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　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
2．条件概率
(1)条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①缩小样本空间法：P(B|A)＝，
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
(3)条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；
③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
④设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
3．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；
(2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝P(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．
4．*贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝
＝.
(2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝＝.
5．*常用结论
贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)之间的内在联系．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立．(　　)
(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)
(3)抛掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第二枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．(　　)
(4)三个事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　B
解析　设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B.依题意得P(A)＝＝，P(AB)＝＝.故在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率P(B|A)＝＝.
3．天气预报预测，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一地降雨的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
答案　C
解析　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
4．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是________．
答案　　
解析　甲被录取的概率P1＝×＝，乙被录取的概率P2＝×＝，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是P1P2＝×＝，只有一人被录取的概率是P1(1－P2)＋P2(1－P1)＝×＋×＝.
5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
答案　0.128
解析　记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A.由题意知，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.
1．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
答案　B
解析　设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，则P(A)＝P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝.对于A，甲、丙同时发生的概率P(AC)＝0≠P(A)P(C)；对于B，甲、丁同时发生的概率P(AD)＝＝＝P(A)P(D)；对于C，乙、丙同时发生的概率P(BC)＝＝≠P(B)P(C)；对于D，丙、丁同时发生的概率P(CD)＝0≠P(C)P(D)．若两事件X，Y相互独立，则P(XY)＝P(X)P(Y)，因此B正确．
2．(2021·天津高考)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________．
答案　　
解析　由题可得一次活动中，甲获胜的概率为×＝，则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C×2×＋3＝.
3．(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
答案　0.18
解析　甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．
若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；
若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.
∴甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0.6×(0.6＋0.4)×0.5×0.5×0.6＝0.18.
基础知识巩固
考点　　相互独立事件的概率
例1　(多选)(2021·辽宁沈阳模拟)甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是(　　)
A．P(A)＝P(B)＝P(C)
B．P(BC)＝P(AC)＝P(AB)
C．P(ABC)＝
D．P(A)P(B)P(C)＝
答案　ABD
解析　由已知，得P(A)＝×＋×＝，P(B)＝P(C)＝＝，所以P(A)＝P(B)＝P(C)，故A正确；由已知有P(AB)＝，P(AC)＝，P(BC)＝，所以P(BC)＝P(AC)＝P(AB)，故B正确；由已知可得P(ABC)＝≠，故C错误；由以上分析可知P(A)P(B)P(C)＝，故D正确．故选ABD.
例2　一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________．
答案　
解析　设“甲摸到绿球”的事件为A，则P(A)＝，“甲摸到红球”的事件为，则P()＝，设“乙摸到绿球”的事件为B，则P(B)＝，“乙摸到红球”的事件为，则P()＝.在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是AA(B＋)，AA，AA，所以P＝×××1＋×××＋×××＝.
　1.(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
解　(1)记事件M：甲连胜四场，
则P(M)＝4＝.
(2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则四局内结束比赛的概率为P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×4＝，
所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P′＝.
(3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
记事件D：甲最终获胜，记事件E：乙最终获胜，记事件F：丙最终获胜，
则甲最终获胜的事件包括BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，
所以甲最终获胜的概率为P(D)＝4＋7×5＝.
由对称性可知，乙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，即P(D)＝P(E)＝，
所以丙最终获胜的概率为P(F)＝1－2×＝.
　求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
考点　　条件概率与乘法公式
例3　(2021·合肥质检)小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中2个腊肉馅，3个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P(B|A)＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　B
解析　由题意，得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝，故选B.
例4　有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗的成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　)
A．0.72 B．0.8
C．0.86 D．0.9
答案　A
解析　设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗的成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
例5　一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)．
解　如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，
所以n(AB)＝1，所以P(AB)＝，P(A|B)＝＝.
　2.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，则P(B|A)＝＝＝.
3．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)
A．0.2 B．0.33
C．0.5 D．0.6
答案　A
解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
4．某机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞机准点的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　设机场某时降雨为事件A，飞机准点为事件B，由题意可知P(A)＝，P(B|A)＝，则某时降雨且飞机准点的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
　
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型．
(2)计算P(A)，P(A∩B)．
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点个数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
考点　　全概率公式
例6　有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，由二厂生产的占50%，由三厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
解　设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3.
B1∪B2∪B3＝Ω，
由题意，得P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，
P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，
由全概率公式，得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
　5.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解　(1)从甲箱中任取2个产品的样本点个数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的样本点个数为C＝3.
所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，
事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，
事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，
事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，
则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
　全概率公式的适用范围及步骤
什么样的问题适合用这个公式求解？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
运用全概率公式的一般步骤如下：
(1)求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An；
(2)求P(Ai)(i＝1,2，…，n)；
(3)求P(B|Ai)(i＝1,2，…，n)；
(4)求目标事件的概率P(B)．
可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”．
课时作业
一、单项选择题
1．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为，，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　B
解析　记“两个零件中恰有一个一等品”的事件为A，“仅第一个实习生加工一等品”为事件A1，“仅第二个实习生加工一等品”为事件A2，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝×＋×＝.故选B.
2．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(B|A)＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　由题意知A B，P(A)＝＝，P(B)＝＝，则P(B|A)＝＝＝.故选A.
3．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元)．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5,0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2,0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为(　　)
A．0.18 B．0.3
C．0.24 D．0.36
答案　B
解析　由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4.所以甲、乙两人所租车费用相同的概率为P＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.
