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广东省江门市蓬江区2022年九年级下学期第一次模拟考试数学试题
一、单选题
1．（2022·蓬江模拟）下列实数中，最小的数是（　　）
A．0 B．2 C． D．-2
2．（2022·蓬江模拟）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·蓬江模拟）某网店2022年元宵节这天的营业额为3 210 000元，将数3 210 000用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
4．（2019·汽开区模拟）下列立体图形中，主视图是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022·蓬江模拟）若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（　　）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
6．（2022·蓬江模拟）同圆中，已知所对的圆心角是80°，则所对的圆周角度数（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·蓬江模拟）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·蓬江模拟）已知二次函数，且，，则一定有（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·蓬江模拟）如图，点是函数图象上的一点，过点作轴，轴，并分别交函数的图象于、两点，则四边形的面积为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．（2022·蓬江模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·蓬江模拟）计算：　 　．
12．（2022·蓬江模拟）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，则BC的长度为　 　．
13．（2022·蓬江模拟）已知两个单项式与的和为0，则m+n的值是　 　．
14．（2022·蓬江模拟）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则cosA的值为　 　．
15．（2022·蓬江模拟）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为　 　．
16．（2022·蓬江模拟）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是　 　天．
17．（2022·蓬江模拟）如图，平行于轴的直线AC分别交抛物线与于、两点，过点作轴的平行线交于点，直线，交于点，则　 　．
三、解答题
18．（2022·蓬江模拟）解不等式组．
19．（2020八上·丰台期末）已知 ，求代数式 的值．
20．（2022·蓬江模拟）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为、、、四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
18
3
12
（1）x=　 　；
（2）扇形图中表示的圆心角的度数为　 　；
（3）甲、乙、丙是等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到乙、丙两名学生的概率．
21．（2022·蓬江模拟）某校团委开展以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品，到书店购买甲、乙两种书籍作为奖品．已知乙种书籍的单价是甲种书籍单价的1.25倍，用400元购买甲种书籍的数量比用同等金额购买乙种书籍的数量多4册．
（1）求甲、乙两种书籍的单价各是多少元？
（2）团委决定用2000元购买甲、乙两种书籍共100册，此时，甲种书籍因改版售价比原价增加了20%，乙种书籍的售价按原价的七折出售．求最多能购买多少册甲种书籍？
22．（2022·蓬江模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=(x>0)的图象经过点C，OA=2，OB=4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′D′，当点D′在反比例函数的图象上时，请求出点B′的坐标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
23．（2022·蓬江模拟）如图，为的直径，于点，连接，弦，连接，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）请连接并延长交于点，若，，求的长．
24．（2022·蓬江模拟）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一点，连接、，当的面积有最大值时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上，点在线段上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点坐标．
25．（2022·蓬江模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB关于AB的对称图形为△AEB．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）连接CE，若AB=6cm，CB=cm．
①求sin∠ECB的值；
②若点P为线段CE上一动点（不与点C重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以2.5cm/s的速度沿线段PC匀速运动到点C，到达点C后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点C所需要的时间最短时，求CP的长和点Q走完全程所需的时间．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴-2最小，
故答案为：D
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可。
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x+30，
解得：x-3，
故答案为：A．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3210000=，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A.此几何体的主视图是等腰三角形；
B.此几何体的主视图是矩形；
C.此几何体的主视图是等腰梯形；
D.此几何体的主视图是圆；
故答案为：B.
【分析】根据从正面看到的平面图形是主视图，据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个正多边形的边数为n，由题意得：
解得：n=6.
