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杨浦区 2021 学年度第二学期中考适应性训练（二）
数 学 学科
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2022.6
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．2 的倒数是
1 1
（A） 2 ； （B） ； （C） ； （D）2 .
2 2
2．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是
（A）（－3，2）； （B）（3，－2）； （C）（－2，3）； （D）（2，－3）．
3．下列运算中，正确的是
（A） 2a + 3a = 5a2 ； （B） 2a3 3a2 = 6a6 ； （C）（ 2a2）3 = 8a6 ； （D） 4a2 2a = 2a．
4．如果二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像全部在 x 轴的上方，那么下列判断中一定正确的是
（A） a 0，b 0 ； （B） a 0，b 0 ； （C） a 0，c 0； （D） a 0，c 0．
5．一个事件的概率不可能是
（A）0； （B）0.5； （C）1； （D）1.5.
6．如图，已知∠POQ=30°，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的⊙A 与直线 OP
相切，半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是 P
（A）5＜OB＜9； （B）4＜OB＜9； （C）3＜OB＜7；（D）2＜OB＜7.
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
O
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 A B Q
2
7．用代数式表示：a 的 5 倍与b 的 的差 ▲ ． 第 6 题图
7
8．分解因式： x2 2x 15= ▲ ．
9．已知函数 f (x) = x + 6 ，那么 f (3) = ▲ ．
1 1
10．计算： + = ▲ ．
1+ a 1 a
11．已知△ABC 中，设 AB a ，BC b ，那么 AC = ▲ ．（结果用a 、b 表示）
2
12．如果二次函数 y = x + 2x m+ 2图像的顶点在 x 轴上，那么m 的值是 ▲ ．
初三数学质量调研试卷—1—
13．已知二次函数图像的对称轴在 y 轴右侧，且在对称轴左侧函数 y 的值随 x 的值增大而增大.请写出一个
符合上述条件的二次函数的解析式 ▲ ．（只需写一个）
14．如果梯形的下底长为 7，中位线长为 5，那么其上底长为 ▲ ．
15．已知 AB 是⊙O 的弦，如果⊙O 的半径长为 5，AB 长为 4，那么圆心 O 到弦 AB 的距离是 ▲ ．
16．从一栋二层楼的楼顶点 A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点 B 处的俯角为 45°，看
到楼顶部点 C 处的仰角为 60°，已知两栋楼之间的水平距离为 6 米，那么教学楼的高 CB= ▲ 米（．结
果保留根号）．
C
A
A
A 60°
45°
B C B C
B
第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图
17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做
等底．如图，△ABC 是等高底三角形，BC 是等底，点 A 关于直线 BC 的对称点是点 A ，联结 AA ，
AC
如果点 B 是△AA C 的重心，那么 的值是 ▲ ．
BC
4
18．如图，已知在△ABC 中， C = 90 ，BC=8， cos B = ，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作 PM⊥AB
5
交边 AC 于点 M，过点 P 作 AC 的平行线，与过点 M 作 AB 的平行线交于点 Q. 如果点 Q 恰好在∠ABC
的平分线上，那么 AP 的长为 ▲ ．
二、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
0 1
19．（本题满分 10 分）计算： 1 2 + ( 2022) 2sin 45 + ( ) 2．
2
x 4
20．（本题满分 10 分）解方程： =1．
x +1 x2 1
初三数学质量调研试卷—2—
21．（本题满分 10 分，每小题各 5 分）
如图，已知在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交边 BC 的延长线于
点 D． A
（1）求∠D 的正弦值；
（2）求点 C 到直线 DE 的距离． E
B C D
第 21 题图 S
22．（本题满分 10 分，每小题各 5 分）
A、B 两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终
在高速公路上正常行驶．甲车从 A 城驶往 B 城，乙车从 B 城驶往 A 城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲
车距 B 城高速公路入口处的距离 y（千米）与行驶时间 x（时）之间的关系如图．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）已知乙车以 60 千米/时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为 a（千米/时）并保持匀速
行驶，结果比甲车晚 40 分钟到达终点，求乙车变化后的速度 a.
y（千米）
360
3 00
240
180
120
60
O 1 2 3 4 5 x（时）
1 1 1 1 1
23．（本题满分 12 分，每小题各 6 分） 第 22 题图
已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°， B A，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，CF//AB 交
DE 的延长线于点 F．
A
（1）求证：四边形 ADCF 是菱形；
（2）联结 BE，如果 BE⊥CD，求证： AB = 2BE .
D E F
B C
第 23 题图
初三数学质量调研试卷—3—
