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10．2　排列与组合
(教师独具内容)
1．理解排列的概念及排列数公式，能用列举法、树状图法列出简单的排列．掌握排列数公式及其变式，并能运用排列数公式熟练地进行相关计算．掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题．
2．理解并掌握组合、组合数的概念，掌握组合与排列之间的联系与区别．熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质，并运用于计算之中．能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题，提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力．
3．重点提升数学运算、逻辑推理和数学建模素养．
(教师独具内容)
1．排列与组合是历年高考命题考查频率不高的内容，属于中低档题，主要以选择题和填空题的形式考查．命题的重点以体育、劳动等社会生产活动为背景，考查简单的排列组合数的计算．考查方向一是分组与分配问题；二是考查相邻与不相邻、在与不在等有限制条件的计数问题．
2．准确辨别限制条件的类别，尤其是“至少”“至多”类型的条件，多用分类讨论或转化为对立事件求解．把握条件类型，建立相应的计数模型从而解决问题．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝ eq \f(A,A)＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C，C＝1，C＝1
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(3)若组合数公式C＝C，则x＝m成立．(　　)
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________．
答案　48
解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种排法，所以偶数的个数为48.
3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是________．
答案　30
解析　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12(种)，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30(种).
4．方程3A＝2A＋6A的解为________．
答案　5
解析　由排列数公式可知3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3且x∈N*，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍去)，∴x＝5.
5．已知 eq \f(1,C)－ eq \f(1,C)＝ eq \f(7,10C)，则m＝________．
答案　2
解析　由已知得，m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈N}，原等式可化为－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.
1．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
答案　C
解析　根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有CA＝240(种).
2．(2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
答案　C
解析　首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有CC＝6×10＝60种．故选C.
3．(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
答案　36
解析　∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学作为一组，选法有C＝6种，然后将3组同学分配到3个小区，分法有A＝6种，根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36(种).
一、基础知识巩固
考点　　排列的应用
例1　用0，1，2，3组成的没有重复数字的全部四位数中，若按照从小到大的顺序排列，则第10个数应该是(　　)
A．2103 B．2130
C．2301 D．2310
答案　B
解析　根据题意，用0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数，若1作为千位数字，将0，2，3全排列，安排在百、十、个位，有A＝6种情况，1作为千位数字的没有重复数字的四位数有6个；同理，2作为千位数字的没有重复数字的四位数有A＝6(个)，其中最大的为2310，其次为2301，则第10个数应该是2130.
例2　3名女生和5名男生排成一排．
(1)若女生全排在一起，有多少种排法？
(2)若女生都不相邻，有多少种排法？
(3)若女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
解　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A种排法，因此共有AA＝4320种不同排法．
(2)(插空法)先排5名男生，有A种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA＝14400种不同排法．
(3)解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA＝14400种不同排法．
解法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA＝14400种不同排法．
(4)8名学生的所有排列共有A种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为A＝20160.
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
解法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有AAA种不同排法．由分类加法计数原理知，共有A＋AAA＝30960种不同排法．
解法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A种排法，余下7个位置全排，有A种排法，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，因此共有AA－AA＝30960种排法．
解法三(间接法)：8名学生全排列，共有A种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A种排法，乙在最右边时，有A种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种排法．因此共有A－2A＋A＝30960种排法．
　1.高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)
A．1800 B．3600
C．4320 D．5040
答案　B
解析　先排除舞蹈节目以外的5个节目，共有A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA＝3600(种).
2．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　　)
A．1108种 B．1008种
C．960种 D．504种
答案　B
解析　将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1008(种).
3．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
答案　36
解析　(捆绑法和插空法的综合应用)记其余两种产品为D，E.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，有AA种方法，再将C插入，每种排列均只有3个空位可选，故不同的摆法共有AA×3＝2×6×3＝36(种).