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可出方程，求出n的值即可。
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧所对的圆心角为80°，
∴这条弧所对的圆周角度数=×80°=40°．
故答案为：A．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因式分解的平方差公式为，
能运用平方差公式分解因式的是，
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴当x=-2时y>0，
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴图象与x轴一定有两个交点，即，
故答案为：D．
【分析】根据题意可知抛物线与x轴有两个交点，即可得到，从而得解。
9．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点作轴，过点作轴，如图所示，
∵点是函数图象上的一点，
∴，
∵函数的图象经过、两点，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】过点作轴，过点作轴，根据反比例函数k的几何意义可得，，再利用割补法可得。
10．【答案】D
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点E，连接AE、AC．
∵CM⊥BD，
∴∠BMC=90°，
∴在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，
∴CE=BC=8，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=16，AB=2OA=20，
∴AC=12，
在Rt△ACE中，AE=，
∵EM+AM≥AE，
∴当E、M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM=4-8，
故答案为：D．
【分析】取BC的中点E，连接AE、AC，先证明在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，利用勾股定理求出AC和AE的长，再利用三角形三边的关系可得AM的值最小，最小值为AE-EM=4-8。
11．【答案】3
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：3
【分析】先化简，再计算即可。
12．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=4，
∴BC=2×4=8．
故答案为：8．
【分析】根据三角形中位线的性质可得BC==2DE=2×4=8。
13．【答案】5
【知识点】同类项的概念
【解析】 【解答】解：∵两个单项式2x3ym与 2xny2的和为0，
∴两个单项式是同类项，
即m=2，n=3，
∴m+n=5．
故答案为：5．
【分析】根据同类项的定义可得m=2，n=3，再将m、n的值代入m+n计算即可。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=，
∴cosA=，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。
15．【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】根据翻折的性质可知，△ABD≌△EBD，
∴AD=DE，∠ADB=∠EDB=90°，AB=BE，∠A=∠E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AD=4，
∴∠A=∠E=60°，即△ABE是等边三角形，
∵在Rt△ADB中，∠A=60°，AD=4，
∴∠ABD=90°-∠A=30°，
∴AB=2AD=8，
∴等边△ABE的周长为AB+BE+AE=3AB=24，
故答案为：24．
【分析】先证明△ABE是等边三角形，再求出∠ABD=90°-∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=2AD=8，最后利用等边三角形的周长公式计算即可。
16．【答案】38
【知识点】有理数混合运算的实际应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得：
孩子出生的天数的五进制数为123，
化为十进制数为：（天），
∴孩子已经出生的天数是38天．
故答案为：38．
【分析】根据“五进制”和“十进制”的计算方法求解即可。
17．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：设A（0，m2），m>0，
则B（2m，m2），C（3m，m2），
∵CD∥y轴，DE∥x轴，
∴D（3m，），E（，），
∴BC=m，DE=，
∴，
故答案为：．
【分析】设A（0，m2），则D（3m，），E（，），求出BC=m，DE=，再将其代入可得。
18．【答案】解：解不等式得：x<2，
解不等式得：x≤8，
∴不等式组的解集是x＜2．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
19．【答案】解：∵ ，
∴ .
原式
.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先将 化为 ，再对代数式进行化简，将 整体代入即可.
20．【答案】（1）27
（2）72°
（3）解：列树状图如下，
共有6种等可能的情况，其中同时抽到乙、丙的有2种，
∴P（同时抽到乙丙）=
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】(1)解：抽取的总人数为，
∴x=60-18-3-12=27，
故答案为：27；
(2)，
故答案为：72°；
【分析】（1）利用“A”的频数除以对应的百分比可得总人数，再利用总人数求出“B”的人数，即可得到x的值；
（2）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．【答案】（1）解：设甲种书籍的单价是元，则乙种书籍的单价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
答：甲种书籍的单价是20元，乙种书籍的单价是25元．
（2）解：设购买册甲种书籍，则购买乙种书籍为册，根据题意得：
解得：，
∵为整数，
∴最大为38．
答：最多能购买38册甲种书籍．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书籍的单价是元，则乙种书籍的单价是元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买册甲种书籍，则购买乙种书籍为册，根据题意列出不等式求解即可。
22．【答案】（1）解：过点C作CM⊥y轴于M，
由正方形的性质可知AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBM，
∴∠BAO=∠CBM，
在△AOB和△BMC中，
，
∴△AOB≌△BMC（AAS），
∴OA=BM=2，OB=CM=4，
∴OM=2+4=6，
∴C（4，6），
∵反比例函数y=的图象经过正方形顶点C，
∴k=4×6=24．
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）解：点B′在该反比例函数的图象上．理由如下：
过点D作DE⊥x轴于E，
同(1)可证△AOB≌△DEA（AAS），
∴DE=OA=2，AE=OB=4，
∴OE=2+4=6，
