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10.6　二项分布与超几何分布、正态分布
(教师独具内容)
1．理解n重伯努利试验的模型，理解二项分布、超几何分布的概念，并能解决一些简单的实际问题．
2．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的特征，了解正态分布的均值、方差及其含义．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征．
3．重点提升数学运算和逻辑推理素养．
(教师独具内容)
1．本考点是历年高考命题常考内容，属于中档题目，三种题型都有考查，命题以现实生活情境为背景，与统计图表相结合，命题的重点是分布列的求解．
2．考查方向主要有三个方面：一是二项分布及其应用；二是超几何分布及其应用；三是正态分布及其应用．熟练掌握各种概型的特点和计算公式，注意区分二项分布和超几何分布；灵活利用正态分布的对称性求解；掌握概率在决策中的作用．
(教师独具内容)
(教师独具内容)
1．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，其均值为E(X)＝.
3．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)＝e eq \s\up15(－) ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴围成的面积为1；
⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示；
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示．
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e eq \s\up15(－) ，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　　)
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．(　　)
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)＝(　　)
A．9 B．6
C．4 D．3
答案　B
解析　因为随机变量X～B，所以D(X)＝6××＝，所以D(2X＋1)＝4D(X)＝4×＝6.故选B.
3．设袋中装有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　取出的红球个数服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为.
4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
答案　0.8
解析　如图所示，易得P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)，故P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.
5．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是________．
答案　
解析　一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－×＝1－＝，设X为3次试验中成功的次数，所以X～B，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×3＝1－3＝.
1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
答案　D
解析　对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量在一次测量中落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.
2．(2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ解　(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，
故X～B(16,0.0026)．
因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.
X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02.
因此μ的估计值为10.02.
＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，
剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
因此σ的估计值为≈0.09.
一、基础知识巩固
考点　　二项分布
例1　在某“猜羊”游戏中，一只羊随机躲在两扇门背后，参赛选手选择其中一个门并打开，若这只羊就在该门后，则为猜对；否则，为猜错．已知一位选手获得了4次“猜羊”机会，若至少猜对2次才能获奖，则该选手获奖的概率为(　　)
A．0.25 B．0.3125
C．0.5 D．0.6875
答案　D
解析　解法一：该选手获奖的概率P＝C×4＋C×4＋C×4＝＝0.6875.
解法二：该选手获奖的对立事件为“该选手只猜对一次和一次都没有猜对”，故所求概率P＝1－C×4－4＝1－－＝＝0.6875.
例2　(2021·合肥模拟)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅行社一位实习生在实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游
学校数 40 40 20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
解　X的可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
　1.(2022·陕西模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)．
解　(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.
由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，估计50个样本中小球质量的平均值为0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均值为24.6克．
(2)摸出一个小球的质量在[5,15]内的概率为，
则X～B.X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3×0＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．(2022·山东重点中学联考)某省新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科．假设6个自主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的3名学生．
(1)求这3名学生都选择物理的概率；
(2)设X为这3名学生中选择物理的人数，求X的分布列，并求E(X)．
解　(1)设“这3名学生都选择物理”为事件A，
依题意得每位学生选择物理的概率都为1－＝，
故P(A)＝3＝，即这3名学生都选择物理的概率为.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，
由题意知X～B，
P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3×0＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
　
1．使用n重伯努利试验概率模型应满足的条件
利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的四个条件：
(1)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生；
(2)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；
(3)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；
(4)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
2．二项分布的解题策略
(1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和事件A发生的概率，从而求得概率．
(2)①求随机变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
②有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b)．
考点　　超几何分布
例3　从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.
例4　为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)．
解　(1)由已知，得P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
　3.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ.已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B．20%
C．30% D．40%
答案　B
解析　设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或x＝8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.
4．某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：
52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.
(1)写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．
解　(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为＝，
故可估计该校测试成绩在70分以上的人数约为3000×＝2000.
(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
　
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
考点　　正态分布
例5　(2021·钦州期末)在一次共有10000名考生参加的毕业水平测试中，这些学生的数学成绩ξ服从正态分布N(85，σ2)，且P(80＜ξ＜85)＝0.3，若此次测试成绩大于或等于90分的定为“A等级”成绩，据此估计，此次测试中获得“A等级”成绩的学生人数为(　　)
A．1000 B．2000
C．3000 D．4000
答案　B
解析　依题意，P(80＜ξ＜85)＝0.3，根据正态分布的对称性，P(ξ≥90)＝[1－2P(80＜ξ＜85)]＝0.2.所以获得“A等级”成绩的学生人数为0.2×10000＝2000.故选B.