　
1．解决有限制条件排列问题的策略
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
2．求解有限制条件排列问题的主要方法
直接法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数
分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
续表
插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
定序问题除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列
间接法 对于分类过多的问题，按正难则反、等价转化的方法
考点　　组合的应用
例3　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中选取2种，有C＝561种取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中选取3种，有C种或者C－C＝C＝5984种取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种．
(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有CC＝2100种取法．所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2100＋455＝2555(种).所以至少有2种假货在内的不同取法有2555种．
(5)解法一(间接法)：选取3种商品的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6545－455＝6090(种).所以至多有2种假货在内的不同取法有6090种．
解法二(直接法)：共有选取方式C＋CC＋CC＝6090(种)，所以至多有2种假货在内的不同取法有6090种．
例4　有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
解　设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下四类：
第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，选派方法有CC＝6种；
第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，选派方法有CC＝12种；
第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，选派方法有CC＝8种；
第四类：C中选2人分别参加两项比赛，选派方法有A＝12种．
由分类加法计数原理知，不同的选派方法共有6＋12＋8＋12＝38(种).
　4.某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有(　　)
A．30种 B．36种
C．42种 D．48种
答案　C
解析　若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C种选法，9日、10日有CC种安排方法，共有CCC＝24种安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC种安排方法，共有12种安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有CC＝6种安排方法．所以共有24＋12＋6＝42种安排方法．
5．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　)
A．232 B．252
C．472 D．484
答案　C
解析　分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有CC＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C－3C＝220－12＝208(种).由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种).
6．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
答案　16
解析　解法一：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故所求选法共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种).
解法二(间接法)：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故所求选法共有C－C＝20－4＝16(种).
　
1．解决组合问题的几种常见方法
正难则反、穷举法(即树状图法)、隔板法和分类讨论．
2．组合问题常见的两类题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
3．解决组合问题的基本原则
(1)特殊元素优先考虑．
(2)合理分类与准确分步．
考点　　排列组合的综合问题之相邻、相间及特殊元素(位置)问题例5　育人中学高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场顺序的排法种数为________．
答案　60
解析　2位男生不连续出场的排法有N1＝AA＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法有N2＝AA＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.
例6　大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4人(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自同一个家庭的乘坐方式共有________种．
答案　24
解析　根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12种乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12种乘坐方式．
故共有12＋12＝24种乘坐方式．
　7.北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(　　)
A．12种 B．24种
C．48种 D．96种
答案　C
解析　从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6种不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性领导人分别记作甲、乙，则女性领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12种排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有12×4＝48种不同排法．
8．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120
C．144 D．168
答案　B
解析　安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36种安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48种安排方法．故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　)
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
答案　A
解析　当“数”排在第一节时有AA＝48种排法；当“数”排在第二节时有AAA＝36种排法；当“数”排在第三节时，“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有AA＝12种排法，“射”和“御”两门课程排在后三节有AAA＝24种排法．所以满足条件的共有48＋36＋(12＋24)＝120种排法．
　排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．
(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
考点　　排列组合的综合问题之定序问题
例7　某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
答案　720
解析　添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有 eq \f(A,A)＝720(种).
　10.某校举行演讲比赛，某班现从A，B，C，D，E共5名同学中任选3人参加比赛，当3名同学中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场顺序有(　　)
A．51种 B．45种
C．42种 D．35种
答案　A
解析　第一种情况：A和B都不选时，不同的出场顺序有CA＝6种；第二种情况：A和B只选一个时，不同的出场顺序有CCA＝2×3×6＝36种；第三种情况：A和B都选时，不同的出场顺序有CC· eq \f(A,A)＝1×3×3＝9种．则不同的出场顺序共有6＋36＋9＝51种．故选A.
　解定序排列问题的方法
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种数 eq \f(A,A)＝A.
二、核心素养提升
1.整体均分问题
例1　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
答案　90
解析　先把6个毕业生平均分成3组，有 eq \f(CCC,A)种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有 eq \f(CCC,A)·A＝90种分派方法．
2．部分均分问题
例2　将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)
答案　1560
解析　把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．
①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有 eq \f(CCCC,A)＝20(种)；
②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有 eq \f(CC,A)· eq \f(CC,A)＝45(种).