∴D（6，2），
∵将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′D′，
∴D′的纵坐标为2，
∴2=，解得x=12，
∴D′（12，2），
∵12-6=6，
即将正方形ABCD沿x轴向右平移6个长度单位得到正方形A′B′C′D′，
∵OB=4，
∴B（0，4），
∴根据平移的性质得：B′（6，4），
∵6×4=24=k．
∴点B′在该反比例函数的图象上．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）过点C作CM⊥y轴于M，先利用“AAS”证明△AOB≌△BMC可得OA=BM=2，OB=CM=4，求出点C的坐标，再将点C的坐标代入求出k的值即可；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，先求出点D的坐标，再求出点D'的坐标，根据点B的坐标和平移的性质求出点B'的坐标，再判断点B'是否在反比例函数上即可。
23．【答案】（1）证明：连接OD，
∵为的直径，
∴∠ADB=90°，
∵，
∴∠OEB=∠ADB=90°，
∴OC垂直平分BD，
∴△OBC与△ODC关于OC对称，
∵，
∴∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD，
∴是的切线；
（2）解：连接BG，
∵为的直径，
∴∠AGB=90°，
∵∠ADB=90°，，
∴，
∵AB=10，
∴，
∴DE=BE=，，
∴AD=DE，△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=，
∵∠EBG=∠DAE=45°，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠AGB=∠ABF=90°，∠GAB=∠BAF，
∴△GAB∽△BAF，
∴∠ABG=∠AFB，
∴△ABG∽△BFG，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD，即可得到是的切线；
（2）连接BG，先求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，再证明△ABG∽△BFG，可得，再将数据代入可得，最后利用勾股定理求出即可。
24．【答案】（1）解：由题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：连接OP，如图，
∵，
∴当y=0时，得x=4或x=-2，
∴点B的坐标为（4，0）；
当x=0时y=-4，∴C（0，-4），
∴OB=4，OC=4，
设点P的坐标为（m，），
的面积=S△POC+S△POB-S△BOC
=
=-（m-2）2+4，
∵-1<0，
∴当m=2时，的面积有最大值4，
此时点P的坐标为（2，-4）；
（3）解：点E的坐标为（-1，0）或（，0）或（，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】(3)∵C（0，-4），P（2，-4），
∴CP=2，CPAB，
∵OC=OB=4，
∴∠BCP=∠OBC=45°，，，
①当∠EAF=45°时，OA=OF=2，，
当△AEF∽△CPB时，，即，
得AE=1，
∴点E的坐标为（-1，0）；
当△AEF∽△CBP时，，即，
得AE=8
∴点E的坐标为（6，0）（舍去）；
②当∠AEF=45°时，设点E的坐标为（a，0），则OE=OF=a，AE=a+2，
当△AEF∽△BCP时，，即，
解得a=，
∴点E的坐标（，0）；
③当∠AFE=45°时，设点E的坐标为（b，0），
当△AEF∽△PCB时，，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得b=-2（舍去）或b=，
∴E（，0），
综上，点E的坐标为（-1，0）或（，0）或（，0）．
【分析】（1）将点A的坐标代入，再结合对称轴可得方程组，求出a、b的值即可得到答案；
（2）连接OP，设点P的坐标为（m，），利用割补法列出函数式的面积=S△POC+S△POB-S△BOC=-（m-2）2+4，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况：①当∠EAF=45°时，OA=OF=2，，②当∠AEF=45°时，设点E的坐标为（a，0），则OE=OF=a，AE=a+2，③当∠AFE=45°时，设点E的坐标为（b，0），再分别画出图象并利用相似三角形的性质求解即可。
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴OD=OB=OC=OA，
∵△AEB和△AOB关于AB对称，
∴AE=BO，BE=AO，
∴AE=BE=OA=OB，
∴四边形AEBO是菱形
（2）解：①设AE交CD于K，
∵四边形AEBO是菱形，
∴BE∥AC，BE=OC=OA，
∴△BKE∽△AKC，
∴，
∵AB=CD=6，
∴BK=2，AK=4，
在Rt△BCK中，CK==，
∴sin∠ECB=；
②作PF⊥AD于F，
∴PF=CP sin∠ECB=CP，
∵点Q的运动时间t=+=OP+CP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF恰是△ABC的中位线，
∴OF=AB=3，CF=BC=，PF=BK=1，CP=CK=，OP=AK=2，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，CP的长为cm，
点Q走完全程所需的时间为3s．
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证明OD=OB=OC=OA，再结合AE=BO，BE=AO，可得AE=BE=OA=OB，从而得到四边形AEBO是菱形 ；
（2）①设AE交CD于K，先证明△BKE∽△AKC，可得，再结合AB=CD=6，求出BK=2，AK=4，利用勾股定理求出CK的长，最后利用正弦的定义可得sin∠ECB=；
②作PF⊥AD于F，当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF恰是△ABC的中位线，再求出OF，CF，PF，CP和OP的长，最后求解即可。
1 / 1广东省江门市蓬江区2022年九年级下学期第一次模拟考试数学试题
一、单选题
1．（2022·蓬江模拟）下列实数中，最小的数是（　　）
A．0 B．2 C． D．-2
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴-2最小，
故答案为：D
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可。
2．（2022·蓬江模拟）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x+30，
解得：x-3，
故答案为：A．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
3．（2022·蓬江模拟）某网店2022年元宵节这天的营业额为3 210 000元，将数3 210 000用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3210000=，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
4．（2019·汽开区模拟）下列立体图形中，主视图是矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A.此几何体的主视图是等腰三角形；
B.此几何体的主视图是矩形；
C.此几何体的主视图是等腰梯形；
D.此几何体的主视图是圆；
故答案为：B.
