80.
(2)求展开式中的常数项，即5－r＝－1或5－r＝，
所以r＝4或r＝3，故常数项为2·C－22·C＝－30.
17．记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1·x2n＋1，n∈N*.
(1)求|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|；
(2)设ak＝(－2)kbk，求和：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1.
解　(1)由题意(1＋2x)2n＋1＝|a0|＋|a1|x＋…＋|a2n＋1|x2n＋1，
令x＝1，得|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|＝32n＋1.
(2)由题意ak＝C(－2)k，
又ak＝(－2)kbk，
∴bk＝C，
∴(k＋1)bk＝(k＋1)C
＝kC＋C
＝k eq \f(A,A)＋C
＝ eq \f(（2n＋1）A,A)＋C
＝(2n＋1)C＋C，
∴1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1
＝1·C＋2·C＋3·C＋…＋(k＋1)·C＋…＋(2n＋2)·C
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2n＋1)(C＋C＋…＋C)
＝22n＋1＋(2n＋1)·22n
＝(2n＋3)·22n.

展开更多......

收起↑