例6　设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　　)
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案　C
解析　由正态曲线的性质及题图知，μ1<μ2，0<σ1<σ2.故对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C正确．
　5.(2021·烟台调研)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
答案　0.16　10
解析　因为数学成绩X服从正态分布N(100,17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X<82.5)＝≈＝0.16.又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P(X>135)＝≈＝0.02.又P(X<82.5)＝P(X>117.5)＝0.16，则本次数学考试成绩特别优秀的人数大约是×0.02＝10.
6．(2021·新高考八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)内的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.9545)．
答案　32
解析　根据正态曲线的对称性知，要使误差εn在(－0.5，0.5)内的概率不小于0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ) (－0.5,0.5)，又μ＝0，σ＝，所以0.5≥2 n≥32.
　解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴直线x＝μ；
(2)标准差σ；
(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为直线x＝0.
二、核心素养提升
例　(2021·济南模拟)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000 g，上下浮动不超过50 g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000 g，标准差为50 g的正态分布．
(1)假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000 g的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2)作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，经计算25个面包总质量为24468 g．庞加莱购买的25个面包质量的统计数据如表所示(单位：g)：
981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978
989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959
987 1006 1000 977 966
尽管上述数据都落在(950,1050)上，但庞加莱还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由．
附：①若X～N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量Y～N.
②若η～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤η≤μ＋σ)≈0.6827，
P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.9545，
P(μ－3σ≤η≤μ＋3σ)≈0.9973.
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件．
解　(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝C×0×2＝；
P(ξ＝1)＝C××＝；
P(ξ＝2)＝C×2×0＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.
假设面包师没有撒谎，则X～N(1000,502)．
根据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则Y～N(1000,102)．
庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，
这25个数据的平均值为＝978.72<1000－2×10＝980.
由附②数据知，P(Y<980)≈＝0.02275<0.05.
由附③知，事件“Y<980”为小概率事件，
所以原假设“面包师没有撒谎”有误．
“小概率事件”的含义及应用
(1)若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则X在(μ－2σ，μ＋2σ)以外取值的概率约只有4.6%，在(μ－3σ，μ＋3σ)以外取值的概率约只有0.3%.由于这些概率值很小(一般不超过5%)，通常称这些情况发生为小概率事件．
(2)一般认为，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生．
课时作业
一、单项选择题
1．已知某批零件的长度误差T(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为(　　)
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
答案　B
解析　依题意可得，X～N(0,32)，其中μ＝0，σ＝3，所以P(－3≤X≤3)≈0.6827，P(－6≤X≤6)≈0.9545.因此P(32．若随机变量X～B，则下列说法错误的是(　　)
A．E(X)＝1 B．D(X)＝
C．E(2X)＝2 D．D(2X)＝
答案　D
解析　因为随机变量X～B，所以E(X)＝3×＝1，D(X)＝3××＝，所以E(2X)＝2E(X)＝2，D(2X)＝4D(X)＝，D错误．故选D.
3．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题”“升级题”“创新题”三类题，每类题均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率P＝3＋C×2×＝.故选A.
4．(2021·湖北襄阳高三模拟)2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃．尤其第三产业增长幅度较大．现抽取6个企业，调查其第三产业产值增长量分别为0.4,0.6,1.2,1.2,1.8,2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为＝.故选D.
5．(2022·广东湛江高三阶段检测)某公司圆满完成年初制定的生产目标，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定召开年终总结联欢晚会，在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏，规定：每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，则每位员工所获得的奖励额的数学期望是(　　)
A．80元 B．100元
C．120元 D．140元
答案　B
解析　设每位员工所获得的奖励额为X，则X的所有可能取值为80,120，则P(X＝80)＝＝，P(X＝120)＝＝，所以每位员工所获得的奖励额的数学期望为E(X)＝80×＋120×＝100(元)．故选B.
6．(2022·四川绵阳模拟)若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9973.已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数为(　　)
A．159 B．46
C．23 D．13
答案　C
解析　由题意可得，μ＝110，σ＝10.故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ)＝≈＝0.02275.所以该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.02275＝22.75≈23.故选C.
7．(2022·昆明诊断)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)
A. B．
C． D．
答案　D
解析　袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，故3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C×2×＝.