【分析】根据从正面看到的平面图形是主视图，据此逐一判断即可.
5．（2022·蓬江模拟）若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（　　）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个正多边形的边数为n，由题意得：
解得：n=6.
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可出方程，求出n的值即可。
6．（2022·蓬江模拟）同圆中，已知所对的圆心角是80°，则所对的圆周角度数（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧所对的圆心角为80°，
∴这条弧所对的圆周角度数=×80°=40°．
故答案为：A．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
7．（2022·蓬江模拟）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因式分解的平方差公式为，
能运用平方差公式分解因式的是，
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式逐项判断即可。
8．（2022·蓬江模拟）已知二次函数，且，，则一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴当x=-2时y>0，
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴图象与x轴一定有两个交点，即，
故答案为：D．
【分析】根据题意可知抛物线与x轴有两个交点，即可得到，从而得解。
9．（2022·蓬江模拟）如图，点是函数图象上的一点，过点作轴，轴，并分别交函数的图象于、两点，则四边形的面积为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点作轴，过点作轴，如图所示，
∵点是函数图象上的一点，
∴，
∵函数的图象经过、两点，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】过点作轴，过点作轴，根据反比例函数k的几何意义可得，，再利用割补法可得。
10．（2022·蓬江模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点E，连接AE、AC．
∵CM⊥BD，
∴∠BMC=90°，
∴在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，
∴CE=BC=8，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=16，AB=2OA=20，
∴AC=12，
在Rt△ACE中，AE=，
∵EM+AM≥AE，
∴当E、M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM=4-8，
故答案为：D．
【分析】取BC的中点E，连接AE、AC，先证明在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，利用勾股定理求出AC和AE的长，再利用三角形三边的关系可得AM的值最小，最小值为AE-EM=4-8。
二、填空题
11．（2022·蓬江模拟）计算：　 　．
【答案】3
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：3
【分析】先化简，再计算即可。
12．（2022·蓬江模拟）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，则BC的长度为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=4，
∴BC=2×4=8．
故答案为：8．
【分析】根据三角形中位线的性质可得BC==2DE=2×4=8。
13．（2022·蓬江模拟）已知两个单项式与的和为0，则m+n的值是　 　．
【答案】5
【知识点】同类项的概念
【解析】 【解答】解：∵两个单项式2x3ym与 2xny2的和为0，
∴两个单项式是同类项，
即m=2，n=3，
∴m+n=5．
故答案为：5．
【分析】根据同类项的定义可得m=2，n=3，再将m、n的值代入m+n计算即可。
14．（2022·蓬江模拟）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则cosA的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=，
∴cosA=，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。
15．（2022·蓬江模拟）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为　 　．
【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】根据翻折的性质可知，△ABD≌△EBD，
∴AD=DE，∠ADB=∠EDB=90°，AB=BE，∠A=∠E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AD=4，
∴∠A=∠E=60°，即△ABE是等边三角形，
∵在Rt△ADB中，∠A=60°，AD=4，
∴∠ABD=90°-∠A=30°，
∴AB=2AD=8，
∴等边△ABE的周长为AB+BE+AE=3AB=24，
故答案为：24．
【分析】先证明△ABE是等边三角形，再求出∠ABD=90°-∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=2AD=8，最后利用等边三角形的周长公式计算即可。
16．（2022·蓬江模拟）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是　 　天．
【答案】38
【知识点】有理数混合运算的实际应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得：
孩子出生的天数的五进制数为123，
化为十进制数为：（天），
∴孩子已经出生的天数是38天．
故答案为：38．
【分析】根据“五进制”和“十进制”的计算方法求解即可。
17．（2022·蓬江模拟）如图，平行于轴的直线AC分别交抛物线与于、两点，过点作轴的平行线交于点，直线，交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：设A（0，m2），m>0，
则B（2m，m2），C（3m，m2），
∵CD∥y轴，DE∥x轴，
∴D（3m，），E（，），
∴BC=m，DE=，
∴，
故答案为：．
【分析】设A（0，m2），则D（3m，），E（，），求出BC=m，DE=，再将其代入可得。
三、解答题
18．（2022·蓬江模拟）解不等式组．
【答案】解：解不等式得：x<2，
解不等式得：x≤8，
∴不等式组的解集是x＜2．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
19．（2020八上·丰台期末）已知 ，求代数式 的值．
【答案】解：∵ ，
∴ .