24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分）
1
如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x 1与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 在第二
3
象限内，AC⊥AB，且 AC=AB．
（1） 求点 C 的坐标；
（2） 将△ABC 沿 x 轴向右平移，点 A、B、C 的对应点分别是点 A、B 、C ，
y
k
如果点 B 、C 都落在双曲线 y 上，求 k 的值；
x 5
1 k 4
（3） 如果直线 y x 1与第（2）小题中的双曲线 y
3 x 3
2
有两个公共点 E 和 F，求 S OEF 的值. 1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 x
-1
-2
-3
-4
-5
第 24 题图
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 6 分）
已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线，过点 B 作 BE⊥AD，交 AD
的延长线于点 E.
（1）如图 1，联结 CE，求证：CE=BE；
24 AD
（2）如图 2，如果 cot∠ABC＝ ，求 的值；
7 DE
（3）如果以点 D 为圆心，DC 长为半径的圆恰好经过 Rt△ABC 的斜边中线与边 AD 的交点 F，且 AC=4，
求边 AB 的长. B
B
B
E E D D E
D
A C A C A C
第 25 题图 1 第 25 题图 2 备用图
初三数学质量调研试卷—4—杨浦区 2021 学年度第二学期综合练习卷数学学科答案
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2022.6
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．（C）；2．（B）；3．（C）；4.（D）；5．（D）；6．（A）.
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
2 2
7．5a b； 8． (x 5)(x + 3) ； 9．3； 10． ； 11．a b ； 12．1；
1 a27
13． y = (x 2)2
13 5
； 14．3； 15． 21 ； 16． 6 + 6 3 ； 17． ； 18． .
2 3
三、 解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
2
19．解 原式= 2 1+1 2 + 4 . 8 分
2
= 4 . 2 分
20．解 x(x 1) 4 = x2 1. 5 分
x2 x 4 = x2 1 . 2 分
x = 3 . 2 分
经检验： x = 3是原方程的解. 所以，原方程的解为 x = 3 . 1 分
21．解 （1）过点 A 作 AH⊥BD，垂足为点 H. 1 分
1
∵AB=AC ，AH⊥BD，∴ BH =CH = BC ,∠AHB=90°. 1分
2
又 AB= 6，BC=4，∴BH=2.
BH 2 1
∴在 Rt△ABH 中， sin BAH = = = . 1 分
AB 6 3
∵DE⊥AB，∴∠BED=90°. ∴∠D+∠B=90°.∵∠AHB=90°，∴∠BAH+∠B=90°.
∴∠BAH=∠D. 1 分
1
∴ sin D = . 1 分
3
（2）过 C 作 CG⊥DE，垂足为点 G. 1 分
1
∵DE 平分 AB，∴BE= AB =3. 1 分
2
BE 1
在 Rt△BED 中， sin D = = ，∴BD=9. 1 分
BD 3
又 BC=4，∴CD=5. 1 分
CG 1 5
在 Rt△CGD 中， sin D = = ，∴CG= . 1 分
CD 3 3
初三数学质量调研试卷—1—
22．解：（1）设 y=kx+b. 1 分
300 = b，
∴
120 = 2k +b. 2 分
k = 90，
∴ 1 分
b = 300.
∴ y = 90x + 300 . 1 分
（2）∵300 （90 + 60）= 2 ，∴两车两小时后相遇. 1 分
120 2
据题意得： a( + ) =180 2 分
90 3
解之得： a = 90 . 1 分
答：乙车变化后的速度 a 为 90 千米/小时. 1 分
AE DE
23．证明：（1）∵CF//AB，∴ = . 1 分
CE EF
∵点 E 是边 AC 的中点，∴AE=CE. 1 分
∴DE=EF. 1分
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形. 1 分
∵∠ACB=90°，点 D 是边 AB 的中点，∴CD=AD. 1 分
∴ 平行四边形 ADCF 是菱形. 1 分
（2）∵BE⊥CD， ∴∠EBC+∠BCD=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°.
∴∠EBC=∠ACD. ························································································· 1 分
又∵CD=AD，∴∠ACD=∠DAC. ······································································ 1 分
∴∠EBC=∠DAC. 又∵∠ECB=∠ACB. ∴△EBC∽△BAC. ··································· 1 分
BC EC
∴ . ······························································································· 1 分
AC BC
1
∵点 E 是边 AC 的中点，∴EC= AC.∴AC= 2 BC. ············································· 1 分
2
EB BC
∵△EBC∽△BAC，∴ .∴AB= 2 BE. ··················································· 1 分
AB AC
初三数学质量调研试卷—2—
24．解：（1）过点 C 作 CH⊥x 轴，垂足为点 H.
∵CH⊥x 轴，∴∠CHA=90°∴∠C+∠CAH=90°.∵AC⊥AB，∴∠CAH+∠BAO=90°.
∴∠C=∠BAO. 1 分
在 Rt△CAH 和 Rt△ABO 中
CHA = AOB，