4．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　由题意，从现有4名男生，2名女生中选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A，其概率为P(A)＝＝.设女生乙被选中为事件B，甲、乙都被选中的概率为P(AB)＝＝，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为P(B|A)＝＝＝.故选D.
5．篮子里装有3个红球，4个白球和5个黑球，球除颜色外，形状大小一致．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　B
解析　两个球颜色不同，则可能是一红一白，一红一黑，或一白一黑，所以事件A中包含的样本点的个数为3×4＋3×5＋4×5＝47，其中两球一红一白包含的样本点的个数为3×4＝12，所求概率为P(B|A)＝.故选B.
6．在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件A表示“第一次摸到的是红球”，事件B表示“第二次摸到的是红球”，则P(B|A)＝(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　设第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B，则“第一次摸到红球”的概率为P(A)＝＝，“在第一次摸到红球，第二次也摸到红球”的概率是P(AB)＝＝，由条件概率公式有P(B|A)＝＝＝.故选A.
7．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁．已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B.由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.
8．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　设Ai＝“第i次通过第一关”，Bi＝“第i次通过第二关”，其中i＝1,2.由题意知选手能进入第三关的事件为A1B1＋1A2B1＋A11B2＋1A21B2，所以选手能进入第三关的概率为P(A1B1＋1A2B1＋A11B2＋1A21B2)＝×＋××＋××＋×××＝.故选C.
二、多项选择题
9．下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有(　　)
A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B．袋中有5个红球、5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第一次摸到红球”，事件N＝“第二次摸到红球”
C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第一枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
答案　CD
解析　对于A，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；对于B，P(M)＝，P(N)＝＝，P(MN)＝，P(MN)≠P(M)P(N)，所以M，N不是相互独立事件；对于C，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件；对于D，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件．故选CD.
10．甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　　)
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3两两互斥
答案　BD
解析　因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确；因为P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，所以P(B|A1)＝＝＝，故B正确；同理，P(B|A2)＝＝＝，P(B|A3)＝＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故A错误；因为P(BA1)＝×＝，P(B)P(A1)＝×＝，P(BA1)≠P(B)P(A1)，所以事件B与事件A1不相互独立，故C错误．故选BD.
三、填空题
11．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
答案　
解析　设事件A为“一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，故P(D|A)＝P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
12．伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则P(B|A)＝________.
答案　
解析　由已知得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，则P(B|A)＝＝＝.
13．由“0,1,2”组成的三位数密码中(数字可重复使用)，若用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，则P(A|B)＝________.
答案　
解析　由“0,1,2”组成的三位数密码，共有3×3×3＝27个样本点，又由用A表示“第二位数字是2”的事件，用B表示“第一位数字是2”的事件，可得P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝＝.
14．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
答案　0.98
解析　设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)＝1－(1－0.80)×(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.
四、解答题
15．(2022·湖南湘潭高三月考)甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
解　记事件Ai表示“第i局甲获胜”，i＝3,4,5，事件Bj表示“第j局乙获胜”，j＝3,4,5.
(1)记事件C表示“再赛2局结束比赛”．
则C＝(A3A4)∪(B3B4)．
由于各局比赛结果相互独立，故
P(C)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
(2)记事件D表示“甲获得这次比赛的胜利”．
因为前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而D＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，由于各局比赛结果相互独立，故P(D)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)·P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
16．假设有三箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件零件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求：
(1)先取出的零件是一等品的概率；
(2)两次取出的零件均为一等品的概率．(最终结果用小数表示，精确到0.01)
解　(1)记事件Ai＝“任取的一箱为第i箱零件”，则i＝1,2,3，
记事件Bj＝“第j次取到的是一等品”，则j＝1,2，
由题意知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝，
P(B1|A1)＝＝0.4，
P(B1|A2)＝＝0.4，
P(B1|A3)＝＝0.6，
由全概率公式得P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＋P(A3)P(B1|A3)＝×(0.4＋0.4＋0.6)＝.
(2)因为P(B1B2|A1)＝＝，
P(B1B2|A2)＝＝，
P(B1B2|A3)＝＝，
由全概率公式得P(B1B2)＝P(A1)P(B1B2|A1)＋P(A2)P(B1B2|A2)＋P(A3)P(B1B2|A3)＝×≈0.22.
17．(2021·贵阳一中高考适应性考试(六))篮球比赛中，总决赛采用的赛制是“7场4胜制”，即先赢4场比赛的球队获胜，此时比赛结束．比赛时两支球队有主客场之分，顺序是按照常规赛的战绩排名的，胜率最高的球队先开始主场比赛，且主客场安排依次是“主主客客主客主”，且每场比赛结果相互独立．某队先开始主场比赛，且该队在主场赢球的概率为，客场赢球的概率为(说明：篮球比赛中没有平局，只有赢或者输)，根据上述预测：
(1)分别求出只进行4场比赛和该队4∶1获胜的概率；
(2)如果该队已经取得2∶0的开局，求最终夺冠的概率．
解　(1)由题意知，该队4∶0获胜或者0∶4失败，设A＝“只进行4场比赛”，B＝“该队4∶1获胜”．
则P(A)＝×××＋×××＝，
P(B)＝×××××2＋×××××2＝.
(2)该队最后夺冠的情况有4∶0,4∶1,4∶2,4∶3，
4∶0夺冠的概率P1＝×＝，
4∶1夺冠的概率P2＝×××2＝，
4∶2夺冠的概率P3＝××××2＋×××＝，
4∶3夺冠的概率P4＝×××××3＋××××＝，
所以该队最终夺冠的概率为P1＋P2＋P3＋P4＝.

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