原式
.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先将 化为 ，再对代数式进行化简，将 整体代入即可.
20．（2022·蓬江模拟）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为、、、四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
18
3
12
（1）x=　 　；
（2）扇形图中表示的圆心角的度数为　 　；
（3）甲、乙、丙是等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到乙、丙两名学生的概率．
【答案】（1）27
（2）72°
（3）解：列树状图如下，
共有6种等可能的情况，其中同时抽到乙、丙的有2种，
∴P（同时抽到乙丙）=
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】(1)解：抽取的总人数为，
∴x=60-18-3-12=27，
故答案为：27；
(2)，
故答案为：72°；
【分析】（1）利用“A”的频数除以对应的百分比可得总人数，再利用总人数求出“B”的人数，即可得到x的值；
（2）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．（2022·蓬江模拟）某校团委开展以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品，到书店购买甲、乙两种书籍作为奖品．已知乙种书籍的单价是甲种书籍单价的1.25倍，用400元购买甲种书籍的数量比用同等金额购买乙种书籍的数量多4册．
（1）求甲、乙两种书籍的单价各是多少元？
（2）团委决定用2000元购买甲、乙两种书籍共100册，此时，甲种书籍因改版售价比原价增加了20%，乙种书籍的售价按原价的七折出售．求最多能购买多少册甲种书籍？
【答案】（1）解：设甲种书籍的单价是元，则乙种书籍的单价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
答：甲种书籍的单价是20元，乙种书籍的单价是25元．
（2）解：设购买册甲种书籍，则购买乙种书籍为册，根据题意得：
解得：，
∵为整数，
∴最大为38．
答：最多能购买38册甲种书籍．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书籍的单价是元，则乙种书籍的单价是元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买册甲种书籍，则购买乙种书籍为册，根据题意列出不等式求解即可。
22．（2022·蓬江模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=(x>0)的图象经过点C，OA=2，OB=4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′D′，当点D′在反比例函数的图象上时，请求出点B′的坐标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
【答案】（1）解：过点C作CM⊥y轴于M，
由正方形的性质可知AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBM，
∴∠BAO=∠CBM，
在△AOB和△BMC中，
，
∴△AOB≌△BMC（AAS），
∴OA=BM=2，OB=CM=4，
∴OM=2+4=6，
∴C（4，6），
∵反比例函数y=的图象经过正方形顶点C，
∴k=4×6=24．
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）解：点B′在该反比例函数的图象上．理由如下：
过点D作DE⊥x轴于E，
同(1)可证△AOB≌△DEA（AAS），
∴DE=OA=2，AE=OB=4，
∴OE=2+4=6，
∴D（6，2），
∵将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′D′，
∴D′的纵坐标为2，
∴2=，解得x=12，
∴D′（12，2），
∵12-6=6，
即将正方形ABCD沿x轴向右平移6个长度单位得到正方形A′B′C′D′，
∵OB=4，
∴B（0，4），
∴根据平移的性质得：B′（6，4），
∵6×4=24=k．
∴点B′在该反比例函数的图象上．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）过点C作CM⊥y轴于M，先利用“AAS”证明△AOB≌△BMC可得OA=BM=2，OB=CM=4，求出点C的坐标，再将点C的坐标代入求出k的值即可；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，先求出点D的坐标，再求出点D'的坐标，根据点B的坐标和平移的性质求出点B'的坐标，再判断点B'是否在反比例函数上即可。
23．（2022·蓬江模拟）如图，为的直径，于点，连接，弦，连接，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）请连接并延长交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵为的直径，
∴∠ADB=90°，
∵，
∴∠OEB=∠ADB=90°，
∴OC垂直平分BD，
∴△OBC与△ODC关于OC对称，
∵，
∴∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD，
∴是的切线；
（2）解：连接BG，
∵为的直径，
∴∠AGB=90°，
∵∠ADB=90°，，
∴，
∵AB=10，
∴，
∴DE=BE=，，
∴AD=DE，△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=，