8．一试验田某种作物一株生长果实个数Y服从正态分布N(90，σ2)，且P(Y<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为(　　)
A．3 B．2.1
C．0.3 D．0.21
答案　B
解析　∵Y～N(90，σ2)，且P(Y<70)＝0.2，∴P(Y>110)＝0.2，∴P(90≤Y≤110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X～B(10,0.3)，X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
二、多项选择题
9．(2021·山东寿光现代中学高三模拟)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
答案　AB
解析　甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C错误；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．故选AB.
10．第19届亚洲运动会将于2022年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十九届亚洲运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有(　　)
A．设事件A为“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P(A)＝
B．设事件A为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B为“抽取的3人中全是男志愿者”，则P(B|A)＝
C．用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝
D．用Y表示抽取的三人中男志愿者的人数，则D(Y)＝
答案　ABD
解析　对于A，所有可能的情况有C＝35种，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有CC＋CC＝30种，故P(A)＝＝，故A正确；对于B，P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝，故B正确；对于C，可得X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，故C错误；对于D，可得Y的可能取值为0,1,2,3，则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝，则E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，则E(Y2)＝0×＋1×＋4×＋9×＝，则D(Y)＝E(Y2)－(E(Y))2＝－2＝，故D正确．故选ABD.
三、填空题
11．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝________.
答案　0.3
解析　随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于直线x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3.
12．(2021·广东韶关第一次综合测试)假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为________．
答案　
解析　设该射手每次射击命中的概率为p，两次射击命中的次数为X，则X～B(2，p)．由题可知，P(X＝0)＋P(X＝1)＝，即Cp0(1－p)2＋Cp(1－p)＝，解得p＝.
13．某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X，则随机变量X的方差D(X)＝________.
答案　47.5
解析　由题意可知，X～B(1000,0.95)，D(X)＝1000×0.95×(1－0.95)＝47.5.
14．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色有2个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的3个小球中红球的个数，则X的均值E(X)＝________.
答案　　
解析　现从5个小球中任意取出3个小球，样本点总数n＝C＝10，其中恰好2个小球颜色相同包含的样本点个数m＝CC＝3，恰有2个小球颜色相同的概率P＝＝.X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
四、解答题
15．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X，Y，写出随机变量X，Y的分布列；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
解　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量Y的所有可能取值为1,2,3，
P(Y＝1)＝＝＝，
P(Y＝2)＝＝＝，
P(Y＝3)＝＝＝，
所以随机变量Y的分布列为
Y 1 2 3
P
(2)设“甲考试合格”为事件A，“乙考试合格”为事件B，
由(1)知P(A)＝＋＝，
P(B)＝＋＝，
因为事件A，B相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝×＝，
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1－＝.
16．“绿水青山，就是金山银山”.2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球，中国将提高贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表．
树苗高度(cm) [120,140) [140,160) [160,180]
树苗售价(元/株) 4 6 8
(1)现从120株树苗中，按售价用比例分配的分层随机抽样方法抽取8株，再从中任选三株，求售价之和不低于20元的概率；
(2)以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率．若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，记树苗高度超过140 cm的株数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解　(1)高度在[120,140)内的占比为(0.005＋0.02)×10＝0.25，
高度在[140,160)内的占比为(0.03＋0.02)×10＝0.5，
高度在[160,180]内的占比为(0.015＋0.01)×10＝0.25，
从这120株树苗中，按售价分层抽取8株，其中2株4元，4株6元，2株8元，
再从中任选三株，售价之和不低于20元，可以为(6,6,8)，(4,8,8)，(6,8,8)，
故所求概率为P＝＝.
(2)若从该育苗基地银杏树树苗中任选1株，高度超过140 cm的概率为0.5＋0.25＝0.75＝.
由题意可知X～B，则
P(X＝0)＝C×4＝；
P(X＝1)＝C×3×＝；
P(X＝2)＝C×2×2＝；
P(X＝3)＝C××3＝；
P(X＝4)＝C×4＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望为E(X)＝4×＝3.
17．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169)．
(1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数；
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．
(附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973)
解　(1)因为物理原始成绩ξ～N(60,132)，
所以P(47≤ξ≤86)＝P(47≤ξ<60)＋P(60≤ξ≤86)＝P(60－13≤ξ<60＋13)＋P(60－2×13≤ξ≤60＋2×13)≈0.8186.
所以物理原始成绩在[47,86]的人数约为2000×0.8186≈1637.
(2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为24%＋16%＝40%，即.
随机抽取3人，则X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以数学期望E(X)＝3×＝.

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