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A＝1560(种).
3．不等分问题
例3　(1)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为(　　)
A．35 B．70
C．165 D．1860
答案　C
解析　根据题意，分4种情况讨论：①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C＝35种放法；②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C＝7种分组方法，则有6×7＝42种方法；④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法．故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法．
(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
答案　360
解析　将6名教师分组，分三步完成：第一步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种分法；第二步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种分法；第三步，余下的3名教师作为一组，有C种分法．根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．
分组、分配问题是排列、组合的综合问题，解题思想是先分组后分配．
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“隔板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
(3)分组、分配问题的求解策略
①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数；
②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数；
③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
课时作业
一、单项选择题
1．已知A＝7CA，则n＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　A
解析　由A＝，C＝，得A＝＝2n(2n－1)(2n－2)，C＝＝n，A＝＝n(n－1)，所以2n(2n－1)(2n－2)＝7n2(n－1)，因为n≥2，n－1≠0，上式化为4n(2n－1)＝7n2，而n≠0，所以n＝4.故选A.
2．小华忘记了手机开机密码的前三位，只记得第一位和第二位取自0，1，2，3(可以相同)，第三位是A，B，C中的一个字母，则小华输入的不同组合种数为(　　)
A．48 B．36
C．21 D．11
答案　A
解析　输入的不同组合一共有CCC＝48种．故选A.
3．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有(　　)
A．80种 B．120种
C．130种 D．140种
答案　D
解析　若夫妻中只选一人，则有CCA＝120种不同的方案；若夫妻二人全选，则有CAA＝20种不同的方案．故总计有140种不同的方案．故选D.
4．(2021·湖北武汉模拟)为防止新冠肺炎疫情的传播，某高校在学生返校复课后，对在校的大一、大二、大三、大四四个年级的学生采取午餐错峰就餐的制度，午餐就餐时间为11：30～12：30和12：40～13：40两个时间段．该校共三个食堂，一食堂每次恰好容纳一个年级的人就餐，二食堂和三食堂每次只能容纳一个年级的一半人就餐(假定该校每个年级的在校生人数相同).为了便于就餐，学生会把每个年级都分成人数相等、人员固定的两个组，把一食堂划分成餐位相等的两个区域，则该校学生就餐顺序和地点的不同安排情况(同一时间点在不同食堂或不同区域就餐视为不同的就餐方式)有(　　)
A．A种 B．A种
C．AA种 D．A种
答案　B
解析　根据题意，学生被分成了8组，对应8个就餐位置，因此不同的就餐安排方案有A种．故选B.
5．(2021·山东师范大学附属中学6月模拟)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是(　　)
A．90 B．120
C．210 D．216
答案　C
解析　因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有CA＝120种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有CCA＝90种站法．所以不同的站法总数是120＋90＝210.故选C.
6．期待已久的高考终于要来了，自信的小强在十张完全相同的卡片上写下了“高考考完了，生活开挂了”这句话中的10个汉字，每张卡片上写一个字，写完了，他把十张卡片往天花板上一扔，结果卡片掉下来居然从左至右摆成了一排，他思考了一下，发现卡片从左至右可以摆出n种不同的结果，则(2018x－2021y)n展开式中各项系数之和为(　　)
答案　C
解析　卡片上写下的“高考考完了，生活开挂了”这句话中的10个汉字中有两个“考”字，两个“了”字，两个“考”字与两个“了”字都无先后顺序，故排列总数为n＝ eq \f(A,AA)＝AC＝CCA，令x＝y＝1得(2018x－2021y)n展开式中各项系数之和为(2018－2021)n＝(－3)n＝3eq \s\up13(CCA).故选C.
7．某学校举办冰雪知识竞赛，甲、乙两人分别从速度滑冰、花样滑冰、冰球滑冰、钢架雪车、跳台滑雪、冰壶等六个门类中各选三类作答，则甲、乙两人所选的类型中恰有两类相同的选法有(　　)
A．180种 B．225种
C．200种 D．400种
答案　A
解析　根据题意，分2步进行分析：①在六个门类中选出2类，作为甲、乙共同选择的科目，有C＝15种选法；②甲、乙从剩下的4类中，任选2个，有A＝12种选法．则共有15×12＝180种选法．故选A.