∵∠EBG=∠DAE=45°，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠AGB=∠ABF=90°，∠GAB=∠BAF，
∴△GAB∽△BAF，
∴∠ABG=∠AFB，
∴△ABG∽△BFG，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD，即可得到是的切线；
（2）连接BG，先求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，再证明△ABG∽△BFG，可得，再将数据代入可得，最后利用勾股定理求出即可。
24．（2022·蓬江模拟）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一点，连接、，当的面积有最大值时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上，点在线段上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点坐标．
【答案】（1）解：由题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：连接OP，如图，
∵，
∴当y=0时，得x=4或x=-2，
∴点B的坐标为（4，0）；
当x=0时y=-4，∴C（0，-4），
∴OB=4，OC=4，
设点P的坐标为（m，），
的面积=S△POC+S△POB-S△BOC
=
=-（m-2）2+4，
∵-1<0，
∴当m=2时，的面积有最大值4，
此时点P的坐标为（2，-4）；
（3）解：点E的坐标为（-1，0）或（，0）或（，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】(3)∵C（0，-4），P（2，-4），
∴CP=2，CPAB，
∵OC=OB=4，
∴∠BCP=∠OBC=45°，，，
①当∠EAF=45°时，OA=OF=2，，
当△AEF∽△CPB时，，即，
得AE=1，
∴点E的坐标为（-1，0）；
当△AEF∽△CBP时，，即，
得AE=8
∴点E的坐标为（6，0）（舍去）；
②当∠AEF=45°时，设点E的坐标为（a，0），则OE=OF=a，AE=a+2，
当△AEF∽△BCP时，，即，
解得a=，
∴点E的坐标（，0）；
③当∠AFE=45°时，设点E的坐标为（b，0），
当△AEF∽△PCB时，，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得b=-2（舍去）或b=，
∴E（，0），
综上，点E的坐标为（-1，0）或（，0）或（，0）．
【分析】（1）将点A的坐标代入，再结合对称轴可得方程组，求出a、b的值即可得到答案；
（2）连接OP，设点P的坐标为（m，），利用割补法列出函数式的面积=S△POC+S△POB-S△BOC=-（m-2）2+4，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况：①当∠EAF=45°时，OA=OF=2，，②当∠AEF=45°时，设点E的坐标为（a，0），则OE=OF=a，AE=a+2，③当∠AFE=45°时，设点E的坐标为（b，0），再分别画出图象并利用相似三角形的性质求解即可。
25．（2022·蓬江模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB关于AB的对称图形为△AEB．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）连接CE，若AB=6cm，CB=cm．
①求sin∠ECB的值；
②若点P为线段CE上一动点（不与点C重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以2.5cm/s的速度沿线段PC匀速运动到点C，到达点C后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点C所需要的时间最短时，求CP的长和点Q走完全程所需的时间．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴OD=OB=OC=OA，
∵△AEB和△AOB关于AB对称，
∴AE=BO，BE=AO，
∴AE=BE=OA=OB，
∴四边形AEBO是菱形
（2）解：①设AE交CD于K，
∵四边形AEBO是菱形，
∴BE∥AC，BE=OC=OA，
∴△BKE∽△AKC，
∴，
∵AB=CD=6，
∴BK=2，AK=4，
在Rt△BCK中，CK==，
∴sin∠ECB=；
②作PF⊥AD于F，
∴PF=CP sin∠ECB=CP，
∵点Q的运动时间t=+=OP+CP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF恰是△ABC的中位线，
∴OF=AB=3，CF=BC=，PF=BK=1，CP=CK=，OP=AK=2，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，CP的长为cm，
点Q走完全程所需的时间为3s．
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证明OD=OB=OC=OA，再结合AE=BO，BE=AO，可得AE=BE=OA=OB，从而得到四边形AEBO是菱形 ；
（2）①设AE交CD于K，先证明△BKE∽△AKC，可得，再结合AB=CD=6，求出BK=2，AK=4，利用勾股定理求出CK的长，最后利用正弦的定义可得sin∠ECB=；
②作PF⊥AD于F，当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF恰是△ABC的中位线，再求出OF，CF，PF，CP和OP的长，最后求解即可。
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