C = BAO， ∴△CAH≌△ABO. 1 分

AC = BC.
∴CH=OA，AH=OB.
令 y=0, ∴ x = 3 .∴点 A（ 3 ，0）.∴OA=3.
令 x=0, ∴ y =1 .∴点 B（0 ，1）.∴OB=1. 1 分
∴OH=4，CH=3.
∴点 C（ 4 ，3）. 1 分
（2）设△ABC 沿 x 轴向右平移 a 个单位，则点 B（a ，1 ），点C（-4+a ，3）. 1 分
k a = k，
∵点 B 、C 都落在双曲线 y 上，∴ 2 分
x （3 4 + a）=k.
∴ k = 6 . 1 分
1
y = x +1， 3
（3） 解方程组 1 分
6y = .
x
x = 6， x = 3，
∴ ∴点 E（ 6 ， 1），F（3 ，2）. 2 分
y = 1. y = 2.
1 1 1 9
∴ S OEF S OAE S OAB S OBF 3 1 3 1 3 1 . 1 分
2 2 2 2
初三数学质量调研试卷—3—
25．解：（1）延长 BE 与 AC 的延长线交于点 H.
∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AEH=90°. 1 分
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD. 1 分
在△ABE 和△AHE 中
BAD = CAD，

AE = AE， ∴△ABE≌△AHE.∴BE=HE. 1 分

AEB = AEH
∵∠ACB=90°∴∠BCH=90°.∴CE=BE. 1 分
（2）取 AB 中点 O，联结 OE 与边 BC 交于点 G.
BC 24
在 Rt△ABC 中， cot ABC = = .
AC 7
设 BC=24k，AC=7k，则 AB = BC 2 + AC 2 = (24k)2 + (7k)2 = 25k . 1 分
1 25
∵∠AEB=90°，点 O 是 AB 的中点，∴OE = AB = k . 1分
2 2
OG OB 1 7
∵OA=OB，BE=HE，∴OE//AC. ∴ = = .∴OG = k . 1 分
AC AB 2 2
25 7
∴ EG =OE OG = k k = 9k .
2 2
AD AC AD 7k 7
∴OE//AC.∴ = ，∴ = = 1 分
DE EG DE 9k 9
（3）∵∠BAD=∠CAD.∴设∠BAD=∠CAD=α. ∴∠BAC=2α.
∵∠ACB=90°，点 O 是 AB 的中点，∴OC=OA.∴∠OCA=∠BAC=2α. 1 分
∵以点 D 为圆心，DC 长为半径的圆恰好经过点 F，∴DF=DC. 1 分
∴∠DFC=∠DCF.
∵∠DFC=∠DAC+∠DCA，∴∠DFC=3α.∴∠DCF=3α.
∵∠OCA+∠DCF=90°.
∴2α+3α=90°，∴α=18°.∴∠BAC=∠OCA=36°. 1 分
延长 CE 与 AB 的延长线相交于点 Q.
∵BE=CE，∴∠EBD=∠BCE=18°.∴∠ACE=108°.∴∠Q=36°.
AO AC
∴∠ACO=∠Q=36°.又∠CAO=∠QAC，∴△AOC∽△ACQ，∴ = . 1 分
AC AQ
x 4
设 AO=x，∴ = .∴ x = 2 5 2（负舍）.∴ AB = 4 5 4 . 2 分
4 x + 4
初三数学质量调研试卷—4—

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