8．2022年4月15日，是第七个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙、高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有(　　)
A．28种 B．32种
C．36种 D．44种
答案　B
解析　根据题意，分成以下两种情况进行讨论：①高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时，共有CA＝12种排法；当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有AA＝4种排法，所以高校甲排在第二个时共有16种排法；②高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一、二个，一个排在第五、六个，则共有CCCA＝16种排法．综上，共有32种排法满足题意．故选B.
二、多项选择题
9．为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去A地重点高中进行教学调研．现知A地有三所重点高中，则下列说法正确的是(　　)
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种
答案　ABD
解析　对于A，每位教研员有三所学校可以选择，故不同的调研安排有35＝243种，故A正确；对于B，C，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，分别有 eq \f(CCC,A)＝10， eq \f(CCC,A)＝15种分组方法，则不同的调研安排有(10＋15)A＝150种，故B正确，C错误；对于D，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有 eq \f(CCC,A)×A＝36种，则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有150－36＝114种，D正确．故选ABD.
10．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(　　)
A．若A，B两人站在一起，有24种方法
B．若A，B不相邻，共有72种方法
C．若A在B左边，有60种排法
D．若A不站在最左边，B不站在最右边，有78种方法
答案　BCD
解析　对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步乘法计数原理可知，共有AA＝48种方法，所以A不正确；对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有AA＝72种方法，所以B正确；对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有A＝60种，所以C正确；对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有A＝24种，另一个是A不站在最左边也不站在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，即AAA＝54种，由分类加法计数原理可知，共有24＋54＝78种方法，所以D正确．故选BCD.
三、填空题
11．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．(用数字作答)
答案　12
解析　先将2个视频进行排序，再将2篇文章进行插空，则共有ACA＝12种排法．
12．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)
答案　4320
解析　分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4320种不同的涂色方法．
13．(2022·河北邯郸模拟)琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排六节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，其中琵琶、二胡一定排课，若琵琶、二胡讲座互不相邻且均不排在第一节和第六节，则不同的排课种数为________．(用数字作答)
答案　10080
解析　先从除琵琶、二胡两种乐器外的八种乐器中挑四种进行全排列，有A种情况，再从排好的四种乐器形成的3个空中(不包括两端的2个空)挑2个插入琵琶、二胡这两种乐器，有A种情况，故满足题意的排课种数为AA＝10080.
14．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有________种．(用数字作答)
答案　26
解析　①当甲、丙、丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人有A＝2种选择；当甲选择支付宝时，丙、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，有1＋CC＝5种选择．故有2＋5＝7种选择．②当甲、丙、丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人有A＝2种选择；当甲选择微信时，丙、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1＋CC＝5种选择．故有2＋5＝7种选择．③当甲、丙、丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则有CA＝6种选择，若没有人使用现金，则有CA＝6种选择．故有6＋6＝12种选择．根据分类加法计数原理可得，共有7＋7＋12＝26种选择．
四、解答题
15．某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情．某医院呼吸科共有3名医生，4名护士．
(1)若从中选派3人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，求不同的选派方案数；
(2)若从中选派4人分别去两个地方支援抗疫一线，每个地方要求医生和护士均有，求不同的选派方案数．
解　(1)选派3人去支援抗疫一线，方案有下列两种情况：
第一种情况，1名医生，2名护士，有CC＝18种；
第二种情况，2名医生，1名护士，有CC＝12种．
所以共有18＋12＝30种不同的选派方案．
(2)先选出2名医生，2名护士，共CC＝18种，再将这2名医生，2名护士分配到两个地方，有CC＝4种，则共有18×4＝72种不同的选派方案．
16．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解　(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”，将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20种不同的放入方式．
(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120种不同的放入方式．

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